Crescimento Populacional 1 1 Terminologia 2 Crescimento populacional

Crescimento Populacional 1

1. Terminologia 2

“Crescimento populacional” O que significa este termo? • No seu uso moderno o termo “crescimento populacional” tornou-se muito vago devido principalmente aos extensos significados dados, nossos dias, a “populacional” e “crescimento”. 3

Daqui concluímos que, na sua interpretação original, a palavra refere-se a populações humanas. Por essa razão quando se fala em crescimento populacional muitas vezes se pensa em populações humanas. 4

Entretanto, este campo de acção expandiu-se de modo a incluir qualquer colecção de objectos (animados ou inanimados) acerca das quais nós queremos elaborar um estudo quantitativo. Assim, podemos falar, por exemplo, da população dos pinguins, pneus, bactérias, euros e cêntimos. 5

A palavra “crescimento” • Pensamos normalmente nesta palavra como aplicada a coisas que crescem, que se tornam maiores. . . mas. . . • ATENÇÃO!!. . . nem sempre é assim!! Mapa 1 CRESCIMENTO ANUAL MÉDIO (%) FONTE: INE - Recenseamento Geral da População 6

• “ Crescimento” pode significar: crescimento negativo ou declínio a população diminui crescimento positivo a população aumenta 7

2. Generalidades 8

Ao analisarmos a história, vimos que a evolução da matemática sempre teve um papel fundamental no desenvolvimento cientifico-cultural das sociedades. 9

Desde os inícios da civilização que existe uma ligação entre a matemática e o estudo das populações. Uma das razões pela qual os humanos inventaram os sistemas numéricos foi a sua necessidade de manejar os princípios de contagem de populações. 10

Sentiram necessidade de, por exemplo, contar as ovelhas do seu rebanho, o número de pessoas da sua tribo, etc. 11

Hoje em dia, os modelos matemáticos de crescimento populacional são uma ferramenta fundamental para o nosso esforço de perceber o fluxo e refluxo das populações selvagens em perigo, lotes piscatórios, pragas agrícolas, doenças infecciosas, estrago radioactivo, lixo comum, por aí fora. 12

Disciplinas modernas completas, tais como “ecologia matemática”, “biologia populacional”, e “bioestatística” são construídas à base da matemática do crescimento populacional. 13

3. Objectivos 14

Neste trabalho, daremos alguns exemplos elucidativos do tipo de problemas de “crescimento populacional”que podem surgir. Vamos apresentar alguns dos modelos mais simples que podem ser usados no estudo da sua dinâmica: ümodelo de crescimento linear ümodelo de crescimento exponencial ü modelo de crescimento logístico. 15

4. A dinâmica do crescimento populacional 16

O crescimento de uma população é um processo dinâmico, logo quer dizer que a situação muda ao longo do tempo. Podem distinguir-se dois tipos de situação: üCrescimento contínuo üCrescimento discreto 17

No crescimento contínuo : as mudanças ocorrem permanentemente. (Ex. : contas bancárias de juros compostos continuamente. ) No crescimento discreto : as mudanças efectuam-se periodicamente (transições). 18

O nosso trabalho estudará o crescimento discreto. Este tipo de crescimento é o caminho mais comum e natural pelo qual as populações mudam. As mudanças - transições efectuam-se periodicamente, isto é, as alterações não ocorrem sistematicamente, havendo intervalos de tempo em que a população 19 se mantém constante.

Por uns tempos nada acontece ; depois, existe uma mudança repentina na população e assim sucessivamente. O período entre as transições tanto pode ser fracções de segundos, minutos, horas, dezenas de anos ou séculos. Para o nosso estudo este período de tempo entre as transições não nos interessa. O problema principal do crescimento populacional é prever o que acontecerá a uma dada população ao longo do tempo. 20

A forma mais comum para lidar com esta questão é descobrir as regras pelas quais se regem as transições. Para estudar o que acontece entre dois períodos de tempo, analisam-se as regras de transição, ou seja, as regras que determinam as transições. 21

Se soubermos como se altera uma certa população em cada transição, podemos geralmente determinar como se altera a mesma após muitas transições. Neste sentido, podemos associar convenientemente o declínio ou o aumento de uma população ao longo do tempo a uma lista infinita de números chamada sequência populacional. 22

Como se gera a sequência populacional? Toda a sequência populacional começa com a população inicial (geração “zero”). Vamos denominar por a população inicial. A sequência continua com , etc. Onde é o tamanho da população na n-ésima geração. 23

