Criptografa de clave pblica Gerardo Rodrguez Snchez Departamento

Criptografía de clave pública Gerardo Rodríguez Sánchez Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Salamanca E-mail: gerardo@usal. es 1

Problemas de la Clave Secreta § La clave secreta ha de intercambiarse de forma segura (¿entrevista? ). § La clave secreta ha de modificarse con frecuencia. § Problema de almacenamiento de las claves: para comunicarse con n usuarios, cada uno de ellos necesita n(n – 1)/2 claves. § Imposibilidad de firmar digitalmente los mensajes. 2

Criptografía de Clave Pública § Se utiliza diferente clave para cifrar mensajes que para descifrarlos (Internet, empresas, usuarios). § Protocolo de cambio de clave de Diffie-Hellman 3

Criptografía de Clave Pública § RSA Basado en la dificultad de factorizar números enteros. Claves de 1024 bits. § El. Gamal Basado en la dificultad de calcular logaritmos discretos. Claves de 1024 bits. 4

Cambio de clave Diffie-Hellman (1) o A y B seleccionan públicamente un grupo cíclico finito G, |G| = n, y un generador . o A genera un número aleatorio a, calcula a y lo envía a B. o B genera un número aleatorio b, calcula b y lo envía a A. 5

Cambio de clave Diffie-Hellman (2) o A recibe b y calcula ( b)a = ba. o B recibe a y calcula ( a)b = ab. o CONCLUSIÓN: A y B comparten el mismo elemento secreto del grupo: ab. 6

Seguridad del cambio de clave Diffie. Hellman (3) Son públicos los siguientes elementos: el grupo G, su orden n, el generador Se pueden intervenir los siguientes datos: a, b Se pretende calcular el valor de: ab Se supone que es un problema intratable (Teoría de la complejidad computacional). 7

Ejemplo de cambio de clave Diffie-Hellman (1) 1. A y B seleccionan (Z 53)* y un generador = 2. A genera a = 29, calcula a = 229 (mod 53) = 45 y lo envía a B. 3. B genera b = 19, calcula b = 219 (mod 53) = 12 y lo envía a A. 4. A recibe b = 12 y calcula ( b)a = 1229 (mod 53) = 21. 8

Ejemplo de cambio de clave Diffie-Hellman (2) 5. B recibe a = 45 y calcula ( a)b = 4519 (mod 53) = 21. A y B comparten el mismo elemento secreto del grupo: ab = 21. Conociendo (Z 53)*, = 2, a = 45, b = 12, calcular ab. 9

Criptosistema RSA: claves (1) Generación de claves: Se eligen dos números primos distintos, grandes y cercanos: p, q, y se calcula n = p · q. Se considera el grupo (Zn)*, cuyo orden es (n) = (p – 1)(q – 1). Se elige un número e primo con (n). Se calcula el inverso de e en (Zn)*: d, es decir, e · d 1 mod. (n). 10

Criptosistema RSA: claves (2) Generación de claves : La clave pública es el par (n, e). La clave privada es el número d. Se deben mantener ocultos también los valores de p, q y (n). 11

Criptosistema RSA: cifrado y descifrado Cifrado: 1. B obtiene la clave pública de A: (n, e). 2. B representa el mensaje quiere enviar, m, en el conjunto (Zn)*, troceándolo si es preciso. 3. B calcula me (mod. n) c, que envía a A. 12

Criptosistema RSA: cifrado y descifrado Descifrado: 1. A utiliza su clave privada, d, para calcular cd (mod. n) med (mod. n) m. 13

Criptosistema RSA: seguridad Dado un entero positivo, n, producto de dos primos distintos grandes de tamaño parecido: p y q, un entero positivo e, tal que MCD(e, (n)) = 1, y un entero c, encontrar otro entero m tal que me c (mod. n). Hipótesis: La seguridad del RSA es equivalente al problema de factorizar. 14

Ejemplo de RSA Determinación de la clave @ Elegimos dos números primos p y q, los multiplicamos para obtener el módulo RSA, n, y determinamos (n) p =383 q = 521 n = p · q = 383 · 521 = 199543 (n) = (p-1)(q-1) = 382 · 520 = 198640 @ Elegimos el exponente de cifrado, 2< e <198640, primo con (n), por ejemplo, e=3. 15

Ejemplo de RSA Determinación de la clave @ Calculamos el exponente de descifrado d, que es el inverso de e módulo (n): d = 132427 @ Damos a conocer nuestra clave pública: (199543, 3). @ Ocultamos nuestra clave privada: d=132427, así como los restantes valores p = 383, q = 521 y (n) = 198640. 16

Ejemplo de RSA Cifrado del mensaje Supongamos que un usuario B desea enviarnos el mensaje RSA. Los pasos a seguir serán los siguientes: @ Localiza nuestra clave pública: (199543, 3). @ B escribe el mensaje a enviar como un número menor que 199543 y primo con él. Por ejemplo, puede considerar la siguiente representación de letras por números (sin la Ñ): A 0, B 1, C 2, . . . , Y 24, Z 25 y emplear la base 26 para representar cualquier palabra. 17

Ejemplo de RSA Cifrado del mensaje En nuestro ejemplo: R 17, S 18, A 0 con lo que el mensaje sería: m = 17 · 262+18 · 26+0 = 911 @ B cifra el mensaje anterior calculando: c me (mod. n) 9113 (mod. 199543) 189147 que es el criptograma a enviar. @ Este valor puede convertirse de nuevo en base 26 para convertirlo en letras: c =189147 = 10 · 263+19 · 262+ 20 · 26+ 23 KTUX 18

Ejemplo de RSA Descifrado del mensaje @ Una vez hemos recibido el criptograma (189147 o KTUX), utilizamos nuestra clave privada d = 132427 para calcular: m cd (mod. n) 189147132427(mod. 199543). @ El cálculo de este número se realiza con la siguiente estrategia: d=132427=(100000010101001011)2=217+210+28+26+23 +2+1 19

Ejemplo de RSA Descifrado del mensaje @ Calculamos las siguientes potencias, cada una de las cuales es el cuadrado de la anterior y hacemos módulo 199543: 1891472 124053 1891474 191106 1891478 145661 18914716 118817 18914732 11782 18914764 133139 189147128 189545 189147256 188504 20

