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de Képler à Newton Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Johannes KEPLER (1571 - 1630) Détermination de l’orbite de Mars Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Képler savait au bout de combien de temps la planète Mars se retrouvait au même point M de son orbite Période sidérale de Mars = 687 jours À deux instants t 1 et t 2 distants de 687 jours la Terre se trouve sur son propre orbite en deux points différents T 1 et T 2 M T 2 T 1 À chacun de ces instants t 1 et t 2 la direction de Mars dans le ciel peut être repérée à partir de la Terre par rapport à la direction du point , origine des coordonnées célestes Point L’intersection de ces deux directions permet de connaître la position du point M Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Képler utilisa cinq couples de mesures faites entre 1585 et 1595 jour julien 2300016. 500 2300037. 500 2300703. 500 2300724. 500 2300785. 500 2301472. 500 2302421. 500 2303108. 500 2303231. 500 2303918. 500 date 1585 1587 1589 1591 1593 1595 Feb 17 Mar 10 Jan 5 Jan 26 Mar 28 Feb 12 Sep 19 Aug 6 Dec 7 Oct 25 longitudes écliptiques géocentriques du Soleil de Mars 339° 23' 359° 41' 295° 21' 316° 06' 16° 50' 333° 42' 185° 47' 143° 26' 265° 53' 221° 42' 135° 12' 131° 48' 182° 08' 184° 42' 168° 12' 218° 48' 284° 18' 346° 56' 3° 04' 49° 42' Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

" loi des aires " (1604) le rayon vecteur qui joint le Soleil à une planète balaie des aires égales en des temps égaux. " loi du mouvement elliptique " ( 1609) les planètes décrivent des orbites elliptiques dont un des foyers est occupé par le Soleil. 3ème loi (1618 ) pour l'ensemble des planètes, le carré de la période orbitale T est proportionnel au cube du grand axe a. Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Galileo GALILEI (1564 – 1642) Loi sur la chute des corps Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Après avoir observé les oscillations du lustre de Benvenuto Cellini à la cathédrale de Pise puis réalisé l’expérience de la chute d’objets depuis le sommet de la tour penchée Galilée conclut que tous les corps tombent avec la même vitesse, indépendamment de leurs poids Mais comment évaluer cette vitesse avec exactitude pour établir la loi du mouvement ? n’était pas chose facile …. . à moins de ralentir cette chute Galilée eu une idée géniale, très simple faire tomber obliquement l’objet sur un plan incliné L’expérience fut réalisée en 1602 Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Expérience réalisée en 1602 Des billes de laiton glissent dans des rainures inclinées longues de quatorze mètres et les durées de chute sont mesurées avec une horloge à eau. Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Galilée étabit que La vitesse des billes est d’autant plus grande que leur chute dure plus longtemps. La vitesse s’augmente de quantités égales dans des temps égaux quelconques. Le mouvement de chute des corps est uniformément accéléré La longueur de la chute d’un corps dépend, non pas de sa durée, mais du carré de cette durée : au bout d’un temps double, le corps parcourt un espace quadruple. Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Discours sur les Sciences nouvelles et démonstrations rédigé par Galilée en 1636 et publié en 1638 à Leyde par les protestants Nous avons été conduit, comme par la main, à la découverte de la loi du mouvement naturellement accéléré par l’observation des autres œuvres de la nature, où elle n’emploie jamais que les moyens les plus simples et les plus faciles. Lorsque je vois qu’une pierre acquiert, dans sa chute, d’incessants accroissement de vitesse, pourquoi ne penserais-je pas que ces accroissements sont réglés de la façon la plus simple ? Or, si nous y regardons attentivement, nous ne trouverons aucun mode d’accroissement plus simple que celui qui se fait toujours de la même manière. Et on le comprendra facilement en observant la très grande affinité qui se trouve entre le temps et le mouvement : de même que le mouvement uniforme se conçoit et se définit par l’uniformité dans le temps et l’égalité dans les espaces, de même nous pouvons concevoir que les accroissements de vitesse se fassent d’une manière simple dans les parties égales des temps, en imaginant que, dans le mouveme uniformément accéléré, la vitesse reçoive les mêmes accroissements dans des temps égaux quelconques, de sorte le mobile acquérant auque bout de deux particules de temps, au bout de trois, etc. , des vitesses double, triple, etc. , de celle qu’il avait acquise à partir du repos dans la première : s’il prenait au bout de chacune de ces particules de temps, un mouvement uniforme dont la vitesse fut la vitesse alors acquise, il parcourrait dans ces divers mouvements des chemins simple, double et triple, etc. , dans un même temps. Nous dirons donc qu’un mouvement uniformément accéléré est celui dans lequel la vitesse s’augmente de quantités égales dans des temps égaux quelconques. Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Galilée mis en pleine lumière le Principe de l’inertie entrevu par Képler Un corps qui n’est soumis à aucune force est animé d’un mouvement rectiligne et uniforme Il définit la notion d’accélération et énonça la loi de composition des vitesses Mais une question restait : pourquoi les planètes se déplacent-elles sur des courbes et non en ligne droite ? Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Sir Christopher WREEN (1632 – 1723) Robert HOOKE (1635 - 1703) Edmond HALLEY (1656 – 1742) Tous les trois sont membres de la Royal Society de Londres crée en 1660 Christian HUYGENS (1629 - 1695) Membre de l’Académie royale des sciences de Paris, fondée en 1666 On débat, on échange, on s’affronte et on progresse Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Pour faciliter une première explication des trajectoires des planètes, Hooke identifia leurs orbites à des cercles. Planète Il proposa l’analogie du mouvement d’une pierre attachée à une ficelle que l’on fait tourner avec le bras. F Soleil Les planètes n’ayant pas un mouvement rectiligne uniforme, devaient être soumises à l’action d’une force dirigée radicalement vers l’intérieur de l’orbite. Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

