Dcomposition arborescente connexe Pierre Fraigniaud Nicolas Nisse LRI
Décomposition arborescente connexe Pierre Fraigniaud, Nicolas Nisse LRI Orsay Journées Graphes et Algorithmes. Grenoble 2004
Encerclement dans les graphes n But Un groupe d’agents mobiles doit : - capturer un intrus dans un réseau ; - nettoyer un réseau contaminé ; Ø Utiliser le moins de ressources possibles. § Motivations Sécurité dans les réseaux informatiques ; Maintenance de réseaux de pipelines ; Opération de secours dans des souterrains. 2
Encerclement dans un graphe Stratégie d’encerclement (Parson. [GTC, 1978]). Suite de 3 opérations élémentaires n n 1. 2. 3. n Placer un agent sur un sommet du graphe ; Déplacer un agent le long d’une arête ; Supprimer un agent d’un sommet du graphe. Résultant en le nettoyage du graphe Un agent nettoie une arête quand il la traverse ; Une arête reste propre si ses deux extrémités sont protégées. n On veut minimiser le nombre d’agents s(G), plus petit nombre d’agents nécessaire à une stratégie d’encerclement dans le graphe G. 3
Graphes simples n Chemin 4
Graphes simples n Chemin s(Pn) = 1 n Anneau 5
Graphes simples n Chemin s(Pn) = 1 n Anneau s(An) = 2 6
Décomposition arborescente (T, (Xv)v V(T) ) n n n un arbre et une famille de sommets de G ; 3 propriétés. Largeur de (T, X) = max{| Xv |-1 / v V(T)} Largeur d’arborescence de G, tw(G), est la largeur minimale parmi toutes les décompositions arborescentes de G. Décomposition linéaire (P, (Xv)v V(T) ), avec P un chemin n Largeur linéaire de G, pw(G). 7
Exemple 8
Lien avec l’encerclement n J. A. Ellis, I. H. Sudborough et J. S. Turner. The Vertex Separation and Search Number of a Graph. Inf. Comput. 1994. n N. G. Kinnersley. The Vertex Separation number of a graph equals its path-width. IPL. 1992. Pour tout graphe G de n sommets, tw(G) ≤ pw(G) ≤ s(G) ≤ pw(G) + 2 ≤ tw(G). log n +2 9
Introduction de la connexité dans le modèle n Limites du modèle Impossibilité de se déplacer à volonté dans la réallité ; Il est préférable que agents restent groupés. Communications non sécurisées 10
Introduction de la connexité dans le modèle n Limites du modèle Impossibilité de se déplacer à volonté dans la réallité ; Il est préférable que agents restent groupés. § stratégie d’encerclement connexe, cs(G) A chaque étape, la partie nettoyée doit être connexe. 11
Historique (1) n L. Barriere, P. Flocchini, P. Fraigniaud et N. Santoro. Capture of an Intruder by Mobile Agents. SPAA, 2002. n n Algorithme linéaire calculant une stratégie d’encerclement connexe optimale dans le cas des arbres. L. Barriere, P. Fraigniaud, N. Santoro et D. Thilikos. Connected and Internal Graph Searching. WG, 2003. n Pour tout arbre T, s(T) ≤ cs(T) ≤ 2 s(T) ; 12
Historique (2) n P. D. Seymour et R. Thomas. Call Routing and the Ratcatcher. Combinatorica, 14(2): 217 -241, 1994. n n F. Fomin, P. Fraigniaud et D. Thilikos [rapport technique, 2004] n n n Carving connexe ; Décomposition en branche connexe ; Algorithme polynomial constructif. F. Fomin, P. Fraigniaud et D. Thilikos [rapport technique, 2004] n Pour tout graphe connexe G, cs(G) ≤ s(G) (2+log 2 |E(G)|). 13
Définitions : § Arête connexe e est dite connexe si G[T 1(e)] et G[T 2(e)] sont des sous graphes connexes de G. e T 1(e) T 2(e) § Décomposition arborescente connexe (T, X) Toute arête de E(T) est connexe. § Largeur arborescente connexe, ctw(G). 14
Résultat (1) Théorème : § Pour tout graphe connexe G, ctw(G) = tw(G). Preuve constructive : § Algorithme polynomial qui, étant donnée une décomposition arborescente de largeur k de G, retourne une décomposition arborescente connexe de largeur ≤ k de G. 15