Ejemplo de RSA Descifrado del mensaje @ Ahora basta multiplicar las potencias de la expresión en base 2 de la clave privada y reducir mod. 199543 tras cada producto: 189147 · 124053 190964 · 145661 112090 · 133139 128626· 188504 45574· 18 22160 · 90974 911 que coincide con el número enviado. 21

Ejemplo de RSA real: determinación de la clave Elegimos dos números primos de 512 bits cada uno: p= 99139 39965 46089 30824 88909 93861 03286 96951 12542 27785 63290 53802 69243 59622 97966 62570 51166 31784 15643 33030 16752 83735 31885 76891 66571 64285 73232 22921 38706 46645 4667 q= 13136 91819 25708 96843 02581 72409 47022 42864 58333 11752 43481 96993 06139 88470 36911 06258 28665 95507 45575 89427 96421 73663 31154 90105 78349 59036 89416 42907 63853 18510 41021 22

Ejemplo de RSA real: determinación de la clave Calculamos ahora n, que tiene 1024 bits: n= 13023 86182 92318 89502 81446 21088 35570 66154 05574 73331 40682 54739 98959 56538 57163 11615 41258 54863 46136 57472 70014 83693 94664 97674 40264 93450 88904 88932 37197 32536 99623 85944 66298 94133 32414 06479 20780 49438 83915 47728 71066 51988 01638 29581 61596 27668 24197 08727 22204 06157 69033 71955 35028 37798 65973 36760 32443 19911 37588 05059 05389 5007 23

Ejemplo de RSA real: determinación de la clave Calculamos ahora (n) = 13023 86182 92318 89502 81446 21088 35570 66154 05574 73331 40682 54739 98959 56538 57163 11615 41258 54863 46136 57472 70014 83693 94664 97674 40264 93450 88904 88932 37197 32536 99621 55436 08140 90954 33158 91752 02824 75927 58318 51855 25756 53877 77904 98939 17269 60590 99043 70901 35345 34755 41723 90985 14659 94363 88023 86692 77788 52514 85590 27820 73639 9320 24

Ejemplo de RSA real: determinación de la clave Como exponente de cifrado elegimos e = 65537 = 216+1, mientras que el exponente de descifrado es: d= 16516 06202 03467 10050 48918 84868 90218 92489 18279 99581 50695 43180 80680 06590 48611 11408 16546 34751 39652 57374 55344 81434 97422 92471 72748 50400 58881 01914 48242 51509 06748 05656 23580 43535 93387 51598 50264 21324 46463 09835 51972 56416 71447 94037 48482 18482 95184 74535 17075 11535 81529 12320 91084 24120 45236 48596 01095 63033 24342 09716 36483 433 25

Ejemplo de RSA real: cifrado del mensaje Supongamos que el mensaje a transmitir utilizando la clave pública (n, e) es: “Hasta la fecha no se ha demostrado de forma rigurosa la equivalencia entre resolver el problema de la factorización y romper el criptosistema RSA. ” Para transformar el mensaje en un número menor que el módulo RSA y primo con él, se utiliza la base 256 dada por los valores ASCII de los caracteres que componen el mensaje. Como la longitud del mensaje no puede ser mayor que el módulo RSA, se analiza si es preciso trocear el mensaje. 26

Ejemplo de RSA real: cifrado del mensaje m 1 = 34591 23054 20684 92221 54004 31463 55718 40131 37946 50256 99770 12379 52245 48266 91597 68390 89367 27153 70468 41774 43004 17303 60120 13102 23597 42585 57180 20667 78546 06812 75424 51035 61893 92809 52751 30985 62992 14551 08844 27863 83635 95214 39334 39345 58318 94335 36299 26978 14144 61358 60603 23404 84057 33961 81735 90951 71716 01412 29657 69676 146 m 2 = 31029 37695 14888 24008 25180 81526 70973 28927 96416 57111 46496 27

Ejemplo de RSA real: cifrado del mensaje c 1 = 24283 83009 28360 92697 52894 91397 11182 33327 01972 51994 66194 67116 15452 51338 36137 91948 61510 99909 69538 57591 62731 96550 16598 26516 28223 74514 60203 01145 55449 76420 73563 67035 62024 22363 16254 50805 03386 81854 29313 76893 22373 92781 30286 52114 52126 18961 46028 71599 71878 80429 73749 97653 74787 98609 84624 04766 58549 16062 48613 00369 22093 872 28

Ejemplo de RSA real: cifrado del mensaje c 2 = 38682 54957 70121 92903 21010 10135 17239 71957 23710 93292 77161 21301 87357 13461 04331 73889 57425 36031 34884 61661 51664 31071 46625 14562 56910 77963 89701 42435 54123 55176 62692 53475 35346 82015 24635 33695 20098 88439 34168 44397 93387 91590 76644 51408 56154 28962 22028 65447 75223 55380 20368 32538 03134 56525 82206 82408 11962 36481 98184 80787 46237 430 29

Ejemplo de RSA real: descifrado del mensaje El mensaje descifrado correspondiente a cada uno de los bloques enviados es el siguiente: “Hasta la fecha no se ha demostrado de forma rigurosa la equivalencia entre resolver el problema de la factorización y romper” “el criptosistema RSA. ” 30

Precursores de la criptografía de clave pública y del RSA 1976: Protocolo de cambio de clave de Diffie-Hellman 1978: Criptosistema RSA 1997: Criptógrafos del Cuartel General de Comunicaciones del Gobierno Británico 1973 Cocks 1970 Ellis 1974 Williamson 31

Firma digital RSA Sean (n. B, e. B) y d. B las claves pública y privada de un usuario B y sean (n. A, e. A) y d. A las claves correspondientes del usuario A. Si B quiere mandar junto con el criptograma c correspondiente al mensaje m, su firma digital para dicho mensaje, el protocolo a seguir es: @ B calcula el valor de su firma r md. B (mod. n. B) con su exponente de descifrado d. B. @ B cifra el valor anterior con la clave pública de A, s re. A (mod. n. A) y transmite a A el par (c, s). 32

Firma digital RSA Para que A pueda verificar que la firma corresponde a B sólo tiene que ejecutar los siguientes pasos: @ A recupera la firma de B para el mensaje m calculando sd. A r (mod. n. A). @ A comprueba si la firma cifrada coincide con el mensaje re. B m (mod. n. B). 33

