CUERPOS GEOMTRICOS U D 10 Angel Prieto Benito

CUERPOS GEOMÉTRICOS U. D. 10 * @ Angel Prieto Benito 3º ESO E. AP. Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1

CILINDROS Y CONOS U. D. 10. 5 * @ Angel Prieto Benito 3º ESO E. AP. Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2

Cilindros y conos • • CILINDRO Se puede definir un cilindro como un prisma regular recto cuyo polígono de la base presenta infinitos lados (círculo). CONO Se puede definir un cono como una pirámide regular recto cuyo polígono de la base presenta infinitos lados (círculo). r r @ Angel Prieto Benito r Apuntes de Matemáticas 3º ESO r 3

Desarrollo del prisma recto • • • En un prisma recto la superficie lateral es siempre un RECTÁNGULO. ÁREA LATERAL: Al = l. h + a. h + l. h + a. h = (2. l+2. a). h = P. h ÁREA DE LAS BASES: Ab = 2. l. a ÁREA TOTAL: At = Al + Ab h h l @ Angel Prieto Benito l a a a Apuntes de Matemáticas 3º ESO 4

Desarrollo de la pirámide • La superficie lateral es la suma de los n triángulos que la forman, siendo n el número de lados de la base. • ÁREA LATERAL: Al = P. Apo /2 • Siendo P el perímetro de la base y Apo • la apotema de la pirámide. • ÁREA DE LA BASE: • El área del polígono que la forma. • • ÁREA TOTAL • At = Al + Ab apo l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5

Desarrollo del cilindro • • • ÁREA LATERAL: La del rectángulo que se forma: Al = b. h Al = 2. π. r. h ÁREA DE LAS BASES: Ab = 2. π. r 2 r h 2. π. r h r r • • @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO ÁREA TOTAL: At = Al + Ab 6

DESARROLLO DEL CONO • La superficie lateral del cono es un SECTOR CIRCULAR cuyo radio es la llamada GENERATRIZ , g. » ÁREA LATERAL » Al = π. r. g » ÁREA DE LA BASE » Ab = π. r 2 g g r » ÁREA TOTAL » At = Al + Ab h r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 7

Ejercicios • • EJERCICIO 1 El área total de un tetraedro es 4. √ 3 cm 2. Hallar la arista. • • El tetraedro es una pirámide regular recta. Como el área total es: At = 4. Área del triángulo equilátero. At = 4. [b. h / 2] = 4. (a. a√ 3 / 2)/2 = 2. a 2. √ 3 Despejando: a 2 = 4. √ 3 / 4√ 3 = 1 a =1 cm • • EJERCICIO 2 La diagonal de un cubo es 8. √ 3 cm. Hallar la arista y el área total. • El cubo es un prisma regular recto de base cuadrada y de altura el lado de la base. Como la diagonal del cubo es: D = √(a 2 + a 2) = √ 3. a 2 = a. √ 3 8. √ 3 = a. √ 3 a = 8 At = 6. a 2 = 6. 82 = 6. 64 = 384 cm 2 • • • @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8

• • EJERCICIO 3 El área total de un octaedro es 8. √ 3 cm 2. Hallar la arista. • • • Como el área total es: At = 8. Área del triángulo equilátero. • • EJERCICIO 4 El lado de la base de un prisma regular (recto) de base cuadrada mide 3 cm, y la altura del prisma mide 5 cm. Hallar el área lateral y el total. • • El área de la base será: Ab = 32 = 9 cm 2 El área lateral del prisma será: Al = P. h = 4. a. h = 4. 3. 5 = 60 cm 2 • • El área total será: At = 2. Ab + Al = 2. 9 + 60 = 18 + 60 = 78 cm 2 At = 8. (a. a√ 3 / 2)/2 = 2. a 2. √ 3 Despejando: a 2 = 8. √ 3 / 2√ 3 = 4 a =2 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 9

• EJERCICIO 5 • El área total de un prisma regular (recto) de base exagonal es de 48 cm 2 y la altura es doble que el lado de la base. Hallar la altura. • • • El lado de la base es a y la altura del prisma 2 a. El área de la base será la del exágono: Ab = 6. (a. a√ 3 / 2)/2 = 3. a 2. √ 3 / 2 El área lateral del prisma será: Al = P. h = 6. a. 2. a = 12. a 2 • • • El área total será: At = 2. Ab + Al = 2. (3. a 2. √ 3 / 2) + 12. a 2 = = (3 √ 3 + 12). a 2 • • Despejando a = ±√ 2, 89 = 1, 60 cm El valor negativo de a no sirve como solución por ser una medida. h=2 a Operando: 48 = 17, 20. a 2 = 2, 89 cm 2 @ Angel Prieto Benito a Apuntes de Matemáticas 3º ESO 10

• • • EJERCICIO 6 • • El área de las bases será: Ab = 2. (π. r 2) El área lateral del cilindro será: Al = P. h = 2. π. r. 5 = 10. π. r • Según el enunciado: • • • Al = Ab 10. π. r = 2. (π. r 2) La altura de un cilindro mide 5 cm y el área de las bases vale igual que el área lateral. Hallar el radio de la base. h r Operando: 5. r = r 2 5 = r r = 5 cm Otra solución es r = 0, pero ésta no es válida @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 11