5. Crescimento Linear 24

O modelo de crescimento linear é o mais simples de todos. Neste modelo, em cada geração a população muda (aumenta ou diminui) por uma quantidade fixa, uma constante. Vamos ver como este modelo funciona através dum exemplo. 25

Exemplo 5. 1. Fábrica de bolachas “Estaladiças” 26

• A “Estaladiças” esteve em actividade durante 6 meses. • Durante o primeiro mês de negócio, a empresa teve 80 encomendas. – Durante o segundo mês, teve 205 encomendas. – 3º mês : 330 encomendas – 4º mês : 455 encomendas – 5º mês : 580 encomendas 27

Actividades propostas: 1) Crie uma tabela que descreva esta sequência. 2) Crie um gráfico de linha que descreva a sequência a) Faça o eixo horizontal o eixo dos meses b) Faça o eixo vertical o eixo das encomendas. 3) Crie um gráfico de barras que descreva a mesma informação. 28

Crescimento da empresa nos primeiros 5 meses Três modos de descrever os mesmos dados. 29

• Encontre a diferença entre o numero de encomendas em meses consecutivos. • PN - PN-1 • 205 • 330 • 455 • 580 - 80 = 125 205 = 125 330 = 125 455 = 125 Este valor é chamado de diferença comum. • Que repara em relação a estas diferenças? 30

• Quando as diferenças entre valores consecutivos da “sequência populacional” (aqui a nossa “população” são as “encomendas feitas”) são sempre iguais (ou muito aproximadas), um modelo de crescimento linear pode ser utilizado para descrever o crescimento da população. • Actividade proposta: 4) Defina por descrição recursiva a sequência que traduz o crescimento desta empresa. 31

Este é um exemplo típico do modelo de crescimento linear, que se caracteriza pelo facto de, em cada transição, se adicionar um valor constante, que designaremos por d, à população anterior. Descrevamos, então, este modelo matematicamente: ü Modelo de Crescimento Linear (Descrição Recursiva) População Inicial: P 1 PN = população na geração N PN-1 + população na geração N-1 d razão da sequência 32

A equação anterior dá-nos uma descrição recursiva da sequência da população pois através dela é possível obter valores da sequência usando valores anteriores a esses. Embora esta fórmula seja simples, tem uma grande desvantagem: para obter um determinado termo da sequência, é necessário calcular primeiro todos os termos anteriores. 33

No entanto, podemos descrever a sequência da população de uma outra forma: üModelo de Crescimento Linear (Descrição Explícita) PN = P 1 + (N-1)d Esta equação dá-nos uma descrição explícita da sequência da população, já que através dela é possível obter qualquer termo da sequência conhecendo apenas o primeiro e a razão da sequência. 34

Obtivemos assim uma progressão aritmética de razão d cujo termo geral é: PN = P 1 + (N-1)d Nota: A soma de n termos consecutivos de uma progressão aritmética é dada por , onde p 1 e pn são o primeiro e último termo, respectivamente. 35

• Uma descrição recursiva utiliza valores prévios da sequência para calcular um novo valor. • Neste exemplo, uma descrição em linguagem corrente da sequência deste exemplo seria: • “O número de encomendas feitas durante o próximo mês será de mais 125 do que as feitas durante o mês corrente. ” Matematicamente, a descrição recursiva : • PN = P N-1 + 125 onde N = o número do mês Número de encomendas P = o número de encomendas feitas no mês N Número de. N feitas durante o mês O valor inicial tem de encomendas feitasanterior. estar especificado. e P 1 = 80 durante o N-ésimo mês. 36

• Para este exemplo o termo geral da descrição explicita será: O valor inicial está PN = 80 + (N-1) x 125 especificado na formula. onde N e PN são definidos como anteriormente Deverá notar que 80 é o número inicial de encomendas feitas e que em cada mês posterior acrescenta-se 125. Isto é, no segundo mês 125 é adicionado uma vez… No terceiro mês 125 é adicionado duas vezes… 37

• Note que: Ø P 1 = 80 + (1 -1)x 125 Ø P 2 = 80 + (2 -1)x 125. . . Ø P 5 = 80 + (5 -1)x 125 –Actividade proposta: 5)Se o crescimento da empresa continuar a seguir estes parametros, quantas encomendas serão feitas depois de 100 meses em actividade? 38

Resolução da actividade. . . P 100 = 80 + (99)x 125 P 100 = 12, 455 encomendas 39