Elección de los primos p y q. @ p y q deben ser de la misma longitud. En la actualidad se recomienda que p y q tengan cada uno una longitud mínima de 512 bits y, por tanto, n tenga al menos 1024 bits (alrededor de 309 dígitos). @ p y q no deben estar demasiado cercanos. Si no fuera así se podría factorizar n encontrando x e y tales que x 2 -n=y 2, pues entonces p = x-y, q = x+y. 34

Elección de los primos p y q. @ MCD(p-1, q-1) debe ser pequeño. @ p-1 y q-1 deben contener factores primos grandes. @ p y q deben ser robustos. Un primo impar p se dice robusto si verifica: p-1 tiene un factor primo grande r. p+1 tiene un factor primo grande s. r-1 tiene un factor primo grande t. 35

. Elección del exponente de cifrado e. Una vez que se ha seleccionado un valor grande para el módulo RSA se recomienda seleccionar un exponente de cifrado e pequeño para facilitar la tarea de cifrado me (mod. n). Por esta razón se recomienda que el exponente de cifrado sea e = 3 ó e = 65537 Sin embargo no se debe usar valores pequeños de e al enviar un mismo mensaje m a varios destinatarios. 36

Elección del exponente de descifrado d. El exponente de descifrado d debe ser de longitud aproximada a la de n. Si longitud en bits (d) (1/4) longitud en bits (n) existe un algoritmo eficiente para calcular d. 37

Mensajes inocultables. Un mensaje m es inocultable si se cifra a sí mismo, es decir: me m (mod. n) El número de mensajes inocultables es (1+mcd(e-1, p-1)) · (1+mcd(e-1, q-1)) Al menos hay 9 mensajes inocultables. No afecta a la seguridad del RSA. 38

Récord de factorización. El récord del módulo RSA más grande factorizado lo logró el 9 de Mayo de 2005 un equipo de investigadores alemanes, dirigidos por J. Franke, de la Agencia Alemana para la Seguridad de las Tecnologías de la Información (BSI). Dicho equipo ostentaba el anterior récord al lograr factorizar en Diciembre de 2003 el módulo RSA-576 de 174 dígitos. El número factorizado ahora es el RSA-200 de 200 dígitos. 39

Récord de factorización. El RSA-200 factorizado es: n= 2799783391 1221327870 8294676387 2260162107 0446786955 4285375600 0992932612 8400107609 3456710529 5536085606 1822351910 9513657886 3710595448 2006576775 0985805576 1357909873 4950144178 8631789462 9518723786 9221823983 40

Récord de factorización. p= 3532461934 4027701212 7260497819 8464368671 1974001976 2502364930 3468776121 2536794232 0005854795 6528088349 q= 7925869954 4683330333 4708584148 0059687737 9758573642 1996073433 0341455767 8728181521 3538140930 4740185467 41

Récord de factorización. La siguiente tabla recoge algunos de los módulos RSA por factorizar y los premios ofrecidos. Pueden consultarse las siguientes direcciones para una completa información sobre este asunto: http: //www. rsasecurity. com/rsalabs/challenges/factoring/numbers. html http: //www. rsasecurity. com/rsalabs/challenges/factoring http: //www. npac. syr. edu/factoring/overview/RSAFCAList. txt 42

Número Dígitos Premio Fecha RSA-200 RSA-576 RSA-640 200 174 193 10000$ 20000$ 9 -5 -2005 3 -12 -2003 Abierto RSA-704 RSA-768 RSA-896 RSA-1024 RSA-1536 RSA-2048 212 232 270 309 463 617 30000$ 50000$ 75000$ 100000$ 150000$ 200000$ Abierto Abierto 43

Consideraciones finales. @ No se ha demostrado si los procesos de factorizar el módulo RSA y romper el criptosistema son equivalentes. @ Hay otros criptosistemas del estilo RSA para los que sí se ha demostrado dicha equivalencia: criptosistemas de Williams (1980), Kurosawa (1988), Loxton (1992), . . . 44

Criptosistema de El. Gamal: claves Generación de claves: 1. Se elige un número primo grande: p. 2. Se considera el grupo (Zp)* (en general, se puede considerar un grupo finito G) cuyo orden es (p – 1). 3. Se elige un generador del grupo . 4. Se selecciona un número aleatorio 0 < a < p – 1 y se calcula a (mod p) 45

Criptosistema de El. Gamal: claves Generación de claves: La clave pública es (p, , a). La clave privada es el número a. 46

Criptosistema de El. Gamal: cifrado y descifrado Cifrado: 1. B obtiene la clave pública de A: (p, , a), 2. B representa el mensaje quiere enviar, m, en el conjunto {0, 1, . . . , p – 1}, troceándolo si es preciso, 3. B genera un número aleatorio v, 0 < v < p – 1, 4. B calcula v (mod. p), y m ·( a)v (mod. p). 5. B envía a A el par ( , ). 47

Criptosistema de El. Gamal: cifrado y descifrado Descifrado: 1. A utiliza su clave privada, a, para calcular a ( v)a (mod. p) en G y su inverso p – 1 – a (mod. p) 2. El resultado lo multiplica por para obtener m: p – 1 – a m a (mod. p) m (mod. p) 48

Criptosistema de El. Gamal: seguridad Por seguridad y eficacia, el grupo G y el elemento deben elegirse de forma que se verifiquen las siguientes condiciones: La operación en G debería ser “fácil” de aplicar. Por seguridad el problema del logaritmo discreto en el subgrupo cíclico de G generado por debería ser “difícil”. 49

Ejemplo El. Gamal: determinación de la clave. Consideremos p = 15485863, el grupo (Z 15485863)* y un generador de dicho grupo = 7. @ A elige a=28236 y calcula a 728236 12506884 (mod. 15485863) Este par es la clave privada y pública de A. @ B elige b=21702 y calcula b 721702 8890431 (mod. 15485863) Este par es la clave privada y pública de B. 50

Ejemplo El. Gamal: cifrado del mensaje. Supongamos que A quiere mandar a B el mensaje m=HIJO Codificamos el mensaje utilizando el alfabeto de 26 letras: H 7, I 8, J 9, O 14 con lo que el mensaje sería: m = 7 · 263+8 · 262+9 · 26+14 = 128688 51

Ejemplo El. Gamal: cifrado del mensaje. A elige el número v = 480 y calcula 7480 (mod. 15485863) 12001315 (mod. 15485863) ( b)v 8890431480 9846598 (mod. 15485863) m ·( a)v 1286688 · 9846598 8263449 (mod. 15485863) 52

