Curs 6 Algoritmi de enumerare i paradigma backtracking

Curs 6 • Algoritmi de enumerare şi paradigma “backtracking” – prezentare generală – algoritmi de enumerare – “backtracking” – algoritmi – Studii de caz • problema celor n regine • colorarea grafurilor • submulţimea de sumă dată Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 1

Backtracking: cadrul general • metoda de rezolvare: căutare în spaţiul soluţiilor candidat (finit) • căutare exhaustivă: este cercetat întregul spaţiu • backtracking = căutare sistematică • spaţiul soluţiilor este organizat ca un arbore – un vârf este viabil dacă sunt şanse să se găsească o soluţie explorând subarborele cu rădăcina în acel vârf – sunt exploraţi numai subarborii cu rădăcini viabile – "backtracking" explorează lista vârfurilor viabile din arbore utilizând DFS Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 2

Backtracking: elemente de bază • spaţii de căutare: – – – produsul cartezian submulţimi permutări drumuri în graf etc. • se defineşte o funcţie criteriu prin care se stabileşte dacă un vârf este viabil sau nu • arborele este explorat prin algoritmul DFS – fie x = (x 0, . . . , xk) secvenţa care descrie drumul de la rădăcină la vârful curent – dacă vârful curent este pe frontieră se verifică dacă x este soluţie – în caz contrar se alege următorul succesor viabil (dacă există) Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 3

Backtracking pentru probleme de minim • problema: calculul lui minx f(x) • presupunere: f(x 1, . . . , xk-1, xk) = f(x 1, . . . , xk-1) + g(xk) cu g(xk) > 0 • se porneşte cu un minim iniţial • dacă vârful curent este pe frontieră se verifică dacă f(x) este mai mic decât minimul calculat până în acel moment; dacă da, atunci f(x) devine noul minim • dacă vârful curent NU este pe frontieră şi f() calculat pentru soluţia parţială este mai mare decât minimul calculat până în acel moment, atunci vârful nu este viabil şi este abandonat Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 4

Spaţiul soluţiilor = produs cartezian • S = {1, 2, 3} {1, 2} 1 3 2 1 2 1 2 (1, 1) (1, 2) (2, 1) (2, 2) (3, 1) (3, 2) Ø dimensiunea spaţiului: A 0 A 1 . . . An-1 are |A 0| |A 1| . . . |An-1| elemente Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 5

Enumerarea elementelor din {0, . . . , m-1}n • fiecare vârf în arbore este identificat cu drumul de la rădăcină până la el: (x 0, x 1, . . . , xk) • pentru vârful de pe frontieră, k = n-1 şi drumul (x 0, x 1, . . . , xn-1) este un element al produsului • simulăm generarea arborelui prin parcurgere DFS • stiva este reprezentată de variabila simplă k; aceasta indică poziţia vârfului stivei Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 6

Enumerarea elementelor din {0, . . . , m-1}n procedure Enum. Prod. Cart(m, n) begin k 0; x[0] -1 while (k >= 0) do if (x[k] < m-1) then x[k]++ if (k=n-1) then scrie(x) else k++ x[k] -1 else k-end Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 7

Exemplu • S = {0, 1, 2} 0 0 1 2 2 2 1 0 1 2 (0, 0) (0, 1) (1, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0)(2, 1) (2, 2) Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 8

Produs cartezian – algoritm recursiv • (x 0, x 1, . . . , xk, . . . xn-1) • xk ia valori 0, 1, 2, . . . , m-1 procedure enum. Prod. Cart. Rec(x, k) for j 0 to m-1 do x[k] j if (k = n-1) then scrie. Element(x, n) else enum. Prod. Cart. Rec(x, k+1) end enum. Prod. Cart. Rec(x, 0) Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 9

Spaţiul soluţiilor = submulţimi • S {0, 1, . . . , n-1} • S poate fi reprezentată prin vectorul său caracteristic x: x[i] {0, 1}, x[i] = 1 i S • vectorul caracteristic {0, 1}n • enumerare submulţimi = enumerare vectori caracteristici • dimensiune spaţiu: 2 n Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 10

Submulţimi: exemplu n = 3 0 0 0 Algoritmi şi Programare 1 1 1 0 {2} {1} 0 1 1 0 1 {1, 2} 2008 - 2009 11

Spaţiul soluţiilor = permutări n = 3: 0 1 2 012 2 0 2 1 2 0 0 021 102 120 1 201 1 0 210 • enumerare permutări prin "bactracking" – x[k] viabil 0 x[k] n-1 si x[k] x[i] pentru i = 0, . . . , k-1 Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 12

Spaţiul soluţiilor = permutări • Varianta recursivă: Fie Sn mulţimea permutărilor elementelor mulţimii {0, 1, …, n-1} – Orice permutare din Sn se obţine dintr-o permutare din Sn-1 prin adăugarea lui n-1 într-o anume poziţie • Definiţia recursivă: – S 0 = {(0)} – Sn = { (io, …, in-2, n-1), (io, …, n-1, in-2), …, (n-1, io, …, in-2) | (io, …, in-2) Sn-1 } • Generalizare: Sn( , k) mulţimea permutărilor din Sn ce pot fi obţinute din Sk: Sn( , k) = Sn((io, …, ik-1, k), k+1) . . . Sn((k, io, …, ik-1), k+1), unde • Sn( , n) = { } • Sn = Sn((0), 1) Algoritmi şi Programare = (io, …, ik-1) 2008 - 2009 13

O reprezentare (0) (0, 1, 2) (0, 2, 1) Algoritmi şi Programare (1, 0) (2, 0, 1) (1, 0, 2) 2008 - 2009 (1, 2, 0) (2, 1, 0) 14

Spaţiul soluţiilor = permutări (recursiv) procedure enum. Perm. Rec(p, k) if (k = n) then scrie. Perm(p, n) else p[k] k for i k-1 downto 0 do enum. Perm. Rec(p, k+1) swap(p[i+1], p[i]) enum. Perm. Rec(p, k+1) end p[0] = 0 enum. Perm. Rec(p, 0) Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 15

Spaţiul soluţiilor = permutări (nerecursiv) procedure enum. Perm(n) k 0 S[0] 0 while (k >= 0) do if (S[k] >= 0) then f(k, S[k], p) S[k]-1 if (k = n-1) then scrie. Perm(p, n) else k k+1 S[k] k else aux p[0] for i 0 to k-1 do p[i] p[i+1] p[k] aux k k-1 end Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 16

Spaţiul soluţiilor = permutări function f(k, i, p) if (i = k) then p[k] k else aux p[i+1] p[i] aux end Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 17

Spaţiul soluţiilor = drumuri în graf cu sursa dată 0 0 1 1 2 3 4 4 2 3 3 2 3 4 2 1 1 Øse parcurge DFS Øori de câte ori se epuizează lista de aşteptare a lui i ≠ i 0 se face p[i] = a[i] (se reia de la capăt) Øse înlocuieşte testul i S cu i stiva Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 18

Drumuri în graf cu sursa şi destinaţia precizate (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (0, 2) (1, 1) (0, 1) (1, 2) (1, 0) (1, 2) (0, 2) (1, 2) • lista de adiacenţă = parcurgerea în sensul acelor de ceasornic începând cu vecinul din dreapta • se parcurge DFS începând cu (0, 0) • ori de câte ori se întâlneşte (1, 2) stiva descrie un drum de la (0, 0) la (1, 2) Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 19

Spaţiul soluţiilor = labirint (0, 0) 0 1 2 0 0 1 1 1 0 0 0 2 3 1 1 0 0 3 1 0 1 4 0 0 0 5 şi Programare 0 1 1 Algoritmi 0 0 0 (5, 3) lista de adiacenţă = parcurgerea în sensul arcelor de ceasornic începând cu vecinul din dreapta 2008 - 2009 20

Backtracking – algoritm nerecursiv procedure backtracking(n) k 0 while (k >= 0) do if ((exista y in T(x[0. . k]) neincercat) and (viabil(y))) then x[k+1] y if (x = solutie) then scrie(x) else k k+1 else k k-1 end T(x[0. . k]) multimea tuturor valorilor posibile pentru x[k+1] Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 21

Backtracking – algoritm recursiv procedure backtracking. Rec(x, k) forall y in T(x[0. . k]) neincercat and viabil(y) do x[k+1] y if (x = solutie) then scrie(x) else backtracking. Rec(x, k+1) end Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 22

Backtracking – spaţiul produs cartezian procedure backtrack(n, m) k 0 x[0] -1 while (k >= 0) do if (x[k] < m-1) then repeat x[k]+1 until(viabil(x, k) or (x[k]=m-1)) if (viabil(x, k)) then if ((k = n-1) and ST(x)) then scrie. Element(x, n) else k k+1 x[k] -1 else k k-1 end Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 23

Backtracking – spaţiul produs cartezian procedure backtrack. Rec(x, k) for j 0 to m-1 do x[k] j if ((k = n-1) and (ST(x)) then scrie. Element(x, n) else if (viabil(x, k)) then backtrack. Rec(x, k+1) end Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 24

Backtracking: problema celor n regine • Problema – intrare: o tablă de şah n n, n regine – ieşire: toate aşezările posibile ale celor n regine pe tabla fără ca ele să se atace 0 1 2 3 Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 25

Problema celor n regine • reprezentarea soluţiei – o reprezentare care nu-i OK Q[i, j] = true pe pozitia [i, j] se găseste o regină nr. sol. candidat = 2 n n – o reprezentare mai bună s[i] = j Q[i, j] = true nr. sol. candidat = nn n = 8 2 n n = 264 , nn = 224 • criteriul de viabilitate – ( i) 0 i k – 1 s[i] s[k] |s[i] – s[k]| |i-k| Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 26

Problema celor n regine: arborele tăiat 0 2 1 3 3 1 3 2 0 0 0 3 2 1 1 2 0 0 1 x 2 x 3 Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 1 x 2 x 3 x x 27

Backtracking: colorarea grafurilor • problema – instanţa • un graf G = (V, E), V = {0, . . . , n-1}, • m culori 1, 2, . . . , m • colorare c : V {1, 2, . . . , m}, {i, j} E c[i] c[j] – ieşire: • toate colorările posibile • modelul matematic – reprezentarea soluţiilor • c {1, 2, . . . , m}n – criteriul de viabilitate • ( j) 0 j < k and {j, k} E c[j] c[k] Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 28

Backtracking: submulţimi de sumă dată • problema – instanţa • o mulţime A cu n elemente • fiecare a A are o mărime s[a] Z+ • un număr M Z+ – ieşire • submulţimile A’ A cu (s[a] a A’) = M Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 29

Backtracking: submulţimi de sumă dată • modelul matematic – reprezentarea soluţiei • pp. A = {0, 1, . . . , n-1}, s[i] = wi • A' reprezentată prin vectorul caracteristic x – criteriul de viabilitate: i=1, k xi wi M şi i=1, k xi wi + i=k+1, n wi M Algoritmi şi Programare 2008 - 2009 30