DasarDasar Kalkulus Vektor untuk Medan Gelombang EM Sukiswo

Dasar-Dasar Kalkulus Vektor untuk Medan Gelombang EM Sukiswo sukiswok@yahoo. com Medan Elektromagnetik. Sukiswo 1

Dasar-dasar Vektor Konvensi: Vektor ditulis dengan anak panah diatas atau cetak tebal Vektor biasanya fungsi dari koordinat spasial Konvensi: vektor satuan dilambangkan dengan topi diatasnya magnitude dari komponen vektor (bisa jadi fungsi dari x, y, z) ke arah sumbu-y Medan Elektromagnetik. Sukiswo 2

Penjumlahan vektor Pengurangan ekivalen dng penjumlahan A dng negatif dari B: D = A – B = A + (-B) Medan Elektromagnetik. Sukiswo 3

Vektor posisi dan vektor jarak Vektor R 12 adalah vektor dari P 1 ke P 2 dan jaraknya (panjang atau magnitude) adalah d: Medan Elektromagnetik. Sukiswo 4

Vektor posisi dan vektor jarak Contoh : Titik P (1, 2, 3) dan Q (2, -2, 1) Vektor posisi OP = r. P = ax + 2 ay + 3 az Vektor posisi OQ = r. Q = 2 ax - 2 ay + az Vektor jarak RPQ = r. Q - r. P = ax - 4 ay - 2 az Medan Elektromagnetik. Sukiswo 5

Perkalian titik (perkalian skalar) • • Selalu menghasilkan bilangan skalar A cos( AB) adalah komponen A sepanjang B. Disebut sebagai proyeksi dari A pada B. Dua vektor ortogonal memberikan hasil kali skalar nol: A·A=|A|2=A 2 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 6

Perkalian titik (perkalian skalar) Medan Elektromagnetik. Sukiswo 7

Perkalian silang (perkalian vektor) Perhatikan bahwa perkalian skalar menghasilkan vektor tegak lurus pada bidang yg mengandung dua vektor yg dikalikan! Ini berhubungan dengan Komponen tangensial dan normal. !!!!PENTING!!! Aturan sekrup putar bisa dipakai: Pemutaran A ke B menggerakkan sekrup ke arah vektor hasil Medan Elektromagnetik. Sukiswo 8

Perkalian silang (ljt) Pergerakan searah-putar-jarum jam memberikan hasil perkalian silang positif, sebaliknya, pergerakan ke-arah berlawanan arah-putar-jarum-jam memberikan hasil perkalian silang negatif. Medan Elektromagnetik. Sukiswo 9

Triple Products Hasil operasi lain yang penting: Scalar triple product Menghasilkan skalar Vector triple product (aturan bac-cab) Menghasilkan vektor Medan Elektromagnetik. Sukiswo 10

VECTOR REPRESENTATION 3 PRIMARY COORDINATE SYSTEMS: • RECTANGULAR • CYLINDRICAL • SPHERICAL Choice is based on symmetry of problem Examples: Sheets - RECTANGULAR Wires/Cables - CYLINDRICAL Spheres - SPHERICAL Medan Elektromagnetik. Sukiswo 11

Sistem Koord. Kartesian (x, y, z) Kuantitas diferensial: d. V, d. S and d ! x y z Medan Elektromagnetik. Sukiswo 12

Sistem Koord. Kartesian Medan Elektromagnetik. Sukiswo 13

Sistem Koord. Tabung atau Silindris ( , , z) Perhatikan kuantitas diferensial: d. V, d. S and d ! z y x Medan Elektromagnetik. Sukiswo 14

Sistem Koord. Tabung atau Silindris Medan Elektromagnetik. Sukiswo 15

Sistem Koordinat Bola (r, , ) Lihat lagi kuantitas diferensial: d. V, d. S and d ! z r y x nb : harga adalah 0 sampai , bukan 0 sampai 2 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 16

Sistem Koordinat Bola Medan Elektromagnetik. Sukiswo 17

Transformasi Koordinat Kadang kala kita perlu melakukan transformasi antar sistem koordinat: mis. dlm teori antena kita perlu Transformasi dari sistem kartesian ke bola : Transformasi lain dapat dilihat pada buku acuan Medan Elektromagnetik. Sukiswo 18

Soal 2 1. Tiga titik A(2, -3, 1); B(-4, -2, 6); C(1, 5, -3) Cari : – – – Vektor dari A ke C Vektor satuan dari B ke A Jarak dari B ke C • -ax+8 ay-4 az • 0, 762 ax-0, 127 ay-0, 635 az • 12, 45 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 19