6. Crescimento Exponencial 40

O economista e demógrafo britânico Thomas Malthus ficou conhecido sobretudo pela teoria segundo a qual o crescimento da população tende sempre a superar a produção de alimentos, o que torna necessário o controle da natalidade. Malthus era um pessimista que considerava a pobreza como um destino ao qual o homem não pode fugir. 41

Thomas Robert Malthus nasceu entre 14 e 17 de fevereiro de 1766, em Rookery, Surrey, Inglaterra. Malthus morreu em Saint Catherine, Somerset, em 23 de dezembro de 1834 42

A ideia de Malthus era que a taxa de crescimento de uma população é directamente proporcional ao seu tamanho. Isto deve-se ao facto que as populações crescem porque as pessoas têm bebés. Quanto mais pessoas houver mais bebés elas terão. Ou seja, o número de bebés nascido é um múltiplo constante do número de pessoas presentes na população. 43

Obviamente, as pessoas também morrem, logo também há uma taxa de mortalidade. Esta taxa será simplesmente uma certa percentagem do tamanho da população em qualquer tempo dado, pois quanto maior for a população de um local, maior número de pessoas morrerá por motivos naturais desse local. Assim, deve-se combinar a taxa positiva de natalidade com a taxa negativa de mortalidade, de modo que a diferença entre elas seja constante. 44

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Exemplo 6. 1. 46

A quantia de 1000€ é depositada numa conta poupança-reforma que paga 10% de juro anual (isto é, o juro é pago uma vez por ano no final do ano). Actividade proposta: Quanto dinheiro estará na conta após 30 anos, se o juro for deixado na mesma? 47

Sendo a quantia inicial de 1000 €, no final desse ano, ela será adicionada de 10% do seu total, isto é, 10% de 1000, ou seja, no final desse ano ficaremos com 110% dos 1000 € iniciais (1, 1 × 1000). Continuando, no final do 2º ano, teremos (Quantia do início do 2º ano) × 1, 1 = 1000 × (1, 1)2 sendo a quantia do início do 2º ano a do final do 1º ano (já que os juros são pagos apenas no final de cada ano). 48

Ao fim do 1º ano tem 1000 + 0, 1 x 1000 = 1, 1 x 1000 = 1100 €. Ao fim do 2º ano, 1000 x 1, 12 = 1210 €. Ao fim de 15 anos, 1000 x 1, 115 = 4177 €. Assim, o balanço da conta após 30 anos (ou seja, a quantia no início do 31º ano) será: 1000 × (1, 1)30 = 17. 449, 40227 € 49

Neste exemplo, cada transição (que ocorre no final do ano) corresponde a tomar 110% do balanço do início desse ano. Podemos ainda dar uma regra geral para obter o balanço na conta deste exemplo: no início do (N+1)º ano, a conta tem a seguinte quantia, em euros, PN+1 = 1000 × (1, 1)N. Este actividade proposta é um exemplo clássico de crescimento exponencial: o dinheiro inicial rende juros; depois, os juros sobre o dinheiro inicial adicionado de juros são também capitalizados, e por aí adiante. . . 50

O fundamental do crescimento exponencial é a multiplicação repetida: cada transição consiste em multiplicar o tamanho da população por um factor constante. 51

A sequência definida por esta propriedade, ou seja, em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por um valor fixo, r, é chamada de progressão geométrica, sendo r designado por razão da progressão. O modelo de crescimento exponencial pode ser, assim descrito, recursivamente, por Modelo de Crescimento Exponencial (descrição recursiva) PN = PN-1 × r (r>0) 52

ou, de forma explícita, por Modelo de Crescimento Exponencial (descrição explícita) PN = P 1 × r. N-1 Observação: Uma ideia errada e frequente é que o crescimento exponencial implica que a população se torna sempre maior. Mas isso pode não acontecer. De facto, se r>1, temos o crescimento real, mas se r<1, temos uma decadência (para r=1, temos uma população constante). 53

Termo geral de uma progressão geométrica de razão r e 1º termo p 1 Nota: A soma de n termos consecutivos de uma progressão geométrica é 54

7. Observações 55

Comparação entre o modelo linear e o modelo exponencial ØO crescimento da população no modelo linear é em progressão aritmética, enquanto que no modelo exponencial o crescimento faz-se em progressão geométrica. ØO crescimento no modelo exponencial é muito mais rápido do que no modelo linear. 56

8. Crescimento logístico 57

Os modelos apresentados anteriormente são insatisfatórios quando se trata de resolver, por exemplo, problemas de crescimento populacional em que a população é de animais. 58

