Dcision Optimale Esme 29 Novembre 2004 Nicolas Ibrahim

Décision Optimale Esme 29 Novembre 2004 Nicolas Ibrahim

Modèle du système Signal transmis Points de l’espace du signal: Signaux transmis Canal de transmission Signal reçu Un point est un vecteur de taille N dont les éléments sont pris d’un alphabet de cardinal Q => Il y a QN points !! Signal reçu 2

Exemple d’espace : Modulation binaire Espace dimension 2 -A +A Modulation quaternaire +A Espace dimension 4 -A +A 3

Le problème Ayant reçu le signal r, la détection consiste à trouver un signal s appartenant à l’espace du signal, tel que la probabilité d’une décision correcte est maximisée ! Les techniques 1 - Probabilité a Posteriori Choisir le signal Sm telle que la probabilité a posteriori soit maximale 2 - Maximum de vraisemblance Choisir le signal Sm telle que la vraisemblance soit maximale 4

Maximum a Posteriori (MAP) Densité spectrale conditionnelle de probabilité Probabilité A priori Il faut connaître: • les probabilités a priori des signaux transmis {Sm} (Source) • densité spectrale conditionnelle de probabilité entre le signal transmis et le signal reçu (Canal de transmission) 5

Si les signaux de la source sont équiprobables (le cas le plus classique) La densité spectrale de probabilité du signal reçu est indépendante du signal transmis Probabilité a posteriori Maximiser la Probabilité a posteriori la vraisemblance Maximiser la vraisemblance 6

La vraisemblance Le seul processus aléatoire est le canal de transmission r =sm + n Maximiser p(r) sm n r Minimiser la distance Euclidienne 7

La distance Euclidienne entre le signal reçu et un des signaux transmis La distance Euclidienne modifiée Minimiser Maximiser D(r, sm) D’(r, sm) C(r, sm)=2 r. sm - ||sm||² 8

C(r, sm) = 2 r. sm - ||sm||² Projection orthogonale du signal reçu sur un des signaux de l’espace signal r Distance projection Sm 9

Banc de corrélateurs s 1(t) -Es 1/2 s 2(t) -Es 2/2 r(t) Sélectionner la sortie la plus s. M(t) Es. M /2 Échantillonnage t=T Décision grande 10

Probabilités a priori non-égales Exemple : PAM à deux états : {s 1=A, s 2=-A}; A² = Es p(s 1) = p, p(s 2) = q = 1 -p Le signal reçu à travers un canal à bruit blanc gaussien additif (b ~ N(0, N 0) ) Densité de probabilité conditionnelle Les métriques 11

Règle de décision Nouveau seuil de comparaison p = 0. 5 => ln (p / (1 -p) ) = 0 cas classique -A A 12

Probabilité d’erreur Maximum de Vraisemblance Sm signal transmis, r signal reçu, Probabilité de décision correcte (c) : P(c| Sm ) : Rm est la région de décision de Sm Probabilité moyenne d’une décision correcte Maximiser P(c) Maximiser Pour chaque Sm Maximum a posteriori Probabilité moyenne d’une décision correcte 13

Détecteur de Séquence Système avec mémoire : observation d’une séquence « complète » décision sur la séquence complète Ma x Vra imum isem de bla nc e Viterbi grande dimension Calculer la distance euclidienne minimale entre la séquence reçue et l’ensemble des séquence émises. Détecteur Sphérique petite dimension Calculer la distance euclidienne en limitant la recherche dans une sphère Maximum a posteriori MAP Calculer la probabilité a posteriori pour la séquence entière 14

Modélisation de la mémoire par chaîne de Markov État sortie initial Entrée État futur exemple 1/1 0/0 1 0 0/1 1/0 0 1/1 1 0 1/0 0/1 1 15

MLSE (Maximum-Likelihood Sequence Detector) 16

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Décodeur Sphérique r = Ms + n C À partir de la solution Z. F : z = M-1 r Pour chaque composante du vecteur z, on fixe une « plage de solutions » de valeurs appartenant à la constellation utilisée un : point appartenant à l’alphabet utilisé qnn : modification du point un due à de la présence de la matrice M Nouvelles bornes dépendent du choix faits sur le point précédent un 18

Déroulement de l’algorithme : étape recherche de candidat à la solution Zn Zn-1 Zn-2 Zn-3 candidat d’une solution Z 0 Le nouveau rayon est fixé égal à la distance Entre le point reçu et ce point première coordonnée trouvée dans l’intervalle trouver la coordonnée suivante Si blocage, remonter d’une coordonnée 19

Déroulement de l’algorithme Fixer un rayon initial recherche de solution Enregistrer le dernier point trouvé comme la solution finale Non candidat trouvé oui Calcul du nouveau rayon avec la solution trouvée 20

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