Dasar probabilitas 2 Sample space sample points events
Dasar probabilitas
2 Sample space, sample points, events n Sample space, , adalah sekumpulan semua sample points, , yang mungkin; dimana n n n n n 1. 2. 3. 4. Melemparkan satu buah koin: ={Gambar, Angka} Menggelindingkan dadu: ={1, 2, 3, 4, 5, 6} Jumlah pelanggan dalam antrian: ={0, 1, 2, …} Waktu pendudukan panggilan (call holding time): ={x x>0} Events A, B, C, … adalah himpunan bagian (yang dapat diukur) dari sample space n n Contoh Contoh 1. Angka genap pada sebuah dadu: A={2, 4, 6} Contoh 2. Tidak ada pelanggan yang mengantri : A={0} Contoh 3. Call holding time lebih dari 3 menit. A={x x>3} adalah kumpulan semua events Event yang pasti : sample space merupakan elemen dari Event yang tidak mungkin : himpunan kosong yang juga merupakan anggota
3 Kombinasi event n n n Union (gabungan) : “A atau B” : A B={ A atau B} Irisan: “A dan B” : A B={ A dan B} Komplemen : “bukan A”: Ac={ A} Event A dan B disebut tidak beririsan (disjoint) bila : A B= Sekumpulan event {B 1, B 2, …} merupakan partisi dari event A jika n n (i) Bi Bj= untuk semua i j (ii) i. Bi =A
4 Probabilitas (peluang) n n n Probabilitas suatu event dinyatakan oleh P(A) [0, 1] Sifat-sifat peluang
5 Conditional Probability (Peluang bersyarat) n Asumsikan bahwa P(B)>0 Definisi : Conditional probability dari suatu event A bila diketahui event B terjadi didefinisikan sebagai berikut n Dengan demikian n
6 Teorema Probabilitas Total n n n Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space Lalu {A Bi} merupakan partisi dari event A, maka berdasarkan sifat probabilitas yang ketujuh pada slide nomor 4 Kemudian asumsikan bahwa P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5 dapat didefinisikan teorema probabilitas total sbb
7 Contoh: Suatu berkas saluran terdiri dari 2 saluran : P(k)= Prob bahwa saluran baik. P(0)=0, 2; P(1)=0, 3; P(2)=0, 5 Dan E(k)=Prob bahwa suatu panggilan diblok, bila diketahui k saluran baik. E(0)=1; E(1)=2/3 dan E(2)=2/5 Berapa besar probabilitas suatu panggilan diblok? dan Berapa besar probabilitas suatu panggilan tidak di blok? n
8 Di blok 1 0 sal. baik 0, 2 0, 3 1 sal baik 0, 5 2 sal. baik 0 2/3 1/3 Tidak di blok Di blok Tidak di blok 2/5 Di blok 3/5 Tidak di blok
9 Jawab: Prob suatu panggilan di blok= P(0). E(0)+P(1). E(1) +P(2). E(2)= 0, 2. 1 +0, 3. (1/3) +0, 5. (2/5)=0, 6 n Prob suatu panggilan tidak di blok= 0, 2. 0 +0, 3. (2/3)+0, 5. (3/5) =0, 4 n
10 Teorema Bayes n n Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5 Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total, kita peroleh Ini merupakan teorema Bayes n n Peluang P(Bi) disebut peluang a priori dari event Bi Peluang P(Bi A) disebut peluang a posteriori dari event Bi (bila diketahui event A terjadi)
11 Kesalingbebasan statistik dari event (Statistical independence of event) n Definisi : Event A dan B saling bebas (independent) jika n Dengan demikian n Demikian pula
12 Peubah acak (random variables) n Definisi : Peubah acak X (yang merupakan bilangan riil [real-valued]) adalah fungsi bernilai riil dan dapat diukur yang didefinisikan pada sample space ; X: n n Dapat diukur memiliki arti bahwa semua himpunan yang berbentuk n n Setiap titik sample (sample points) dihubungkan dengan sebuah bilangan riil X( ) berasal dari kumpulan event , yaitu Peluang event yang seperti itu dinyatakan oleh P{X x}
13 Contoh n n n Sebuah koin dilempar (menghasilkan head (H) atau tail (T) Sample space: Misalnya peubah acak X merupakan jumlah total tail (T) dalam ketiga eksperimen pelemparan koin tersebut, maka :
