Das Haus vom Nikolaus J Pellatz 112010 Das

Das Haus vom Nikolaus J. Pellatz 11/2010

Das Haus vom Nikolaus ? Wer kann da weiterhelfen? J. Pellatz 11/2010

Das Haus vom Nikolaus Leonard Euler (1707 – 1783) J. Pellatz 11/2010

Das Haus vom Nikolaus Das Königsberger Brückenproblem Durch die Stadt Königsberg in Preußen (heute Kaliningrad) fließt ein Fluss. In diesem Fluss liegen zwei Inseln, die ihrerseits durch insgesamt 7 Brücken verbunden sind. Zur Insel C führen von beiden Seiten des Festlandes je zwei Brücken, zur Insel D je eine. Die beiden Inseln sind ebenfalls durch eine Brücke verbunden. Zu Leonard Eulers Zeiten stellten sich die Bürger die Stadt die Frage, ob es möglich sei, einen Spaziergang durch die Stadt zu machen und dabei jede Brücke nur einmal zu benutzen. Jahrelang blieb diese Frage unbeantwortet. Doch Euler wusste die Lösung. J. Pellatz 11/2010

Das Haus vom Nikolaus Grundlagen der Graphentheorie Es gibt Knoten Es gibt Kanten Knoten können mit Kanten verbunden sein. Ein Graph besteht aus Knoten und Kanten J. Pellatz 11/2010

Das Haus vom Nikolaus Anwendungsgebiete der Graphentheorie Die Graphentheorie ist ein junges Gebiet der Mathematik, das erst durch die Einführung des Computers zu einem bedeutenden Zweig der Mathematik wurde. Anwendungsgebiete sind: ØRoutenplanung Finde die kürzeste, oder schnellste Route, die mehrere Ort verbindet. ØFahrpläne Stimme die Fahrzeiten eines Bahnnetzes so aufeinander ab, dass die Wartezeiten minimiert werden. ØKartographie Färbe eine Landkarte mit möglichst wenig Farben so ein, dass angrenzende oder benachbarte Länder nie die gleiche Farbe aufweisen. J. Pellatz 11/2010

Das Haus vom Nikolaus Die Anzahl der Knoten eines Graphen bezeichnet man als K. Die Anzahl der Kanten, die von einem Knoten ausgehen bezeichnet man als Grad n Die Gesamtzahl aller möglichen Kanten berechnet man mit der Formel ng = K * n/2 In diesem Fall ist ng = 10, da es 5 Knoten gibt und von jedem Knoten 4 Kanten ausgehen J. Pellatz 11/2010

Das Haus vom Nikolaus Ein Graph heißt Eulerscher Graph, wenn es möglich ist, ihn ohne abzusetzen in einem Zug zu zeichnen. Ein Graph ist ein Eulerscher Kreis, wenn er eulersch ist und man beim Zeichnen am Ende wieder auf dem Anfangsknoten landet. Der dargestellte Graph ist ein Eulerscher Kreis J. Pellatz 11/2010

Das Haus vom Nikolaus A B Der obige Graph ist eulersch, wenn man in Punkt A oder B anfängt zu zeichnen. Der obige Graph ist nicht eulersch. Woran erkennt man, ob ein Graph eulersch ist? J. Pellatz 11/2010

Das Haus vom Nikolaus Genau! Der abgebildete Graph hat zwei Knoten mit einem ungeraden Grad (1 und 3) und 4 Knoten mit einem geraden Grad (2 oder 4). Du musst bei einem Knoten mit einem ungeraden Grad beginnen und endest bei dem andern Knoten mit einem ungeraden Grad! Wenn alle Knoten einen ungeraden Grad haben, ist der Graph nicht eulersch! Wenn alle Knoten einen geraden Grad haben, handelt es sich um einen Eulerschen Kreis. J. Pellatz 11/2010

Das Haus vom Nikolaus Wie kann man nun das Haus vom Niklolaus zeichnen? Handelt es sich dabei um einen eulerschen Graph oder gar um einen eulerschen Kreis? Bei welchem Knoten muss man anfangen? J. Pellatz 11/2010

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Das Haus vom Nikolaus Das Königsberger Brückenproblem als Stadtplan und abstrakt als Graph mit Knoten und Kanten dargestellt Euler konnte zeigen, dass ein Spaziergang durch die Stadt, bei dem jede Brücke nur einmal benutzt wird, nicht möglich ist, da der Graph nicht eulersch ist. J. Pellatz 11/2010

Das Haus vom Nikolaus Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Anwendungsbeispiel: Optimierung von Taktfahrplänen J. Pellatz 11/2010 Die Bundeländer BRD mit nur 4 Farben dargestellt.