De facto, no caso de uma população biológica, a taxa de crescimento da mesma não é fixa, pois depende do tamanho relativo das populações que interagem com ela (é o caso dos predadores) e, sobretudo, do seu próprio tamanho. Quando o tamanho relativo de uma população é pequeno e há muito espaço onde ela possa crescer, então a taxa de crescimento será alta. Mas, à medida que a população vai crescendo, o espaço vai sendo menor, pelo que a taxa de crescimento começa a diminuir. Por vezes, a população cresce demasiado, o que leva à sua decadência e poderá mesmo levar à sua extinção. 59

De entre os muitos modelos matemáticos que se esforçam por lidar com uma taxa de crescimento variável num habitat fixo, o mais simples é o modelo de crescimento logístico. A ideia base deste modelo é o facto de a taxa de crescimento ser directamente proporcional ao espaço disponível no habitat da população. 60

Assim, se houver muito espaço, a população tem uma taxa de crescimento alta; se houver pouco espaço, essa taxa será baixa (eventualmente inferior a 1, o que significa, como já foi visto, que a população está a diminuir); e, finalmente, se o habitat vier a estar saturado, a população morrerá. 61

Descrevamos este modelo matematicamente: se C for uma constante que represente o ponto de total saturação do habitat, então, para uma população de tamanho PN, o espaço livre é a diferença entre a capacidade do habitat e o tamanho da população, ou seja, (C-PN). Assim, como a taxa de crescimento é proporcional ao espaço livre, temos: taxa de crescimento para o período N = R(C-PN) sendo R a constante de proporcionalidade, a qual 62 depende da população em estudo.

Usando o seguinte facto: (população no período N) × (taxa de crescimento para o período N) = população no período (N+1), obtemos a seguinte regra de transição para o modelo de crescimento logístico: PN+1 = R (C - PN) PN 63

Podemos ainda reescrever esta equação de uma forma mais agradável: considerando que o máximo da população é 1(isto é, 100% do habitat é ocupado pela população), o mínimo é 0 (isto é, a população está extinta) e todos os tamanhos possíveis da população são representados por fracções entre 0 e 1, que serão denotadas por p. N. O espaço disponível relativo é, então, (1 -p. N): Equação Logística p. N+1 = r(1 -p. N)p. N 64

Nesta equação, o valor p. N representa a fracção da capacidade do habitat que já foi ocupada pela população, ou seja, p. N = PN/C, e a constante r, que se designa por parâmetro de crescimento, depende da taxa de crescimento, R, e da capacidade do habitat, C. 65

Exemplo 8. 1. 66

Suponhamos que temos um tanque no qual pretendemos criar uma determinada variedade de truta. Consideremos que o parâmetro de crescimento da dita espécie é r=2, 5. Decidimos iniciar o negócio de cultura de peixe colocando trutas no tanque de forma a ocupar 20% da sua capacidade máxima, ou seja, p 1 = 0, 2. Actividade proposta: Vejamos o que o modelo de crescimento logístico prevê para o nosso futuro negócio. 67

Depois da 1ª época de procriação, temos p 2 = 2, 5 × (1 -0, 2) × (0, 2) = 0, 4. (A população do tanque duplicou!). Continuando com este programa, obtemos depois da 2ª época de procriação, p 3 = 2, 5 × (1 -0, 4) × (0, 4) = 0, 6 Depois da 3ª época, obtemos p 4 = 2, 5 × (1 -0, 6) × (0, 6) = 0, 6 68

O número de trutas mantém-se constante nestas duas gerações e podemos observar que assim se mantém ao calcularmos indefinidamente a percentagem da capacidade do tanque ocupada pelos peixes. Isto significa que a população de trutas estabilizaria aos 60%. 69

9. Conclusão 70

· No modelo linear de crescimento populacional, a sequência da população é descrita por uma progressão aritmética, e em cada período de transição a população cresce pela adição de uma constante (a razão da sucessão). Este modelo é usado vulgarmente para populações de objectos inanimados. 71

· No modelo exponencial de crescimento populacional, a população é descrita por uma progressão geométrica. Aqui, em cada período de transição a população é multiplicada por uma constante (a razão da sucessão). Este modelo é utilizado sobretudo quando há uma produção ilimitada. 72

· O modelo logístico de crescimento populacional representa situações em que a taxa de crescimento varia de uma estação para a seguinte, dependendo do espaço disponível no habitat da população. Muitas populações de animais se regem pelo modelo logístico ou por variações simples do mesmo. 73