14 Indikator dari suatu event n n n Misalkan A merupakan suatu event Definisi : indikator dari suatu event A adalah peubah acak yang didefinisikan sbb: Maka
15 Probability Distribution Function (PDF) n n Definisi : PDF dari suatu peubah acak X adalah fungsi FX: [0, 1] yang didefinisikan sebagai berikut PDF menentukan distribusi dari peubah acak n n Peluang P{X B}, dimana B dan {X B} Sifat
16 Kesalingbebasan statistik dari peubah acak (Statistical independence of random variables) n n Definisi : Peubah acak X dan Y saling bebas jika untuk semua x dan y Definisi : Peubah acak X 1, …, Xn saling bebas jika untuk semua i dan xi
17 Maximum dan minimum dari peubah acak yang saling bebas n Misalkan peubah acak X 1, …, Xn saling bebas Bila Xmax: =max{X 1, …, Xn}, maka n Bila Xmin: =min{X 1, …, Xn}, maka n
18 Peubah acak diskrit n Definisi : himpunan A disebut diskrit bila n n Definisi : peubah acak X disebut diskrit bila terdapat sebuah himpunan diskrit Sx sedemikian hingga Maka n n n Terbatas : A={x 1, …, xn}, atau Tak terbatas : A={x 1, x 2, …} P{X=x} 0 untuk semua x Sx Himpunan Sx disebut himpunan nilai (value set)
19 Peluang titik (point probabilities) n n Misalkan X adalah peubah acak diskrit Distribusi X ditentukan oleh peluang titik pi Definisi : probability mass function (pmf) dari X adalah merupakan fungsi p. X: [0, 1] yang didefinisikan sbb Pada kasus ini, PDF merupakan fungsi step
20 Contoh
21 Kesalingbebasan peubah acak n Peubah acak diskrit X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika untuk semua xi SX dan yj Sy
22 Ekspektasi (harapan, rataan) n Definisi : Harga ekspektasi (rata-rata/mean value) dari X dinyatakan oleh n n n Catatan 1: ekspektasi akan ada hanya jika Catatan 2 : Jika , maka Sifat-sifat
23 Contoh: n Suatu berkas saluran terdiri dari 10 saluran: Jumlah sal yang di duduki P(Xi) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total 0, 20 0, 19 0, 16 0, 13 0, 10 0, 07 0, 05 0, 04 0, 03 0, 02 0, 01 1 Xi. P(Xi) 0 0, 19 0, 32 0, 39 0, 40 0, 35 0, 30 0, 28 0, 24 0, 18 0, 10 2, 75
24 n n Nilai di atas menunjukkan harga rata dari jumlah saluran yang di duduki terus menerus dalam 1 jam sibuk (A). Sehingga dari contoh, nilai 2, 75 menunjukkan bahwa dalam 1 jam sibuk diharapkan 2, 75 saluran di duduki.
25 1 Jam 1 2 10
26 Variance n Definisi : Variance dari X didefinisikan sbb n Rumus yang bermanfaat n Sifat-sifat
27 Covariance n Definisi : Covariance antara X dan Y didefinisikan sbb n Rumus yang bermanfaat n Sifat-sifat
28 Parameter lain yang berhubungan dengan distribusi n n n Deviasi standard dari X Koefisien perubahan (coefficient of variation) dari X Momen ke-k dari X
29 Rata-rata dari peubah acak IID n Misalkan X 1, …, Xn saling bebas dan teridistribusi secara identik (independent and identically distributed [IID]) dengan m dan variance s 2 Rata-rata-nya(average/sample mean) n Maka n
30 Law of large numbers (LLN)
31 Distribusi Bernoulli Menyatakan suatu eksperimen acak dengan dua keluaran yang mungkin n n Sukses (1) : “Probabilitas di duduki” (P) Gagal (0) : “Probabilitas bebas” (q= 1 -P) Nilai 1 berpeluang p (nilai 0 untuk peluang 1 -p)
32 Distribusi binomial Menyatakan jumlah sukses dalam sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli); n n n = jumlah total eksperimen p = peluang sukses dalam suatu eksperimen
33 1 2 n Prob. P(X=i) saluran diduduki = P(x):
34 Contoh: n a. b. Suatu berkas saluran terdiri dari 12 saluran, dengan probabilitas diduduki untuk setiap saluran 0, 3. tentukan probabilitas: Tak ada saluran yang diduduki? 10 saluran diduduki?