Définition n n Décomposition arborescente enraciné en un sommet u. Arête sous-connexe Une arête e = (w, v) où w est le père de v, est sous-connexe si : G[T(v)] est un sous graphe connexe de G. u w v e n (T, X) sous connexe en v V(T) - G[T(v)] est un sous graphe connexe de G ; toute arête de T(v) est sous connexe. T(v) 16
Algorithme (1) n Entrée : n n (Tu, X) une décomposition arborescente de largeur k de G. 2 phases n n Montée : rend la décomposition sous-connexe Descente : rend la décomposition connexe 17
Algorithme (2) n Sous-procédure appliquée à un sommet v V(T) tel que T est sous connexe en w 1, …, ws les fils de s : V’ v w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 18
Algorithme (2) n Sous-procédure appliquée à un sommet v V(T) tel que T est sous connexe en w 1, …, ws les fils de s : - détermine les composantes connexes de Xv : Y 1 , …, Yr; V’ Y 1 Y 2 Y 3 w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 19
Algorithme (2) n Sous-procédure appliquée à un sommet v V(T) tel que T est sous connexe en w 1, …, ws les fils de s : - crée un graphe bipartie dont une partition est formée de r sommets Y 1 , …, Yr et l’autre des s sommets w 1, …, ws. Il y a une arête entre Yi et wj ssi Yi Xwj V’ Y 1 Y 2 Y 3 w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 1 w 2 Y 2 w 3 Y 3 w 4 w 5 20
Algorithme (2) n Sous-procédure appliquée à un sommet v V(T) tel que T est sous connexe en w 1, …, ws les fils de s : - modifie la décomposition arborescente en fonction des composantes connexes du graphe bipartie V’ V’ v 1 Y 2 Y 3 w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 1 Y 1 w 2 Y 2 w 3 Y 3 w 4 v 2 w 5 21
Algorithme (2) Ø La décomposition arborescente résultante est sous connexe en les nouveaux descendants de v’ V’ V’ v 1 Y 2 Y 3 w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 1 Y 1 w 2 Y 2 w 3 Y 3 w 4 v 2 w 5 22
Algorithme (3) n Phase 2 : descente de la racine aux feuilles n n Entrée : décomposition arborescente sous-connexe ; Il reste des arêtes qui font défaut à la connexité ; 23
Algorithme (3) n Phase 2 : descente de la racine aux feuilles n Rotation de la décomposition ; 24
Algorithme (3) n Phase 2 : descente de la racine aux feuilles n Application de la sous procedure. 25
Résultat (2) Théorème : § Pour tout graphe connexe G, cs(G) ≤ s(G) (2+log 2 |V(G)|). Preuve constructive : § Algorithme construisant une stratégie d’encerclement connexe de G utilisant au plus tw(G). log |V(G)| agents. 26
Idée de la démonstration (1) n n n T 1 Démonstration par induction sur |V(G)|. N. Robertson et P. D. Seymour. Graph Minors II. Algorithmic Aspects of Tree-Width. J. of Alg 7, 1986. 2 cas : pour toute décomposition arborescente d’un graphe G de n sommets, il existe 1 ou 2 sommets tels que : Ø Pour tout 1 ≤ j ≤ r, |G[Tj]| ≤ n/2 Ti Tr T 1 Ti Ti+1 Tr 27
Idée de la démonstration (2) n Décomposition arborescente connexe Empécher la recontamination ≤ tw (G) agents ≤ tw(G) log n/2 agents 28
Idée de la démonstration (2) n Décomposition arborescente connexe Empécher la recontamination ≤ tw (G) agents cs(G) ≤ tw(G). log 2 n cs(G) ≤ s(G). (log 2 n + 2) ≤ tw(G) log n/2 agents 29
Conclusions n Résultats n n n connexité inhérente à la décomposition arborescente ; nouvelle borne supérieure pour cs(G)/s(G) ; Perspectives n n n Amélioration de la borne cs/s généralisation aux graphes q-connexes existe t-il une fonction f telle que pour tout graphe f(q)-connexe G, il existe une décomposition arborescente q-connexe de largeur tw(G) ? 30
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