Ejemplo El. Gamal: cifrado del mensaje. A codifica la pareja (12001315, 8263449) en base 26: 12001315= 1 · 265 +0 · 264 +6 · 263+21 · 262+11 · 26+1 BAGVLB 8263449= 18 · 264 +2 · 263+4 · 262+0 · 26+25 SCEAZ y envía a B la pareja (BAGVLB, SCEAZ). 53

Ejemplo El. Gamal: descifrado del mensaje. B codifica la pareja (BAGVLB, SCEAZ) en base 26: BAGVLB = 1· 265+0· 264+6· 263+21· 262+11· 26+1 = 12001315 = SCEAZ= 18· 264+2· 263+4· 262+0· 26+25 = 8263449 = B calcula b 1200131521702 9846598 (mod. 15485863) y su inverso 1200131515464160 14823281 (mod. p– 1–b 15485863) 54

Ejemplo El. Gamal: descifrado del mensaje. Finalmente B calcula el mensaje inicial: p – 1 – a 14823281 · 8263449 128688 (mod. 15485863) que codificado en base 26 es el mensaje inicial: 128688 = 7 · 263+8 · 262+9 · 26+14 HIJO 55

Firma digital El. Gamal. El esquema diseñado por El. Gamal para firmar digitalmente un mensaje es el siguiente: @ A genera un número aleatorio h tal que MCD(h, p-1)=1. @ A calcula el elemento r h (mod. p). @ A resuelve la congruencia m a · r +h ·s (mod. p-1). La firma digital de A para el mensaje m es el par (r, s). 56

Firma digital El. Gamal. Para que el receptor B del mensaje compruebe la firma de A realiza el siguiente protocolo: @ B calcula rs ( h)s (mod. p) @ B calcula el elemento ( a)r (mod. p) @ B calcula ( a)r · ( h)s (mod. p) y comprueba que es igual a m (mod. p) 57

Firma digital El. Gamal. Para conseguir la falsificación de la firma de A en el mensaje m, un escucha tendría que resolver la ecuación m =( a)r · rs con las incógnitas r y s. Si fija r y trata de resolver la ecuación en s se encontraría con un problema de logaritmo discreto, mientras que si fija s e intenta resolver la ecuación para r se encontraría con una congruencia exponencial mixta para la que no hay algoritmo conocido (Problema de la firma digital de El. Gamal) 58

Problema del Logaritmo Discreto 2 Sea G un grupo multiplicativo cíclico de orden n. Dados un generador g G, y un elemento e G, el problema del logaritmo discreto (PLD) en G consiste en calcular un entero x , 0 x n - 1, de modo que gx = e. 2 Este problema (computacionalmente difícil) es la base de varios criptosistemas (cambio de clave de Diffie-Hellman, El. Gamal) y de varios esquemas de firma digital (El. Gamal y Digital Signature Standard, DSS). 59

Grupos para el PLD - Grupo multiplicativo de un cuerpo finito: Zp*. - Grupo multiplicativo de un cuerpo finito de característica 2. - Subgrupo propio del grupo multiplicativo de un cuerpo finito. - El grupo de las unidadades de Zn*, siendo n un entero compuesto. - El grupo de puntos de una curva elíptica definida sobre un cuerpo finito. - El jacobiano de una curva hiperelíptica definida sobre un cuerpo finito. 60

Grupos para el PLD W Se puede resolver en PLD sobre Zp* en un tiempo subexponencial: exp((1. 923 + o(1))(log p)1/3(log p)2/3), por lo que p debería elegirse muy grande (210 bits), lo que lleva a problemas computacionales (tiempo y espacio). W Se debe mantener la dificultad computacional del problema, reducir el tamaño de las claves para utilizar menor tiempo de computación y utilizar menor espacio físico (menor amplitud de banda para facilitar la implementación en tarjetas inteligentes, teléfonos móviles, localizadores personales, etc. ) 61

Bibliografía (1) & W. Diffie and M. Hellman, New directions in Cryptography, IEEE Trans. Inform. Theory 22 (1976), 644 -654. & R. Durán Díaz, L. Hernández Encinas y J. Muñoz Masqué, El criptosistema RSA, RA-MA, Madrid, 2005. & T. El. Gamal, A public key cryptosystem and a signature scheme based on discrete logarithms, IEEE Trans. Inform. Theory 31 (1985), 469 -472. & A. Fúster Sabater, D. Guía Martínez, L. Hernández Encinas, F. Montoya Vitini y J. Muñoz Masqué, Técnicas criptográficas de protección de datos, RA-MA, Madrid, 3ª ed. , 2004. 62

Bibliografía (2) & N. Koblitz, A course in number theory and cryptography, Springer-Verlag, 2ª ed. , Berlín, 1994. & A. Menezes, P. van Oorschot and S. Vanstone, Handbook of applied Cryptography, CRC Press, Boca Raton, FL. , 1997. & R. Rivest, A. Shamir and L. Adleman, A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems, Comm. of the ACM 21 (1978), 120 -126. & S. Singh, Los códigos secretos, Debate, Barcelona, 2000. 63

Esquema de la charla 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. Introducción Identificación amigo-enemigo Lanzamiento de una moneda por teléfono Póquer por teléfono El problema del millonario Venta de secretos Conocimiento nulo Transferencia inconsciente Intercambio de secretos Firma de un contrato Correo con acuse de recibo Voto electrónico Otros protocolos 64

Introducción: definición Protocolo. (Del b. lat. protocollum, y este del gr. πρωτκολλον). Plan escrito y detallado de un experimento científico, un ensayo clínico o una actuación médica. (Diccionario de la Real Academia Española de la Lengua) § Protocolo. Es el conjunto de acciones coordinadas que realizan dos o más partes o entidades con el objeto de llevar a cabo un intercambio de datos o información. § Los Protocolos criptográficos serán aquellos que cumplen esta función usando para ello algoritmos y métodos criptográficos. § Su objetivo es dar una solución a distintos problemas de la vida real, especialmente aquellos en donde puede existir un grado de desconfianza entre las partes. § 65

Introducción: ejemplos 1. - El problema de la identificación del usuario ¿Cómo permitir que un usuario se identifique y autentique ante una máquina -y viceversa- con una clave, password y no pueda ser suplantado por un tercero? 2. - El problema del lanzamiento de la moneda ¿Cómo permitir que dos usuarios realicen una prueba con probabilidad ½ -como es el lanzamiento de una moneda- si éstos no se encuentran físicamente frente a frente y, a la vez, asegurar que ninguno de los dos hace trampa? 66