35 Distribusi geometrik Menyatakan jumlah sukses yang terjadi sampai didapatkan kegagalan yang pertama dari sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli) n p = peluang sukses dalam suatu eksperimen
36 Sifat memoryless n Distribusi geometrik mempunyai sifat memoryless yaitu untuk semua i, j {0, 1…}
37 Minimum dari peubah acak geometrik
38 Distribusi Poisson Limit dari distribusi binomial dimana n dan p 0, sedemikian hingga np a
39 Contoh n Asumsikan n n n 200 pelanggan terhubung ke sentral lokal Trafik setiap pelanggan adalah 0. 01 Pelanggan saling bebas Maka jumlah panggilan yang aktif X ~ Bin(200, 0. 01) Pendekatan Poisson X Poisson(2, 0) Peluang titik
40 Sifat-sifat distribusi Poisson i. Penjumlahan (sum) : Bila X 1~Poisson(a 1) dan X 2~Poisson(a 2) saling bebas, maka X 1+ X 2 ~Poisson(a 1+ a 2) ii. Random sample : Misalkan X~Poisson(a) menyatakan jumlah elemen dalam suatu himpunan, dan Y menyatakan ukuran random sample dari himpunan tersebut (setiap elemen diambil secara saling bebas dengan peluang p), maka Y~Poisson (pa) iii. Random sorting: Misalkan X dan Y seperti pada (ii), dan Z=X-Y, maka Y dan Z adalah saling bebas (bila X tidak diketahui) dan Z~Poisson ((1 -p)a)
41 Peubah acak kontinu n n n Definisi : peubah acak X kontinu jika terdapat fungsi yang dapat diintegralkan f. X: +, sedemikian hingga untuk semua x Fungsi f. X disebut probability density function (pdf) n Himpunan SX, dimana f. X>0 disebut value set Sifat-sifat
42 Contoh
43 Ekspektasi dan parameter lain n Ekspektasi (nilai rata-rata/mean value) dari X didefinisikan sbb n n Note 1: Ekspektasi ada hanya jika Note 2: Jika , maka Sifat sama dengan distribusi diskrit Parameter distrubusi lainnya didefinisikan dan memiliki sifat yang sama seperti pada distribusi diskrit
44 Distribusi Uniform (X~U(a, b), a<b)
45 Distribusi Eksponensial (X~Exp(l), l>0) n Versi kontinu dari distribusi geometrik (peluang gagal ldt)
46 Sifat memoryless n n Distribusi eksponensial mempunyai sifat memoryless untuk semua x, y (0, ) P{X>x+y X>x}=P{X>y} Aplikasi n n n Asumsikan bahwa call holding time terdistribusi secara eksponensial dengan mean (rata-rata) h Misalnya suatu panggilan telah berakhir selama x menit. Dengan sifat memoryless, hal ini memberi informasi tentang lamanya waktu holding time yang masih tersisa : juga terdistribusi seperti holding time yang asli Ekspektasi dari holding time sisa adalah selalu h
47 Minimum dari peubah acak eksponensial
48 Distribusi normal (Gaussian) ternormalisasi (X ~ N(0, 1))
49 Distibusi normal (Gaussian)
50 Sifat-sifat distribusi Gaussian
51 Central Limit Theorem (CLT)
- Slides: 51