Das Pascalsche Dreieck k 0 n 0 1

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Das Pascalsche Dreieck

Das Pascalsche Dreieck

k 0 n 0 1 1 2 1 1 3 3 4 2 1

k 0 n 0 1 1 2 1 1 3 3 4 2 1 1 2 3 4 5 1 6 1 4 Koordinatensystem und Rekursion Bezeichnung für die Zelle 3 in Zeile n und Spalte k: 4 c(n, k) 5 1 c(n+1, k) = c(n, k-1) + c(n, k) c(n, 0) = 1 c(n, n) = 1 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 5

0 1 1 2 1 1 1 4 3 1 3 3 6 Andere

0 1 1 2 1 1 1 4 3 1 3 3 6 Andere Bezeichnung: 2 1 1 2 3 4 5 Koordinatensystem 4 1 4 5 Dann gilt an den 1 Rändern: 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 5

0 1 1 2 1 1 1 6 Symmetrie 3 1 3 3 4

0 1 1 2 1 1 1 6 Symmetrie 3 1 3 3 4 2 1 1 2 3 4 5 Koordinatensystem 4 1 4 5 1 Rekursion 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 5

Der binomische Lehrsatz

Der binomische Lehrsatz

0 n 0 1 1 2 1 1 1 6 explizite Form 3 1

0 n 0 1 1 2 1 1 1 6 explizite Form 3 1 3 3 4 2 1 1 2 3 4 5 Koordinatensystem 1 4 5 1 k 10 10 5 1 Beweis? 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 5

Die Dreieckszahlen 1

Die Dreieckszahlen 1

1+2=3

1+2=3

3+3=6

3+3=6

6 + 4 = 10

6 + 4 = 10

10 + 5 = 15

10 + 5 = 15

15 + 6 = 21

15 + 6 = 21

Dreiecks-Zahlen 1 1 1 2 1 1 1 3 3 4 1 6 1

Dreiecks-Zahlen 1 1 1 2 1 1 1 3 3 4 1 6 1 4 1 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 5

Die Tetraederzahlen 1

Die Tetraederzahlen 1

1+3=4

1+3=4

4 + 6 = 10

4 + 6 = 10

10 + 10 = 20

10 + 10 = 20

Tetraeder-Zahlen 1 1 1 2 1 1 1 3 3 4 1 6 1

Tetraeder-Zahlen 1 1 1 2 1 1 1 3 3 4 1 6 1 4 1 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 5

Hockey Schläger 1 1 1 2 1 1 1 3 3 4 1 6

Hockey Schläger 1 1 1 2 1 1 1 3 3 4 1 6 1 4 1 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 5

Zeilensummen 0 1 2 3 1 1 1 2 1 1 1 3 3

Zeilensummen 0 1 2 3 1 1 1 2 1 1 1 3 3 4 1 6 1 4 1 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 5 1 2 4 8 16 32 64 Beweis?

Potenzen von 11 0 1 2 3 1 2 1 1 1 6 121=112

Potenzen von 11 0 1 2 3 1 2 1 1 1 6 121=112 1331=113 1 3 3 4 11=111 1 4 1 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 5 1=110 14641=114

1 7 21 35 35 21 7 1 2 3 3 2 1 9

1 7 21 35 35 21 7 1 2 3 3 2 1 9 4 8 7 1 7 1 = 117 1

1 3 3 1331=113 1 1331· 11 1331 14641 = 113 · 11 =

1 3 3 1331=113 1 1331· 11 1331 14641 = 113 · 11 = 114 1 0 1 3 4 3 6 1 4 0 1

Potenzen von (1+x) 0 1 2 3 1 2 1 1 1 6 1+2

Potenzen von (1+x) 0 1 2 3 1 2 1 1 1 6 1+2 x+1 x 2 1 3 3 4 1+x 1 1 1 4 1+3 x+3 x 2+1 x 3 1 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 1 5 Beweis?

1 1 1 2 1 1 3 3 4 1 1 2 3 5

1 1 1 2 1 1 3 3 4 1 1 2 3 5 8 6 1 4 Fibonacci-Zahlen 13 21 1 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 5

Fibonacci-Zahlen 1 1 1 2 1 1 1 3 3 4 1 6 4

Fibonacci-Zahlen 1 1 1 2 1 1 1 3 3 4 1 6 4 8 13 1 21 1 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 5

Neues Koordinatensystem an Position (n, k) = n k 0 n 1 1 1

Neues Koordinatensystem an Position (n, k) = n k 0 n 1 1 1 0 1 1 1 3 1 4 1 1 4 28 6 15 21 7 10 5 15 35 5 1 1 6 21 1 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 8 1 1 4 20 35 56 1 3 10 5 6 1 3 k 3 1 5 2 1 4 2 1 2 5 3 0 6 10 5 3 1 3 3 4 2 1 1 k 1 1 2 n 0 4 1 5 1 15 1 20 15 6 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 6 n+k an Position (n, k) = k n+k (n+k)! = k n!k!