Introducción: ejemplos 3. - El problema de la firma de contratos ¿Cómo permitir que dos o más usuarios que se encuentran físicamente alejados puedan realizar la firma de un contrato, asegurando que ninguno de los firmantes va a modificar las condiciones ni negarse a última hora a dicha firma? 4. - El problema del descubrimiento mínimo de un secreto ¿Cómo poder demostrar y convencer a otra persona o a un sistema que uno está en posesión de un secreto, sin por ello tener que desvelarlo ni a ella ni a un tercero? 67

Introducción: ejemplos 5. - El problema del juego de póquer mental o por teléfono ¿Cómo permitir que dos o más usuarios puedan jugar a través de la red una partida de póquer -o de cualquier otro juego de cartas - si no están físicamente en una misma mesa de juego y asegurando, al mismo tiempo, que ninguno de ellos va a hacer trampa? 6. - El problema de la división de un secreto o del umbral Si tenemos un único secreto, y por tanto muy vulnerable, ¿cómo permitir que ese secreto sea dividido en n partes, de forma que juntando al menos k < n partes sea posible reconstruirlo y, en cambio, con k - 1 partes, sea imposible su reconstrucción? 68

Introducción: ejemplos 7. - El problema del esquema electoral o voto electrónico ¿Cómo realizar unas elecciones a través de una red, de forma que pueda asegurarse que el voto es único y secreto, que los votantes y mesas estén autenticados, y se pueda comprobar que el voto se contabiliza adecuadamente? 8. - El problema de la transmisión por canales subliminales Dos usuarios desean intercambiar información a través de un tercero del cual desconfían. ¿Cómo pueden hacerlo sin cifrar la información de forma que este tercero sólo vea un mensaje con texto en claro aparentemente inocente? 69

Introducción: ejemplos 9. - El problema del millonario Dos usuarios desean conocer cuál de los dos tiene más dinero en su cuenta corriente. ¿Cómo pueden hacerlo de forma que, una vez terminado el protocolo, ambos sepan quién de los dos es más rico sin por ello desvelar el dinero que tiene el otro? 10. - El problema del correo electrónico con acuse de recibo ¿Cómo hacer que una vez recibido un correo electrónico, éste sólo pueda ser leído (abierto) si el receptor envía, con anterioridad al emisor, un acuse de recibo como sucede de forma similar con el correo ordinario certificado? 70

Introducción: ejemplos ¿Cómo podemos calcular la edad media de un grupo de personas sin conocer la edad de cada una de las personas? . . . aleatorio 71

Identificación Amigo-Enemigo ¿? El avión A le envía un reto al avión B, sabiendo que sólo lo puede resolver si cuenta con alguna información que sólo comparte con sus aliados. Si es capaz de devolverle el reto resuelto le considerará amigo, en otro caso supondrá que es un enemigo. Podemos utilizar la clave pública para desarrollar un protocolo de identificación amigo-enemigo 72

Identificación Amigo-Enemigo § Cada usuario Ui , i = 1, . . . , k, posee en su terminal sus claves RSA, pública y privada: pi y si, y las claves públicas de todos sus aliados: pj , j = 1, . . . , k, . § Si el usuario Ui quiere verificar la identidad del usuario Uj procede como sigue: § Ui genera un mensaje aleatorio, m, lo cifra utilizando la clave pública de Uj , c = Epj(m) y se lo envía. § Uj descifra el mensaje recibido m ≡ Dsj(c) y se lo devuelve a Ui, en un plazo previamente acordado. § Ui compara el mensaje recibido con el mensaje original. En caso de coincidencia, Uj es amigo y en otro caso, enemigo. 73

Lanzamiento de una moneda por teléfono Dos personas han de tomar una decisión por teléfono y para ello una de ellas lanza una moneda al aire. ¿Es posible diseñar algún protocolo que evite hacer trampas? 74

Lanzamiento de una moneda por teléfono § A elige dos números primos grandes, p y q, y comunica su producto, n = p·q, a B. § B elige un número aleatorio u (1, n/2), y comunica a A el valor z = u 2(mod n). § A calcula las cuatro raíces de z módulo n: x, y. Si x e y son los mínimos valores para x, y, respectivamente, se tiene que u = x y v = y. § A hace la hipótesis de si u = x o u = y, es decir, halla el menor i de modo que el i-ésimo bit de x es distinto del i-ésimo bit de y, y le comunica a B su hipótesis: “el i-ésimo bit de u es 0” ó “el i-ésimo bit de u es 1”. 75

Lanzamiento de una moneda por teléfono § B responde a A si su hipótesis es correcta o no. § B da a conocer a A el número u. § A muestra a B la factorización de n. Nota: A no puede saber el valor de u; por tanto, la probabilidad de que su hipótesis sea cierta es del 50%. Si B quisiera hacer trampa cambiando u después de conocer la hipótesis de A, es porque conocería x e y, por lo que podría factorizar n. Para evitarlo A no comunica x ó y a B, sino un solo bit de su hipótesis. 76

Póquer por teléfono A y B quieren jugar una partida de póquer por teléfono sin trampas y sin que haya un árbitro. Las condiciones de la partida de póquer son las siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. Uno de ellos baraja y el otro reparte. Cada mano tiene 5 cartas y todas ellas son equiprobables. Las manos de A y B son disjuntas. Cada jugador conoce sus cartas pero no las del adversario. Cada jugador debe poder conocer si el adversario hace trampa. 77

Póquer por teléfono Sean (p. A , s. A) y (p. B , s. B) las parejas de claves pública/privada de los usuarios A y B, de tal forma que el criptosistema de clave pública sea conmutativo: Ep. A (Ep. B(m)) = Ep. B (Ep. A(m)). El protocolo es como sigue: § B cifra (baraja) las 52 cartas con su clave pública y las envía a A ordenadas de manera aleatoria: c 1 = Ep. B(cp(1)) , . . . , c 52 = Ep. B(cp(52)). § A elige sus cinco cartas, cj 1, . . . , cj 5, las cifra con su clave pública y se las envía a B: Ep. A(cj 1) , . . . , Ep. A(cj 5) 78

Póquer por teléfono § B descifra con su clave privada las 5 cartas y se las devuelve a A: ESB(Ep. A(cj 1)) = Ep. A(cj 1) , . . . , ESB(Ep. A(cj 5)) = Ep. A(cj 5). § A descifra con su clave privada las 5 cartas recibidas y conoce su mano: ESA(Ep. A(cj 1)) = cj 1 , . . . , ESA(Ep. A(cj 5)) = cj 5. § A elige la mano de B (de entre las cartas cifradas por A y no pertenecientes a su mano) y le envía las cartas a B: ci 1, . . . , ci 5. § B descrifra con su clave secreta estas 5 cartas, obteniendo así su mano: ESB(ci 1) = ci 1 , . . . , ESB(ci 5) = ci 5. 79

El problema del millonario Dos millonarios quieren saber cuál de los dos es más rico pero sin que ninguno conozca la fortuna del otro. Supongamos que FA es la fortuna de A y que FB es la fortuna de B. Utilizaremos el criptosistema RSA para diseñar un protocolo que permita llevar a cabo el deseo de los millonarios. Supongamos, además, que FA, FB < 100. 80

El problema del millonario Sean (n. A, e. A), d. A y (n. B, e. B), d. B las claves públicas y privadas de A y B, respectivamente. El protocolo es como sigue: § B elige un número aleatorio grande x, acotado por un valor fijado de antemano, y lo cifra con la clave pública de A: § B da a conocer a A el valor del número k - FB. § A calcula de manera secreta los números: 81

El problema del millonario § A elige un número primo grande p < x , y calcula los números: Para cada uno de estos valores, A verifica que En caso contrario, A elegiría otro número primo p. § A da a conocer a B la siguiente sucesión ordenada de números: § B prueba si el FB-ésimo número de la sucesión es congruente con x módulo p. Si es así, entonces FA FB; en caso contrario se tendrá que FB > FA. 82

Venta de secretos Imaginemos que una persona decide crear un negocio de venta de secretos de tal forma que cuando alguien le compra uno, sabe que ha hecho una venta pero no sabe qué secreto en concreto ha vendido. ¿Es posible diseñar un protocolo para conseguir tal fin? 83

Venta de secretos § Supongamos que A posee varios secretos para vender: s 1, . . . , sk , e imaginemos que B quiere comprarle uno de ellos: sj. El protocolo es como sigue: § A construye k criptosistemas RSA de claves (ni, ei) y di, de tal forma que pi, qi ≡ 3 (mod 4). § A dice a B las k claves públicas, (ni, ei), y los secretos cifrados §B elige al azar k números x 1, . . . , xk , calcula sus cuadrados módulo ni , , y sus símbolos de Jacobi: 84

Venta de secretos § B comunica a A los siguientes valores: § A calcula las raíces cuadradas de los valores recibidos y comunica a B las que corresponden a los símbolos de Jacobi de la lista. § Entonces B posee dos raíces cuadradas diferentes de por lo que puede factorizar el módulo nj y obtener el secreto sj. 85

Descubrimiento mínimo Debemos convencer a una persona de que poseemos cierta información secreta sin revelarle nada de dicha información (Conocimiento nulo) 86

Descubrimiento mínimo § A posee una información y desea convencer a B de ello, pero sin darle tal información. Determinar cuál es la mínima cantidad de información que A debe revelar a B para que este último se convenza de que el primero posee la información que dice El protocolo es como sigue: § A comunica a B que conoce la factorización del módulo RSA n = p·q. § B elige un número entero aleatorio x y comunica a A el valor de x 4(mod n). § A calcula las raíces cuadradas de x 4(mod n) y comunica a B el valor de una de ellas: x 2(mod n). § B comprueba que el valor enviado por A es una raíz cuadrada de x 4(mod n) , elevando al cuadrado tal valor. 87

Transferencia inconsciente Supongamos que la persona A conoce un secreto. Vamos a diseñar un protocolo (basado en el criptosistema RSA) mediante el cual A da a conocer a otra persona B dicho secreto con una probabilidad del 50%, sin que al finalizar el mismo, A sepa si B conoce el secreto o no. 88

Transferencia inconsciente Sin pérdida de generalidad podemos suponer que el secreto que A posee es la factorización del módulo RSA, n = p·q. El protocolo es como sigue: § B elige un número x y da a conocer a A el valor de x 2 (mod n). § A calcula las cuatro raíces cuadradas de x 2 (mod n), que son x y y, y da a conocer sólo una de ellas, u, a B. (Obsérvese que A no sabe cuál de ellas es x) § B comprueba si u es congruente con x (mod n). Si es así, B no obtiene ninguna información nueva; en caso contrario, B obtendría dos raíces cuadradas diferentes de n, y podría factorizarlo. § A no sabe cuál de las dos situaciones es en la que se encuentra B, por lo que no sabe si al final B consiguió o no el secreto. 89

Intercambio de secretos Supongamos que dos personas, A y B, conocen sendos secretos de tal forma que quieren intercambiarlos de modo que ninguno dé a conocer su secreto sin recibir el secreto del otro. Diseñaremos un método basado en el criptosistema RSA que nos permita implementar dicho protocolo. 90

Intercambio de secretos El protocolo es como sigue: § A y B se ponen de acuerdo en el tamaño de sus claves RSA: (n. A, e. A), d. A, y (n. B, e. B), d. B, de tal forma que p. A, q. A, p. B, q. B ≡ 3 (mod 4). § A y B cifran sus secretos y los intercambian con sus claves públicas. § A y B eligen, respectivamente: § A y B se intercambian los valores de: 91

Intercambio de secretos § A y B calculan las cuatro raíces cuadradas módulo n. A y n. B de cada valor recibido y seleccionan las dos más pequeñas. § A y B se intercambian los 100 pares de raíces cuadradas, enviando 100 pares de bits cada vez, comenzando por los bits más significativos y verificando que los valores recibidos son restos cuadráticos (para evitar trampas). § A y B conocen dos raíces distintas de cada bi y ai, con lo que pueden factorizar el módulo RSA del otro y descubrir el secreto que cifró. 92

Firma de un contrato Dos personas quieren firmar un contrato a través de una red, de modo que ninguno de ellos pueda romper el protocolo con la firma del otro y sin firmar su parte. Se puede utilizar los criptosistemas de clave pública para diseñar un protocolo que les permita firmar el contrato de manera segura. 93