En 1673, Huygens publia son ouvrage De horologium oscillatorium dans lequel il énonçait les lois du mouvement circulaire v Quand un corps est animé d’un mouvement circulaire uniforme Il possède une accélération centripète a de valeur et est soumis à une force centripète F de valeur m étant la masse du corps Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon F r a P

Lorsque la planète passe de la position P 1 à la position P 2 Sa vitesse représentée par un vecteur tangent à la trajectoire change de direction et subit une variation dv En comparant les deux triangles hachurés on peut écrire : Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon dv v 2 r P 2 v 1 P 1

Hooke supposa qu’une planète de masse m, qui décrit un cercle de rayon r est soumise à une force gravitationnelle F F Si la planète se déplace à une vitesse v la force gravitationnelle est : le temps d’une révolution est : et ð 3ème loi de Képler ð ð La force gravitationnelle agissant sur une planète est inversement proportionnelle au carré de sa distance au Soleil. Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Isaac NEWTON (1642 – 1727) Invention du calcul infinitésimal Loi de la gravitation universelle Résolution du problème des orbites élliptiques Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

De 1684 à 1687 Newton fit la synthèse de tous les résultats de ses prédécesseurs et démontra clairement l’universalité de la gravitation. dans son ouvrage qu’il publia en 1687 Philosophae naturalis principia mathématica. Newton décrit les lois générales du mouvement : Le Principe de l’inertie Tout corps maintient son état de repos, ou de mouvement uniforme rectiligne, à moins que des forces agissant sur lui ne le forcent à modifier cet état. Le Principe fondamental de la dynamique L’accélération d’un corps est proportionnelle à la force agissant sur lui et elle est dans la direction dans laquelle la force agit. =m. Le Principe de l’action de de la réaction À chaque action s’oppose toujours un réaction égale ; les actions mutuelles de deux corps l’un sur l’autre sont toujours égales et opposées Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Loi de la gravitation universelle Chaque corps dans l’univers attire tout autre corps avec une force F qui est proportionnelle au produit de leur masse m 1 et m 2 et inversement proportionnelle au carré de la distance d entre leurs centres G est la constante gravitationnelle qui ne fut établie qu’au 18ème siècle par Cavendish G = 6, 672 10 -11 m 3. kg-1. s-2 Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Dans la troisième partie des Principes, Newton explique à l’aide de son invention, le calcul différentiel et intégral, le cas des orbites elliptiques des planètes. Première loi de Képler démontrée par la relation fondamentale de la dynamique Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Moment cinétique d’un mobile Un corps de masse m , animé d’une vitesse à un instant t, est soumis à une force La force provoque une modification de la vitesse du corps et de sa quantité de mouvement m v Si un corps P est animé d’un mouvement de rotation autour d’un point O on appelle moment cinétique σ du corps P le moment de sa quantité de mouvement σ = m. v. ¬ Si M est le moment de la force qui s’exerce sur le corps P P O Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Conservation du moment cinétique et loi des aires Lorsqu’un corps P est soumis à l’action gravitationnelle d’un corps céleste, la force d’attraction est toujours dirigée vers un même point C, le centre du corps céleste. Son moment par rapport au point C est donc constamment nul : σ = constante σ = m. v. = constante ð v. = constante P et P' sont deux positions du corps à deux instants voisins t et t + dt P P' = v. dt C Puisque v. = constante ¬ L’aire du triangle PCP' P' P L’aire balayée par le rayon vecteur d’une planète est proportionnelle au temps. C’est la « loi des aires » découverte par Képler Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Trajectoires elliptiques des planètes et Relation fondamentale de la dynamique Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Énergie mécanique du corps P Le rayon vecteur r = C P du corps P de masse m soumis à l’attraction du corps céleste C de masse M varie constamment au cours du temps mais son énergie totale reste constante. P (m) r (M) C Énergie cinétique Ec + Énergie potentielle Ep = Énergie totale E constante En coordonnées polaires, l’énergie cinétique a pour expression : L’Énergie potentielle du corps P soumis à l’attraction du corps C vaut : Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon x

Équation de la trajectoire du corps P en coordonnées polaires Les coordonnées de P sont : r et , fonctions du temps t. L’équation de la trajectoire est de la forme r = f( ) Dans l’équation il faut donc éliminer le temps t , d. S s’exprime en coordonnées polaires par : Dans la loi des aires ð ð et Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

et Si on pose : L’équation s’écrit : En dérivant par rapport à , cette expression où E est une constante, on obtient : et après simplification : soit Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

L’équation admet comme solution : où K, A et 0 sont des constantes déterminées par les conditions initiales du mouvement : position initiale du corps, module et direction de la vitesse à l’origine du temps Cette relation r = f( ) représente l’équation de la trajectoire du corps P Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Équation générale d’une conique en coordonnées polaires P où p est le paramètre et e l’excentricité de la conique 0 est l’angle que fait le grand axe de la conique avec l’axe polaire origine. al e c o e f niqu x A co la de r F 0 Si e = 0 la conique est un cercle Si e < 1 la conique est une ellipse Si e = 1 la conique est une parabole Si e. O 1 la conique est une hyperbole Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon Axe polaire origine

Équation de la trajectoire du corps P Équation générale d’une conique Si on prend : et l’équation de la trajectoire s’écrit : soit Lorsqu’un corps est soumis à l’attraction newtonienne d’un autre corps sa trajectoire est une conique Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon

Cas d’une ellipse définie par son demi-grand axe a et son excentricité e: l’équation devient Périhélie pour cos( - 0) = 1 Aphélie pour cos( - 0) = - 1 Club d’Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon