CUERPOS GEOMTRICOS U D 9 Angel Prieto Benito
CUERPOS GEOMÉTRICOS U. D. 9 * @ Angel Prieto Benito 3º ESO E. AC. Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1
PRISMAS U. D. 9. 3 * @ Angel Prieto Benito 3º ESO E. AC. Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2
PRISMAS • • • Un prisma es un poliedro limitado por dos caras iguales y paralelas (bases) y tantos paralelogramos (caras laterales) como lados tienen las bases. La altura, h, de un prisma es la distancia entre las bases paralelas y siempre perpendicular al plano de las bases. Ejemplos: h h @ Angel Prieto Benito h Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3
TIPOS DE PRISMAS • PRISMAS RECTOS • Son los prismas cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases. • PRISMAS OBLICUOS • Son los prismas cuyas aristas laterales NO son perpendiculares a las bases. • PRISMAS REGULARES • Son los prismas cuyas caras son polígonos regulares. • PARALELEPÍPEDOS • Son los prismas cuyas caras son paralelogramos. • ORTOEDROS • Son los prismas paralelepípedos cuyas caras son rectángulos. • CUBO O EXAEDRO REGULAR • Es el prisma paralelepípedo cuyas caras son cuadrados. • También se puede clasificar al mismo tiempo según la forma de su base @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 4
PARALELEPÍPEDOS @ Angel Prieto Benito • Son prismas donde todas sus caras son paralelogramos. • • ORTOEDRO CUBO ROMBOEDRO ROMBOIDEDRO Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5
Propiedades métricas del PRISMA • Sus bases, ambas iguales, son siempre polígonos de n lados. • Sus caras laterales, iguales o no, son siempre paralelogramos, cuadrados y rectángulos en prismas rectos; y rombos y romboides en prismas oblicuos. • Presenta varios tipos de diagonales: • DIAGONALES DE LAS BASES: • Si la base es rectangular, presenta dos • diagonales iguales. Sea d la diagonal: • Por Pitágoras: d = √(l 2 + a 2) d’’ • • • DIAGONALES DE CARAS LATERALES: Presenta dos diagonales iguales por cada cara lateral si el prisma es recto. Por Pitágoras: d’ = √(h 2 + a 2) en una cara. d’’ = √(l 2 + a 2 ) en otra cara lateral distinta. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO h d’ d a l 6
Propiedades métricas del PRISMA • DIAGONAL DE UN PRISMA • Se llama así a la que une vértices opuestos respecto al centro geométrico del prisma. • Se denota por D. En un prisma de base rectangular o cuadrada hay cuatro y todas del mismo valor. D h d a l • Es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son d y h, diagonal de la base y altura. • Luego se puede y se debe utilizar el Teorema de Pitágoras: • D = √(d 2 + a 2) = √ (l 2 + a 2 + h 2) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 7
Ejemplo_1 • Un prisma recto de base rectangular presenta las siguientes dimensiones: • Largo=4 cm, ancho=3 cm y alto=5 cm. • Hallar sus diagonales. • Diagonales de la base: • d= √(l 2 + a 2) = √(16 + 9) = √ 25 = 5 cm • Diagonales laterales: • d’= √(l 2 + h 2) = √(16 +25) = √ 41 cm D • d’’= √(a 2 + h 2) = √(9 +25) = √ 34 cm h • Diagonal del prisma: • D = √(d 2 + a 2) = √ (l 2 + a 2 + h 2) = d a l @ Angel Prieto Benito • = √ (16 + 9 + 25) = √ 50 = √ 2. 25 = 5. √ 2 cm Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8
Ejemplo_2 • Un prisma recto de base rectangular presenta doble largo que ancho, la altura mide 10 cm y la diagonal del prisma mide 13 cm. • Hallar las dimensiones de la base. • Diagonal del prisma: • D = √(d 2 + a 2) = √ (l 2 + a 2 + h 2) = 13 • Como l = 2. a y h= 10 • 13 = √ (4. a 2 + 100) D • Elevando todo al cuadrado: h • 169 = 5. a 2 + 100 d a l @ Angel Prieto Benito • 69 = 5. a 2 = 69/5 a = √ 69/5 • l = 2. a l = 2. √ 69/5 Apuntes de Matemáticas 3º ESO 9
Ejemplo_3 • Un prisma recto de base rectangular presenta una altura 3 cm mayor que el ancho, el largo mide 5 cm y la diagonal del prisma mide 9 cm. • Hallar el ancho y la altura. • Diagonal del prisma: • D = √(d 2 + a 2) = √ (l 2 + a 2 + h 2) = 9 • Como h = a + 3 y l = 5 • 9 = √ (52 + a 2 + (a+3)2) • Elevando todo al cuadrado: D • 81 = 25 + a 2 + 6. a + 9 h • 2. a 2 + 6. a - 47 Ecuación de 2º grado d • a = (- 6 +/- √(36+376))/4 a l @ Angel Prieto Benito • a = 3, 575 cm Apuntes de Matemáticas 3º ESO l = 2. a = 7, 15 cm 10
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