Firma de un contrato El protocolo es como sigue: § A y B se ponen de acuerdo en el tamaño de los módulos RSA que van a utilizar y se intercambian sus respectivas claves públicas: (n. A, e. A) y (n. B, e. B), § A envía a B un contrato firmado utilizando su firma digital (es decir, firmado mediante su clave privada, d. A), en el que asegura que el contrato es válido si B sabe cómo factorizar n. A. § B procede de manera análoga enviando su contrato firmado digitalmente mediante su clave privada d. B. § Una vez que cada participante ha leído el contrato firmado digitalmente por la otra parte y ha verificado la firma digital, se intercambian los factores primos de los respectivos módulos haciendo uso del protocolo de intercambio de secretos. 94

Correo con acuse de recibo Una persona A quiere enviar un correo, m, a otra persona B, de modo que B pueda leer dicho correo sólo si A obtiene la confirmación de recepción por parte de B. Utilizaremos el criptosistema RSA para diseñar un protocolo que le permita a B leer el mensaje una vez que A obtiene el acuse de recibo. 95

Correo con acuse de recibo El protocolo es como sigue: § A envía a B su clave pública. § B envía a A su clave pública junto con el acuerdo firmado digitalmente (con su clave privada) de que si A puede factorizar n. B, entonces B factoriza n. A y obtiene cualquier correo, m, que esté cifrado por A. § A y B se intercambian los factores primos de sus módulos mediante el protocolo de intercambio de secretos. § Cuando B factoriza n. A, puede leer el correo enviado por A. § Como A factoriza n. B, obtiene el certificado firmado por B. 96

Voto electrónico Todos tenemos de una u otra forma una idea intuitiva, aunque quizás no completa, sobre cómo se desarrolla un proceso electoral. La pregunta es si es posible realizar este tipo de eventos desde Internet, lo que se conoce como esquema electoral. La respuesta es sí con la ayuda de técnicas y protocolos criptográficos aunque no se trata sólo de un problema de implementación técnica; es menester tener en cuenta otros factores importantes, a saber: Socio-políticos, económicos, jurídicos, legislativos. . . 97

Voto electrónico “Un esquema de votación electrónica es una aplicación distribuida y constituida por un conjunto de mecanismos criptográficos y protocolos que, de forma conjunta, permiten que se realicen elecciones en una red de computadores, de forma segura, incluso suponiendo que los electores legítimos pueden tener un comportamiento malicioso. ” Andreu Riera Tesis Doctoral Universidad Autónoma de Barcelona, España, 1999. 98

Voto electrónico Requisitos de un esquema electoral: § Sólo pueden votar quienes estén censados. § El voto debe ser secreto. § El voto debe ser único por cada votante. § Se contabilizarán todos los votos válidos. § El recuento parcial no debe afectar a votos que se emitan con posterioridad. § Cada votante debe poder comprobar que su voto ha sido tenido en cuenta en el escrutinio. § Se debe proteger el proceso contra ataques en red. § El proceso debe ser factible, práctico y, dentro de lo posible, de uso universal. 99

Voto electrónico Primera aproximación del voto electrónico MCV = Mesa Central de Votación § El votante cifra su voto con la clave pública de MCV. § El votante envía su voto a la MCV. § La MCV descifra el voto y lo contabiliza. § La MCV hace público el resultado. ¿Qué problemas presenta este esquema? TODOS. . . La MCV no sabe de dónde vienen los votos, si éstos son válidos o no y si alguien vota más de una vez. Además puede conocer la identidad del votante por lo que se vulnera el secreto del voto. Lo único que aquí se protege es el secreto del voto ante terceros. 100

Voto electrónico Segunda aproximación del voto electrónico § El votante firma su voto con su clave privada y lo cifra luego con la clave pública de MCV. § El votante envía su voto a la MCV. § La MCV descifra el voto, lo contabiliza y hace público el resultado. ¿Qué problema tenemos ahora? En este nuevo esquema se satisface que cada votante autorizado vote una sola vez, no obstante seguimos vulnerando el secreto del voto ante la MCV. 101

Voto electrónico Tercera aproximación del voto electrónico El tercer esquema contempla dos mesas: MCV = Mesa Central de Votación MCL = Mesa Central de Legitimación § La MCL evita que la MCV conozca a quién ha votado el votante, mediante un protocolo entre ambas, y además gestionan una lista de votantes censados. § La MCL y la MCV deben ser organismos diferentes. 102

Voto electrónico El protocolo es como sigue: § El votante A envía a la MCL el mensaje: “Buenos días, soy A y vengo a votar” § La MCL verifica si A está censado. Si no es un votante legítimo rechaza la solicitud. Si es legítimo, le envía un número aleatorio de identificación único i(A) y le borra de la lista para impedir que vuelva a votar. Nota. El número i(A) debe ser mucho mayor que el número de votantes. Por ejemplo, para un millón de votantes, unos 10100 números. § La MCL envía a la MCV la lista de números de validación. 103

Voto electrónico § El votante A escoge una identificación secreta s(A) y envía a la MCV el mensaje formado por el trío [i(A), v(A), s(A) , donde i(A) es su identificación, v(A) es su voto y s(A) es su número secreto. Nota. Puede generarlo internamente con su sistema de cifra. Será también un valor de muchos dígitos. § La MCV verifica que el número i(A) de identificación se encuentra en el conjunto N de los números censados y cruza los datos para evitar que se vote más de una vez. § Seguidamente quita i(A) del conjunto N y añade s(A) al conjunto de electores que han optado por la opción v(A). § La MCV contabiliza los votos y hace público el resultado, junto con la lista de números secretos s(A) que han votado a la opción v(A). 104

Voto electrónico Algunas consideraciones sobre este protocolo § Obsérvese que cada elector puede comprobar si su voto ha sido contabilizado sin hacer pública su opción. § ¿Qué pasa si MCV y MCL no son independientes? Si las dos mesas, MCV y MCL, no tienen la idoneidad y la integridad que se presume, la solución está en el uso de una diversidad de esquemas más desarrollados que evitan esta anomalía mediante protocolos, entre ellos ANDOS (All-or. Nothing Disclosure Of Secrets) Distribución Anónima de Números de Validación. 105

