Curvas Planas q Curvas en plano coordenadas cartesianas

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Curvas Planas q. Curvas en plano: coordenadas cartesianas (I) q. Curvas en plano: coordenadas

Curvas Planas q. Curvas en plano: coordenadas cartesianas (I) q. Curvas en plano: coordenadas cartesianas (II) q. Ecuaciones paramétricas de la circunferencia de radio r y centro en el origen de coordenadas q. Ecuaciones paramétricas de la elipse de centro en el origen de coordenadas y referida a sus ejes q. Ecuaciones paramétricas de la hipérbola de centro en el origen de coordenadas y referida a sus ejes q. Ecuaciones paramétricas de las parábolas de ejes paralelos a los ejes coordenados q. Curvas mecánicas: cicloide q. Curvas mecánicas: cardiode q. Dibujo de la cardiode q. Curvas en el plano. Coordenadas polares q. Paso de coordenadas cartesianas a polares y viceversa q. Algunas curvas en polares (I) q. Algunas curvas en polares (III) q. Espirales de centros q. Espirales logarítmica y de Arquímedes Presentación para los alumnos de 2º de bachillerato del IES “López-Neyra” de Córdoba Profesor: JTJ

Fi na l Curvas en plano: coordenadas cartesianas (I) Conjunto de puntos del plano

Fi na l Curvas en plano: coordenadas cartesianas (I) Conjunto de puntos del plano que forman la circunferencia de centro (0, 0) y radio 2: x 2 + y 2 – 4 = 0 Esta ecuación es de la forma F(x, y) = 0: recibe el nombre de ecuación implícita de la curva

l na Fi Curvas en plano: coordenadas cartesianas (II) Esta curva tiene de ecuación

l na Fi Curvas en plano: coordenadas cartesianas (II) Esta curva tiene de ecuación (x 2 + y 2)3 – 4 x 2 y 2 = 0. En este caso no es posible el paso de la forma implícita a la forma explícita Los puntos de esta circunferencia también se pueden obtener dándole valores a t, 0 t < 2 , en las expresiones x = 2 cos t y = 2 sen t Estas ecuaciones reciben el nombre de forma paramétrica de la curva. Son ecuaciones de la forma x = f(t) y = g(t)

Fi na l Ecuaciones paramétricas de la circunferencia de radio r y centro en

Fi na l Ecuaciones paramétricas de la circunferencia de radio r y centro en el origen de coordenadas Un punto cualquiera de la circunferencia X(x, y) tiene de coordenadas: x = r cos t 0 t < 2 y = r sen t que son las ecuaciones paramétricas de la circunferencia } Eliminando t obtenemos la ecuación implícita de la circunferencia: x 2 + y 2 = r 2 sen 2 t + r 2 cos 2 t = r 2 (sen 2 t + cos 2 t) = r 2

Fi na l Ecuaciones paramétricas de la elipse de centro en el origen de

Fi na l Ecuaciones paramétricas de la elipse de centro en el origen de coordenadas y referida a sus ejes Se observa que A(a cos t, a sen t) y B(b cos t, b sen t). Entonces • Un punto cualquiera de la elipse X(x, y) tiene de coordenadas: x = a cos t y = b sen t 0 t < 2 que son las ecuaciones paramétricas de la elipse } Eliminando t obtenemos la ecuación implícita de la elipse: (x/a)2 + (y/b)2 = cos 2 t + cos 2 t = 1

l Fi na Ecuaciones paramétricas de la hipérbola de centro en el origen de

l Fi na Ecuaciones paramétricas de la hipérbola de centro en el origen de coordenadas y referida a sus ejes Sea un punto cualquiera P(x, y) de la rama derecha de la hipérbola (para los de la izquierda procedemos por simetría). Tendremos: cos t = a/x x = a sec t Despejando y de la ecuación de la hipérbola: y = b tg t. Las ecuaciones paramétricas de la hipérbola son: x = a sec t 0 t < 2 y t /2, t 3 /2 y = b tg t } Eliminando t obtenemos la ecuación implícita de la hipérbola: (x/a)2 – (y/b)2 = sec 2 t – tg 2 t = 1

l na Fi Ecuaciones paramétricas de las parábolas de ejes paralelos a los ejes

l na Fi Ecuaciones paramétricas de las parábolas de ejes paralelos a los ejes coordenados Las ecuaciones paramétricas de la parábola horizontal son: x = at 2 + bt + c y=t } Las ecuaciones paramétricas de la parábola vertical son: x=t y = at 2 + bt + c }

Curvas mecánicas: cicloide Curva descrita por un punto fijo de una circunferencia cuando ésta

Curvas mecánicas: cicloide Curva descrita por un punto fijo de una circunferencia cuando ésta gira sin deslizarse sobre una recta (curva base). En su forma más sencilla se toma la recta sobre el eje OX y el punto P en su posición inicial coincide con el origen de coordenadas. r Después de girar P(x, y) un ángulo a: OM = arco MP = r a. Por tanto: • x = OM – MP' = OM – HP = r a – r sen a = r (a – sen a ) • y = CM + CH = r – r cos a = r (1 – cos a ) • Fi na Ecuaciones paramétricas de la cicloide l }

