Dasar probabilitas 2 Sample space sample points events

Dasar probabilitas

2 Sample space, sample points, events n Sample space, , adalah sekumpulan semua sample points, , yang mungkin; dimana n n n n n 1. 2. 3. 4. Melemparkan satu buah koin: ={Gambar, Angka} Menggelindingkan dadu: ={1, 2, 3, 4, 5, 6} Jumlah pelanggan dalam antrian: ={0, 1, 2, …} Waktu pendudukan panggilan (call holding time): ={x x>0} Events A, B, C, … adalah himpunan bagian (yang dapat diukur) dari sample space n n Contoh Contoh 1. Angka genap pada sebuah dadu: A={2, 4, 6} Contoh 2. Tidak ada pelanggan yang mengantri : A={0} Contoh 3. Call holding time lebih dari 3 menit. A={x x>3} adalah kumpulan semua events Event yang pasti : sample space merupakan elemen dari Event yang tidak mungkin : himpunan kosong yang juga merupakan anggota

3 Kombinasi event n n n Union (gabungan) : “A atau B” : A B={ A atau B} Irisan: “A dan B” : A B={ A dan B} Komplemen : “bukan A”: Ac={ A} Event A dan B disebut tidak beririsan (disjoint) bila : A B= Sekumpulan event {B 1, B 2, …} merupakan partisi dari event A jika n n (i) Bi Bj= untuk semua i j (ii) i. Bi =A

4 Probabilitas (peluang) n n n Probabilitas suatu event dinyatakan oleh P(A) [0, 1] Sifat-sifat peluang

5 Conditional Probability (Peluang bersyarat) n Asumsikan bahwa P(B)>0 Definisi : Conditional probability dari suatu event A bila diketahui event B terjadi didefinisikan sebagai berikut n Dengan demikian n

6 Teorema Probabilitas Total n n n Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space Lalu {A Bi} merupakan partisi dari event A, maka berdasarkan sifat probabilitas yang ketujuh pada slide nomor 4 Kemudian asumsikan bahwa P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5 dapat didefinisikan teorema probabilitas total sbb

7 Teorema Bayes n n Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5 Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total, kita peroleh Ini merupakan teorema Bayes n n Peluang P(Bi) disebut peluang a priori dari event Bi Peluang P(Bi A) disebut peluang a posteriori dari event Bi (bila diketahui event A terjadi)

8 Kesalingbebasan statistik dari event (Statistical independence of event) n Definisi : Event A dan B saling bebas (independent) jika n Dengan demikian n Demikian pula

9 Peubah acak (random variables) n Definisi : Peubah acak X (yang merupakan bilangan riil [real-valued]) adalah fungsi bernilai riil dan dapat diukur yang didefinisikan pada sample space ; X: n n Dapat diukur memiliki arti bahwa semua himpunan yang berbentuk n n Setiap titik sample (sample points) dihubungkan dengan sebuah bilangan riil X( ) berasal dari kumpulan event , yaitu Peluang event yang seperti itu dinyatakan oleh P{X x}

10 Contoh n n n Sebuah koin dilempar (menghasilkan head (H) atau tail (T) Sample space: Misalnya peubah acak X merupakan jumlah total tail (T) dalam ketiga eksperimen pelemparan koin tersebut, maka :

11 Indikator dari suatu event n n n Misalkan A merupakan suatu event Definisi : indikator dari suatu event A adalah peubah acak yang didefinisikan sbb: Maka

12 Probability Distribution Function (PDF) n n Definisi : PDF dari suatu peubah acak X adalah fungsi FX: [0, 1] yang didefinisikan sebagai berikut PDF menentukan distribusi dari peubah acak n n Peluang P{X B}, dimana B dan {X B} Sifat

13 Kesalingbebasan statistik dari peubah acak (Statistical independence of random variables) n n Definisi : Peubah acak X dan Y saling bebas jika untuk semua x dan y Definisi : Peubah acak X 1, …, Xn saling bebas jika untuk semua i dan xi

14 Maximum dan minimum dari peubah acak yang saling bebas n Misalkan peubah acak X 1, …, Xn saling bebas Bila Xmax: =max{X 1, …, Xn}, maka n Bila Xmin: =min{X 1, …, Xn}, maka n

15 Peubah acak diskrit n Definisi : himpunan A disebut diskrit bila n n Definisi : peubah acak X disebut diskrit bila terdapat sebuah himpunan diskrit Sx sedemikian hingga Maka n n n Terbatas : A={x 1, …, xn}, atau Tak terbatas : A={x 1, x 2, …} P{X=x} 0 untuk semua x Sx Himpunan Sx disebut himpunan nilai (value set)

16 Peluang titik (point probabilities) n n Misalkan X adalah peubah acak diskrit Distribusi X ditentukan oleh peluang titik pi Definisi : probability mass function (pmf) dari X adalah merupakan fungsi p. X: [0, 1] yang didefinisikan sbb Pada kasus ini, PDF merupakan fungsi step