Voto electrónico Otros esquemas de mesas electorales Hay muchos otros esquemas con dos mesas, una única mesa e incluso ninguna, cada uno con sus características propias. Entre ellos tenemos: - Modelo de Cohen y Fisher (1985) - Modelo de Fujioka y otros (1992) - Modelo de Park y otros (1993) - Modelo de Sako y Killian (1995) - Modelo de Borrel y Rifà (1996) 106

Voto electrónico Estado del arte § Existen diversos modelos y esquemas, algunos de ellos probados con éxito con un número reducido de electores. § No está todavía bien solucionado el problema de la protección física y lógica de la red ante ataques masivos, denegación de servicio, etc. Es el principal problema al que se enfrentan estos esquemas, su difícil escalabilidad en sistemas grandes y abiertos. § No obstante, el proceso de unas elecciones vía Internet realizable, práctico y seguro en cuanto a la privacidad y autenticidad, es completamente factible. 107

Otros protocolos: esquemas umbrales Existen otros protocolos criptográficos que no hacen uso de las técnicas proporcionadas por la clave pública en su diseño, y no por ello son menos importantes. Entre ellos podemos señalar de manera destacada a los protocolos para el reparto de secretos y, más concretamente, a los esquemas (k, n)-umbrales. Estos protocolos tienen un amplio abanico de aplicaciones: • Apertura de cajas fuertes • Lanzamiento de misiles • Almacenamiento seguro de claves criptográficas 108

Otros protocolos: esquemas umbrales § Grosso modo, un esquema (k, n)-umbral para el reparto de un secreto, S, es un procedimiento por el cual, a partir del secreto S se computan n sombras, S 1 , . . . , Sn , de tal forma que para poder recuperar el secreto original es necesario juntar, al menos, k de dichas sombras y no menos. De hecho, si se juntaran k – 1 sombras no se obtendría ninguna información sobre el secreto S. § Las sombras son creadas por una persona de confianza mútua (PCM). § El esquema se dice que es ideal cuando el tamaño de las sombras es igual o inferior al tamaño del secreto. § El esquema (k, n)-umbral más famoso es el debido a Shamir (1979) y está basado en la interpolación de Lagrange. 109

Otros protocolos: esquemas umbrales El esquema de Shamir es como sigue: § Sea S Z el secreto a ser repartido. § La PCM selecciona un primo p > max(S, n). § Selecciona de manera aleatoria los números enteros: a 1, a 2, …, ak 1 Zp. § Construye el polinomio: S + a 1 x + a 2 x 2 +…+ak-1 x k 1 Zp[x]. § Las sombras a repartir son: Si = P(i) (mod p), 1 ≤ i ≤ n. § Para recuperar el secreto se han de juntar, al menos, k sombras: S 1, …, Sk. En este caso tendríamos k puntos: (i, Si ), 1 ≤ i ≤ k, de tal forma que el término independiente del polinomio interpolador que pasa por ellos es S. 110

Otros protocolos: esquemas umbrales Como ejemplo, construiremos un esquema (3, 6)-umbral. § Sea S = 16 el secreto a ser repartido. § Se selecciona el primo p = 23 > max(16, 6). § Se elige de forma aleatoria los enteros 2 Z 23 , 23 Z 23. § Se construye el polinomio P(x) = 16 + 2 x + 19 x 2 Z 23[x]. § Construimos las sombras: S 1 = P(1) = 14, S 2 = P(2) = 4, S 3 = P(3) = 9, S 4 = P(4) = 6, S 5 = P(5) = 18, S 6 = P(6) = 22. § Juntando al menos tres sombras, S 1, S 3 y S 6, el polinomio interpolador que pasa por esos puntos es: 16 + 2 x + 9 x 2 Z 23[x]. 111

Otros protocolos: criptografía visual § Una variante de los esquemas umbrales es la denominada criptográfia visual (Naor y Shamir, 1994). § La imagen secreta se divide en 2 sombras que son repartidas entre sendos participantes. § Superponiendo dichas sombras se obtiene la imagen original (con algo de “ruido”). § Este esquema (2, n)-umbral se puede extender a un esquema (k, n)-umbral cualquiera. § Inicialmente la imagen secreta era en blanco y negro. Más recientemente se han desarrollado protocolos similares para imágenes en tonos de grises o en color. 112

Otros protocolos: criptografía visual § La imagen secreta no es más que rectángulo dividido en pixeles, § Los pixeles que definen la imagen secreta son blancos y negros. § El esquema (2, 2)-umbral para dividir la imagen secreta consiste en obtener de cada uno de los píxeles de la imagen original, dos píxeles, cada uno de los cuales ocupará en lugar del píxel original pero en cada una de las sombras. § Cada uno de los píxeles de cada una de las sombras se separará en otros cuatro píxeles, dos blancos y dos negros. 113

Otros protocolos: criptografía visual El protocolo es como sigue: § Se lanza una moneda al aire: § Si el resultado es cara, se elige como píxeles para cada una de las sombras los dos píxeles de la línea superior. § Si es cruz elige como píxeles para cada sombra los dos píxeles de la línea inferior. 114

Otros protocolos: criptografía visual Obsérvese que: § Cada pixel de la imagen original da lugar a dos pixeles, uno para cada sombra. § Los píxeles blancos pierden contraste al recuperar la imagen original secreta. § La obtención del cuádruple pixel blanco-negro o negroblanco de la sombra tiene la misma probabilidad (p = 0'5), y no depende del color del pixel original, § El proceso es aleatorio (lanzar una moneda) y los resultados obtenidos en cada prueba son independientes (no se obtiene información adicional si se observa un grupo de píxeles en cualquiera de las sombras). 115

Otros protocolos: criptografía visual Imagen original Imagen recuperada lanzamientos c x c c x x c c c x x x c c x c x c c x x x c x x x c c x c c c x Sombras 116

Otros protocolos: criptografía visual 117

Bibliografía § R. Durán Díaz, L. Hernández Encinas y J. Muñoz Masqué, El criptosistema RSA, RA-MA, Madrid, 2005. § A. Fúster Sabater, D. Guía Martínez, L. Hernández Encinas, F. Montoya Vitini y J. Muñoz Masqué, Técnicas criptográficas de protección de datos, RA-MA, Madrid, 3ª ed. , 2004. § A. Menezes, P. van Oorschot and S. Vanstone, Handbook of applied Cryptography, CRC Press, Boca Raton, FL. , 1997. § J. Ramió Aguirre. Seguridad informática y Criptografía. Material docente de libre distribución. Madrid 2005 118