Koordinatensystem 0 0 1 1 2 1 3 1 4 1 21 7 28

Koordinatensystem 0 0 1 1 2 1 3 1 4 1 21 7 28 6 15 6 1 10 5 15 35 4 1 4 20 35 3 10 5 1 5 3 4 2 1 1 6 21 1 7 56 1 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 8 n an Position (n, k) = k 1 2 3 4 5 6 7 k 0 1 1 2 1 3 1 3 3 1 4 6 4 1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 n 1

0 n 0 1 2 1 3 4 1 5 1 1 3 4

0 n 0 1 2 1 3 4 1 5 1 1 3 4 10 5 1 15 1 20 15 6 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 6 n+k an Position (n, k) = k n+k k 1 10 55 220 1 9 45 165 495 7 1 8 36 120 330 792 6 1 7 28 84 210 462 924 5 1 6 21 56 126 252 462 792 4 1 5 15 35 70 126 210 330 495 3 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 2 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 3 1 6 k 2 1 k 1 1 Neues Koordinatensystem (n+k)! = n!k! n

0 n 0 1 1 2 1 3 4 1 5 1 1 3

0 n 0 1 1 2 1 3 4 1 5 1 1 3 4 1 4 10 k 3 1 6 10 5 2 1 k 1 5 1 15 6 1 1 20 15 6 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 c(n, k) = c(n-1, k) + c(n, k-1) c(n, 0) = 1 c(0, k) = 1 1 10 55 220 1 9 45 165 495 7 1 8 36 120 330 792 6 1 7 28 84 210 462 924 5 1 6 21 56 126 252 462 792 4 1 5 15 35 70 126 210 330 495 3 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 2 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 n

0 n 0 1 1 2 1 3 4 1 5 1 1 3

0 n 0 1 1 2 1 3 4 1 5 1 1 3 4 1 4 10 k 3 1 6 10 5 2 1 Hockey Schläger k 1 5 1 15 6 1 1 20 15 6 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 c(n, k) = c(n-1, k) + c(n, k-1) c(n, 0) = 1 c(0, k) = 1 1 10 55 220 1 9 45 165 495 7 1 8 36 120 330 792 6 1 7 28 84 210 462 924 5 1 6 21 56 126 252 462 792 4 1 5 15 35 70 126 210 330 495 3 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 2 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 n

Das Manhattan Taxi Problem n 7 6 5 4 3 2 1 0 0

Das Manhattan Taxi Problem n 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 10 1 9 45 1 8 36 1 7 28 1 6 21 56 126 1 5 15 35 70 126 1 4 10 20 35 56 1 3 6 10 15 21 28 36 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 3 4 5 n + k Blöcke 6 7 k

Entfernungen in Manhattan

Entfernungen in Manhattan

Das Manhattan Taxi Problem n Insgesamt n+k Blöcke, wähle k 7 6 5 4

Das Manhattan Taxi Problem n Insgesamt n+k Blöcke, wähle k 7 6 5 4 3 2 1 0 0 n + k Blöcke 1 10 1 9 45 1 8 36 1 7 28 1 6 21 56 126 1 5 15 35 70 126 1 4 10 20 35 56 1 3 6 10 15 21 28 36 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 Wieviele Wege? 3 4 5 6 7 k

Das Manhattan Taxi Problem n Insgesamt n+k Blöcke, wähle k 7 6 5 4

Das Manhattan Taxi Problem n Insgesamt n+k Blöcke, wähle k 7 6 5 4 3 2 1 0 0 n + k Blöcke 1 10 1 9 45 1 8 36 1 7 28 1 6 21 56 126 1 5 15 35 70 126 1 4 10 20 35 56 1 3 6 10 15 21 28 36 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 Wieviele Wege? 3 4 5 6 7 k

Das Manhattan Taxi Problem n Insgesamt n+k Blöcke, wähle k 7 6 5 4

Das Manhattan Taxi Problem n Insgesamt n+k Blöcke, wähle k 7 6 5 4 3 2 1 0 0 n + k Blöcke 1 10 1 9 45 1 8 36 1 7 28 1 6 21 56 126 1 5 15 35 70 126 1 4 10 20 35 56 1 3 6 10 15 21 28 36 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 Wieviele Wege? 3 4 5 6 Simulation 7 k

Das Manhattan Taxi Problem k 7 6 5 4 3 2 1 0 0

Das Manhattan Taxi Problem k 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 10 1 9 45 1 8 36 1 7 28 1 6 21 56 126 1 5 15 35 70 126 1 4 10 20 35 56 1 3 6 10 15 21 28 36 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 3 4 5 r Wege zum Ziel über n 6 7 n

Das Manhattan Taxi Problem k 7 6 5 4 3 2 1 0 0

Das Manhattan Taxi Problem k 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 10 1 9 45 1 8 36 1 7 28 1 6 21 56 126 1 5 15 35 70 126 1 4 10 20 35 56 1 3 6 10 15 21 28 36 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 3 4 5 s Wege zum Ziel über 6 7 n

Das Manhattan Taxi Problem c(n, k) = c(n-1, k) + c(n, k-1) c(n, 0)

Das Manhattan Taxi Problem c(n, k) = c(n-1, k) + c(n, k-1) c(n, 0) = 1 c(0, k) = 1 k 1 10 55 220 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1716 1 9 45 165 495 1 8 36 120 330 792 1 7 28 84 210 462 924 1 6 21 56 126 252 462 792 1 5 15 35 70 126 210 330 495 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 3 4 5 6 7 n r+s Wege zum Ziel über und