Soal 2 Sebuah medan vektor dinyatakan oleh W=4 x 2 y ax – (7 x+2 z) ay + (4 xy+2 z 2) az Cari : 2. – – – Besar medan di P(2, -3, 4) Vektor satuan yg menyatakan arah medan di P Titik mana pd sumbu z , besar W mrpk vektor satuan • 53, 4 • -0, 899 ax-0, 412 ay+0, 150 az • +- 0, 455 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 20

Soal 2 3. Diketahui F = 2 ax -5 ay-4 az ; G = 3 ax +5 ay+2 az Cari : – – F. G Sudut antara F dan G Panjang proyeksi F pada G Proyeksi vektor F pada G • • -27, 0 130, 8 o -4, 38 -2, 13 ax-3, 55 ay-1, 42 az Medan Elektromagnetik. Sukiswo 21

Soal 2 4. Diketahui F = -45 ax +70 ay+25 az ; G = 4 ax -3 ay+2 az Cari : – – Fx. G ax (ay x F) (ay x ax ) x F Vektor satuan yang tegak lurus F pada G • • 215 ax+190 ay-145 az -45 ay -70 ax-45 ay +- (0, 669 ax+0, 591 ay-0, 451 az) Medan Elektromagnetik. Sukiswo 22

Soal 2 5. Diketahui P(ρ=6, φ=1250, z=-3) dan Q(x=3, y=-1, z=4) Cari : – – – Jarak dari P ke titik asal Q tegak lurus pada sumbu z P ke Q • 6, 71 • 3, 16 • 11, 20 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 23

Soal 2 6. a. Nyatakan T=240+z 2 -2 xy dalam koordinat tabung b. Cari kerapatan di titik P(-2, -5, 1) jika kerapatannya • 240+z 2 –ρ2 sin 2φ • 8, 66 Medan Elektromagnetik. Sukiswo 24

Soal 2 7. a. Nyatakan medan vektor W= (x-y)ay dalam koordinat tabung b. Cari medan F dalam koord cartesian jika F= ρ cosφ aρ • ρ(cos φ- sin φ)(sin φ aρ+cos φ aφ • Medan Elektromagnetik. Sukiswo 25

Operator Del = Medan Elektromagnetik. Sukiswo 26

Grad, Div dan Curl Medan Elektromagnetik. Sukiswo 27

Gradien dari medan skalar Jika (x, y, z) fungsi riil dari 3 variabel, maka fungsi ini disebut medan skalar. Gradien dari , dinyatakan sbg grad atau Adalah vektor menurut aturan berikut: dibaca “del phi” Gradien adalah ukuran laju perubahan maksimum dari permukaan yang digambarkan oleh (x, y, z) dan perubahan laju ini muncul pada arah tertentu. Catat bahwa operator gradien mengubah fungsi skalar menjadi fungsi vektor. Medan Elektromagnetik. Sukiswo 28

Contoh gradien Evaluasi gradien pada titik P (2, -1, 0), menghasilkan Jika kita melihat dari permukaan ke berbagai arah, akan teramati bahwa perubahan maksimum dari permukaan muncul pada arah yg diberikan vektor tsb diatas. Laju maksimumnya adalah turunan berarah Medan Elektromagnetik. Sukiswo 29

Rapat fluks Operator divergensi dinyatakan sbg dan selalu beroperasi pada vektor. Tidak dibaca sbg “del” yg beroperasi titik thd vektor ! Divergensi berhubungan dengan rapat fluks dari sumber medan seragam Arah medan searah dengan anak panah (jadi suatu vektor). Kekuatan medan sebanding dengan kerapatan anak panah (bukan panjangnya). medan tak seragam Medan Elektromagnetik. Sukiswo 30

Divergensi pada suatu titik adalah fluks keluar netto per satuan volume pada (sepanjang) permukaan tertutup. Pada pembahasan Mendatang akan diberi-kan tafsiran EM-nya: Secara matematika: Perhatikan bahwa operator divergensi selalu beroperasi pada (fungsi/medan) vektor untuk menghasilkan skalar. Medan Elektromagnetik. Sukiswo 31

Contoh divergensi Di titik (2, -2, 0) Karena nilai divergensi >0 berarti ada fluks netto keluar dan mengindikasikan adanya sumber (source). Jika nilainya <0, ini menandakan fluks netto kedalam volume dan menandakan adanya sink. Medan Elektromagnetik. Sukiswo 32

Curl (Rotasi=Pusaran) Curl dari medan vektor berhubungan dengan rotasi dari medan vektor tsb. Dilihat dari sudut pandang lain, rotasi dapat dipakai sebagai ukuran ketidakseragaman medan, semakin tidak seragam suatu medan, semakin besar pula nilai pusarannya. medan tak-seragam, Curl-nya tidak nol. Medan B seragam, curl-nya nol. Medan Elektromagnetik. Sukiswo 33

