Dcouverte Junior Grard Villemin SOMME DES ENTIERS Et

Découverte Junior – Gérard Villemin SOMME DES ENTIERS Et NOMBRES TRIANGLE Exemple: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 1 +2 3 +3 6 Arithmétique Junior – Chapitre 7 +4 10 Par Clément (9 ans) – Août 20111

SOMME de 1 + 2 + 3 + 4 = ? 1 2 3 1 4 4 2 3 5 5 10 1 + 2 + 3 + 4 = 10 La somme des entiers de 1 à 4 est le nombre triangle numéro 4 (T 4). 2

SOMME de 1 + 2 + … + 9 = ? 1 1 2 3 4 5 6 7 2 8 8 3 9 9 7 4 6 40 5 1+2+3+4+5 6+7+8+9= 45 La somme des entiers de 1 à 9 est le nombre triangle numéro 9 (T 9). 3

SOMME de 1 + 2 + … + n = ? Ici, n vaut 9 S S 2 S 1 9 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 7 3 8 2 n 9 1 10 10 10 2 S = 9 x 10 et si 9 devient n L’astuce, c’est d’écrire une deuxième fois tous 2 S = n. (n+1) les nombres dans l’autre sens. C’est la méthode de Gauss S = n. (n+1) / 2 (1777 -1855). S = 9. (9+1) / 2 = 9 x 10 /2 = 9 x 5 = 45 4

Je sais calculer facilement 1 + 2 + … jusqu’à n’importe quel nombre (n) avec cette formule: Sn = n. (n+1) / 2 Exemples: n = 11 => s 11 = 11 x 12 / 2= 66 n = 50 => s 50 = 50 x 51 / 2= 1 275 n = 70 => s 70 = 70 x 71 / 2= 2 485 n = 99 => s 99 = 99 x 100 / 2= 4 950 n =100 => s 100 =100 x 101 / 2= 5 050 S 100 = 1 + 2 + 3 + 4 + … 99 + 100 = 5 050. La somme des entiers de 1 à 100 est le nombre triangle numéro 100 (T 100). 5

Les points et les traits 2 points 1 trait 1 3 points 3 traits +2 4 points 6 traits +3 5 points 10 traits +4 Un en moins Avec 5 points, il y a 1+2+3+4 = 10 traits 6

Calcul de la quantité de traits selon le nombre de points (n) Avec 5 points, il y a 1+2+3+4 = 10 traits Avec 6 points, il y a 1+2+3+4+5= 15 traits Un en moins Somme des entiers de 1 à (n-1) Avec n points, il y a (n – 1). n / 2 Avec 5 points, il y a (5 – 1) x 5/2 = 10 Avec 11 points, il y a (11 – 1) x 11/2 = 55 La quantité de traits pour 11 points est le nombre triangle numéro 10 (T 10). 7

Table des nombres triangle Je m’amuse à y ajouter les carrés, les cubes et les puissances 4, 5 et 6. J’ai fait ces calculs à l’aide d’un tableur. Je remarque que, pour un même nombre n, son carré est plus grand que son nombre triangle: n² > Tn 8