Curvas mecánicas: cardiode Una cardiode es una curva descrita por un punto fijo de

Curvas mecánicas: cardiode Una cardiode es una curva descrita por un punto fijo de una circunferencia cuando ésta gira sin deslizarse sobre otra circunferencia fija de igual radio. Para obtener sus ecuaciones paramétricas: • La curva base (circunferencia) tiene su centro en el origen de coordenadas. • El punto P (fijo), en su posición inicial, coincide con el punto de la circunferencia fija al cortar al eje OY } Fi na Las ecuaciones paramétricas de la cicloide serán: • x = OH – HP' = OH – EP = 2 r sen a – r sen 2 a • y = CH – CE = 2 r cos a – r cos 2 a l Después de girar P(x, y) un ángulo a: ángulo AOM = ángulo PCM = =a ángulo AOC = ángulo OCH = =a

Construcción con circunferencias: La cardiode se obtiene con circunferencias cuyos centros están todos en

Construcción con circunferencias: La cardiode se obtiene con circunferencias cuyos centros están todos en la curva base y pasan por un punto fijo de dicha curva. na l Fi Dibujo de la cardiode Construcción con rectas: La cardiode se forma por rectas que se obtienen uniendo los puntos 1 con 2, 2 con 4, 4 con 8, . . . , n con 2 n si 2 n < 36 o con 2 n – 36 si 2 n > 36.

Fi na l Curvas en el plano. Coordenadas polares • • • Podemos situar

Fi na l Curvas en el plano. Coordenadas polares • • • Podemos situar el punto P en el plano mediante sus coordenadas cartesianas (x, y). También lo podemos situar mediante sus coordenadas polares P(r, a). Para situar un punto mediante sus coordenadas polares Se toma el eje OX como origen de ángulos: se le llama eje polar. Para todos los puntos del plano (salvo el origen) r > 0, y 0 a < 2 O es el polo, de coordenadas polares O(0, 0 rad)

Paso de unas coordenadas a otra Cartesianas a polares Polares a cartesianas Fi na

Paso de unas coordenadas a otra Cartesianas a polares Polares a cartesianas Fi na l Paso de coordenadas cartesianas a polares y viceversa

Recta que pasa por el polo l na Fi Algunas curvas en polares (I)

Recta que pasa por el polo l na Fi Algunas curvas en polares (I) Los puntos de la recta son de la forma P(r, k) o P(r, k + ) para r toma cualquier valor real positivo. Por ello la ecuación de dicha recta es: Circunferencia con centro en el polo y radio a Los puntos la circunferencia son de la forma P(a, a) siendo 0 a < 2 . Por ello la ecuación de dicha circunferencia es

Circunferencia con centro C(a, 0) y radio a l na Fi Algunas curvas en

Circunferencia con centro C(a, 0) y radio a l na Fi Algunas curvas en polares (II) Cualquier punto P(r, a) de la circunferencia hace que OPM sea rectángulo. Por tanto r = OM. cos a = 2 a. cos a ecuación que también cumplen O y M. Por tanto la ecuación de esta circunferencia es: Circunferencia con centro C(b, b) y radio a Sea un punto P(r, a) cualquiera de la circunferencia. Aplicando a OCP el teorema del coseno a 2 = r 2 + b 2 – 2 rb cos(a - b) Por tanto la ecuación de dicha circunferencia será:

l na Fi Algunas curvas en polares (III) Recta que no pasa por el

l na Fi Algunas curvas en polares (III) Recta que no pasa por el polo Suponemos conocidos • • La distancia d desde el polo a la recta. El ángulo ao que forma la perpendicular a la recta por el polo, con el eje polar Sea P(r, a) un punto cualquiera de la recta. Como el triángulo ODP es rectángulo en D, aplicando la definición de coseno

na l Fi Espirales de centros Las espirales de centros se pueden construir con

na l Fi Espirales de centros Las espirales de centros se pueden construir con regla y compás. La de dos centros se dibuja de la siguiente forma: • Con centro en 1 se dibuja el arco de circunferencia AB • Con centro en 2 se dibuja el arco de circunferencia BC • Con centro en 1 se dibuja el arco de circunferencia CD • Con centro en 2 se dibuja el arco de circunferencia DE • Y así sucesivamente Espiral de 3 centros Espiral de 4 centros Espiral de 6 centros

na l Fi Espirales logarítmica y de Arquímedes Estas espirales no se pueden construir

na l Fi Espirales logarítmica y de Arquímedes Estas espirales no se pueden construir con regla y compás. Se pueden visualizar obteniendo un número muy alto de puntos de cada una de ellas y uniéndolos manualmente Espiral logarítmica Espiral de Arquímedes: generada por un punto que recorre con movimiento uniforme el radio vector cuando éste gira también con movimiento uniforme