17 Contoh

18 Kesalingbebasan peubah acak n Peubah acak diskrit X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika untuk semua xi SX dan yj Sy

19 Ekspektasi (harapan, rataan) n Definisi : Harga ekspektasi (rata-rata/mean value) dari X dinyatakan oleh n n n Catatan 1: ekspektasi akan ada hanya jika Catatan 2 : Jika , maka Sifat-sifat

20 Variance n Definisi : Variance dari X didefinisikan sbb n Rumus yang bermanfaat n Sifat-sifat

21 Covariance n Definisi : Covariance antara X dan Y didefinisikan sbb n Rumus yang bermanfaat n Sifat-sifat

22 Parameter lain yang berhubungan dengan distribusi n n n Deviasi standard dari X Koefisien perubahan (coefficient of variation) dari X Momen ke-k dari X

23 Rata-rata dari peubah acak IID n Misalkan X 1, …, Xn saling bebas dan teridistribusi secara identik (independent and identically distributed [IID]) dengan m dan variance s 2 Rata-rata-nya(average/sample mean) n Maka n

24 Law of large numbers (LLN)

25 Distribusi Bernoulli Menyatakan suatu eksperimen acak dengan dua keluaran yang mungkin n n Sukses (1) Gagal (0) Nilai 1 berpeluang p (nilai 0 untuk peluang 1 -p)

26 Distribusi binomial Menyatakan jumlah sukses dalam sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli); n n n = jumlah total eksperimen p = peluang sukses dalam suatu eksperimen

27 Distribusi geometrik Menyatakan jumlah sukses yang terjadi sampai didapatkan kegagalan yang pertama dari sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli) n p = peluang sukses dalam suatu eksperimen

28 Sifat memoryless n Distribusi geometrik mempunyai sifat memoryless yaitu untuk semua i, j {0, 1…}

29 Minimum dari peubah acak geometrik

30 Distribusi Poisson Limit dari distribusi binomial dimana n dan p 0, sedemikian hingga np a

31 Contoh n Asumsikan n n n 200 pelanggan terhubung ke sentral lokal Trafik setiap pelanggan adalah 0. 01 Pelanggan saling bebas Maka jumlah panggilan yang aktif X ~ Bin(200, 0. 01) Pendekatan Poisson X Poisson(2, 0) Peluang titik

32 Sifat-sifat distribusi Poisson i. Penjumlahan (sum) : Bila X 1~Poisson(a 1) dan X 2~Poisson(a 2) saling bebas, maka X 1+ X 2 ~Poisson(a 1+ a 2) ii. Random sample : Misalkan X~Poisson(a) menyatakan jumlah elemen dalam suatu himpunan, dan Y menyatakan ukuran random sample dari himpunan tersebut (setiap elemen diambil secara saling bebas dengan peluang p), maka Y~Poisson (pa) iii. Random sorting: Misalkan X dan Y seperti pada (ii), dan Z=X-Y, maka Y dan Z adalah saling bebas (bila X tidak diketahui) dan Z~Poisson ((1 -p)a)

33 Peubah acak kontinu n n n Definisi : peubah acak X kontinu jika terdapat fungsi yang dapat diintegralkan f. X: +, sedemikian hingga untuk semua x Fungsi f. X disebut probability density function (pdf) n Himpunan SX, dimana f. X>0 disebut value set Sifat-sifat

34 Contoh

35 Ekspektasi dan parameter lain n Ekspektasi (nilai rata-rata/mean value) dari X didefinisikan sbb n n Note 1: Ekspektasi ada hanya jika Note 2: Jika , maka Sifat sama dengan distribusi diskrit Parameter distrubusi lainnya didefinisikan dan memiliki sifat yang sama seperti pada distribusi diskrit

36 Distribusi Uniform (X~U(a, b), a<b)

37 Distribusi Eksponensial (X~Exp(l), l>0) n Versi kontinu dari distribusi geometrik (peluang gagal ldt)

38 Sifat memoryless n n Distribusi eksponensial mempunyai sifat memoryless untuk semua x, y (0, ) P{X>x+y X>x}=P{X>y} Aplikasi n n n Asumsikan bahwa call holding time terdistribusi secara eksponensial dengan mean (rata-rata) h Misalnya suatu panggilan telah berakhir selama x menit. Dengan sifat memoryless, hal ini memberi informasi tentang lamanya waktu holding time yang masih tersisa : juga terdistribusi seperti holding time yang asli Ekspektasi dari holding time sisa adalah selalu h

39 Minimum dari peubah acak eksponensial

40 Distribusi normal (Gaussian) ternormalisasi (X ~ N(0, 1))

41 Distibusi normal (Gaussian)

42 Sifat-sifat distribusi Gaussian

43 Central Limit Theorem (CLT)