Perhitungan curl Medan Elektromagnetik. Sukiswo 34

Operator penting lainnya Dua rumus ini sangat bermanfaat pd pembahasan mendatang. Operator Laplacian Medan Elektromagnetik. Sukiswo 35

Operator Laplacian (1) Ingat: Sekarang baca “del kuadrat” Untuk praktisnya ditulis: Medan Elektromagnetik. Sukiswo 36

Laplacian (2) Laplacian bisa juga ber-operasi pada vektor Jika Maka, Dapat juga ditunjukkan bahwa: Medan Elektromagnetik. Sukiswo “curl dari E” 37

Ikhtisar: Grad, Div, dan Curl Medan Elektromagnetik. Sukiswo 38

Teorema integral Hubungan ini berguna untuk mengubah integral volume menjadi integral permukaan. Yang ini berguna untuk mengubah integral permukaan menjadi integral garis. permukaan atau lintasan tertutup Medan Elektromagnetik. Sukiswo 39

Integral garis/permukaan Contoh: teorema Stoke Hitung integral ini sepanjang garis-batas dari segmen. Hitung integral ini ke-seluruh segmen permukaan. Medan Elektromagnetik. Sukiswo 40

Permasalahan nilai batas Karena PDE (partial differential equation-persm. diff. parsial) yg menggambarkan medan EM adalah fungsi dari ruang (dlm bentuk harmonik-waktu), solusi unik hanya bisa diperoleh jika diberikan sekumpulansyarat batas. Secara umum ada tiga jenis syarat batas: • Syarat batas jenis Dirichlet • Syarat batas jenis Neumann • Syarat batas jenis campuran (kombinasi dari Dirichlet & Neumann) Medan Elektromagnetik. Sukiswo 41

Syarat batas jenis Dirichlet Daerah S dibatasi oleh kurva . Misalkan kita ingin menentukan suatu kuantitas (variabel yg kita selesaikan, mis. V) dalam daerah S, sedemikian hingga V = g pada . S Persyaratan V = g pada disebut sbg syarat batas Dirichlet. Medan Elektromagnetik. Sukiswo 42

Syarat batas jenis Neumann Untuk kasus dimana turunan normal dari suatu kuantitas diberikan pada batasnya, mis, pada . S Ini dikenal sebagai syarat batas Neumann. Medan Elektromagnetik. Sukiswo 43

Contoh (1) batas bidang (planar) y Hr Er r i Hi Ei incident reflected 1 1 2 2 x transmitted Ht t Et Kita perlu pernyataan mengenai medan normal dan tangensial pada antarmuka, yaitu syarat batas. Hal ini memungkinkan kita meneruskan solusi dari satu sisi batas (y>0) ke yang lainnya (y<0). Medan Elektromagnetik. Sukiswo 44

Contoh (2): bumbung gelombang Y b , a Perlu Ez=0 pada semua dinding syarat batas Dirichlet X perlu pada dinding. syarat batas Neumann Medan Elektromagnetik. Sukiswo 45

Syarat batas dalam EM 1 1 1 Et 1 n 1 1 1 2 2 2 Ht 1 n 2 2 2 Et 2 E tangensial kontinyu Ht 2 n × (H 1 -H 2)=Js Ekivalen 1 1 1 2 2 2 Bn 1 n Bn 2 B normal kontinyu 1 1 1 D 1 n n D 2 n 2 2 2 n·(D 1 -D 2)= s Medan Elektromagnetik. Sukiswo 46

Lihat contoh berikut 1 1 1 Et 1 n 2 2 2 Et 2 E tangensial kontinyu Hal ini menyatakan bahwa medan (listrik) tangensial dalam daerah-1 adalah sama dengan medan (listrik) tangensial pada daerah-2. Ini tdk menyatakan apapun mengenai kompenen lain dr E. Jika kita punya: Maka, secara otomatis memilih komponen tangensial! Medan Elektromagnetik. Sukiswo 47

Dan satu contoh lagi 1 1 1 Ht 1 n 2 2 2 Ht 2 n × (H 1 -H 2) = Js Ini berarti bahwa komponen tangensial dari medan H adalah arus permukaan. Hal ini menyatakan bahwa medan magnetik pada kedua sisi tidak kontinyu oleh adanya arus. Hal ini umum terjadi. Jika medium kedua konduktif sempurna, σ2→∞. Maka, sama sekali tidak ada medan didalam daerah-2, dan persamaan menjadi: Medan Elektromagnetik. Sukiswo “permukaan” 48

Contoh: 0 d Ei atau Er z Et Kini pada batas kita terapkan syarat batas yg menyatakan bahwa (pada z=0), medan tangensial E dan H kontinyu. Medan Elektromagnetik. Sukiswo 49