Cours THBat Thermique du Btiment lments finis et
Cours TH-Bat : Thermique du Bâtiment Éléments finis et Thermique du bâtiment Questionnement : Comment calculer les déperditions thermiques d’une paroi en régime permanent en utilisant un modèle éléments finis. Les notions abordées : Formulation variationnelle d’un problème de thermique. La méthode des éléments finis – application en thermique stationnaire Étude thermique d’une paroi – utilisation de Cast 3 m Méthodes et outils d'analyse des résultats d'un modèle éléments finis Répartition : trois modules de 4 h S 1 Cours - TD - TA : Le Travail en Autonomie sera repris lors du TP d’initiation S 2 TP- initiation : deux applications sur Cast 3 M (en salle info) S 3 TP- mini projet : Murs à ossature bois (en salle info) - rapport de TP
Cours TH-Bat : Thermique du Bâtiment Système physique continu Introduction à la Simulation Numérique Modèle mathématique Basé sur des hypothèses de modélisation Système d’EDP Problème aux limites Formulation forte du problème Consistante Méthodes d’approximation Stabilité DF : Différences Finies VF : Volumes Finis EF : Eléments Finis Système d’équations Discrétisées Résolution Numérique Solution numérique Convergence : consistante & stabilité Solutions mathématiques Séparation des variables Méthode des caractéristiques Classification des EDP
Cours TH-Bat : Thermique du Bâtiment Formulation variationnelle Système d’EDP Méthodes résidus pondérés Problème aux limites Formulation forte du problème Forme intégrale forte du problème Nombreuses Méthodes : Collocation (points ou sous domaines) Galerkin ( Eléments finis) Les conditions aux limites restent à satisfaire Transformation de la forme intégrale Forme variationnelle du problème Formulation faible du problème Prise en compte des conditions aux limites de Neumann Approximation Discrétisation EF Solution numérique
Cours TH-Bat : Thermique du Bâtiment Exemples Etude thermique d’une paroi Exercices 1 & 2 PB de Thermique (EDP parabolique) Des conditions aux limites de type : Champ (problème de Dirichlet) Flux (problème de Neumann) Mixte (problème de Fourier) Condition de convection
Cours TH-Bat : Thermique du Bâtiment Méthode des résidus pondérés - approximation Problème aux limites Conditions aux limites De type : Champ (Dirichlet), Flux (Neumann), Mixte (Robin) Résoudre sur D Forme intégrale forte du problème u doit satisfaire les conditions aux limites Approximation à n paramètres : 1 équation à n inconnues Comment construire un système matriciel ?
Cours TH-Bat : Thermique du Bâtiment Méthode des résidus pondérés - approximation Pour un nombre fini de fonctions tests système matriciel Choix des fonctions tests Nombreuses Méthodes : Collocation (points ou sous domaines) Galerkin Eléments finis Des exemples simples sont traités dans le cours MEF Mécanique , Thermique , Hydrodynamique https: //meefi. pedagogie. ec-nantes. fr/MEF. htm Les wi doivent satisfaire toutes les conditions aux limites Impossible pour un problème de l’ingénieur Formulation variationnelle
Cours TH-Bat : Thermique du Bâtiment Formulation variationnelle Forme intégrale forte du problème Objectif : faire apparaître les CL dans la forme intégrale TH d’OSTROGRADSKY Forme intégrale faible du problème CL de flux (Neumann) Des exemples sont traités dans le cours MEF
Cours TH-Bat : Thermique du Bâtiment Méthode des Eléments Finis : MEF Idées de base Point de départ : Formulation Variationnelle Approximation de la solution par sous-domaines : éléments finis • forme simple • approximation sur des variables physiques Pour chaque élément Galerkin Assemblage On défini un vecteur global Système global Il est simple de tenir compte de
Cours TH-Bat : Thermique du Bâtiment MEF : Techniques numériques Approximation nodale Exemple 1 D T 1 T(s) 0 T 2 1 s « Pb de température » 2 nœuds approximation à 2 paramètres : T = a 0 + a 1 s Identification aux nœuds : Fonctions d’interpolation Variables nodales signification physique Exemple : approximation utilisant 3 éléments
Cours TH-Bat : Thermique du Bâtiment Techniques numériques Éléments à une dimension Base polynomiale Linéaire Quadratique Cubique (1 x ) (1 x x 2 x 3 ) Type Lagrange Interpolation Type Hermite 2 variables par nœud exemple : élément poutre v et
Cours TH-Bat : Thermique du Bâtiment Techniques numériques Éléments à deux dimensions Éléments triangulaires Les bases polynomiales sont complètes Éléments quadrilatéraux Les bases polynomiales sont incomplètes Éléments toriques
Cours TH-Bat : Thermique du Bâtiment Techniques numériques Éléments à trois dimensions Éléments tétraédriques Les bases polynomiales sont complètes Éléments prismatiques bases incomplètes Éléments hexaédriques bases incomplètes
Cours TH-Bat : Thermique du Bâtiment Démarche éléments finis Domaine continu Discrétisation géométrique Construction de l’approximation nodale Calcul des matrices élémentaires Assemblage Prise en Compte des Conditions aux limites et Résolution de l’équation matricielle Évaluation des grandeurs élémentaires
Cours TH-Bat : Thermique du Bâtiment Exemple Etude thermique d’une paroi Exercice 3 Application de la méthode des éléments finis sur un modèle monodimensionnel
Cours TH-Bat : Thermique du Bâtiment Méthodes numériques Objectif : calculer numériquement Deux opérations à effectuer dérivation et intégration Idée : utiliser des éléments de référence Fonctions d’interpolations connues Domaine d’intégration connu Les deux opérations Peuvent être utilisées pour la transformation géométrique Utilisent la matrice Jacobienne de la transformation [ J ]
Cours TH-Bat : Thermique du Bâtiment Calcul de la matrice Jacobienne En 2 D Soit sous forme matricielle Or D’ou Connue Exemple pour un T 3 soit et Connue
Cours TH-Bat : Thermique du Bâtiment Application au calcul des déformations En 2 D Pour un élément fini Cas du T 3 D’où utilisons Matrice constante on peut effectuer les calculs analytiquement
Cours TH-Bat : Thermique du Bâtiment Organisation des calculs (intégration numérique)
Cours TH-Bat : Thermique du Bâtiment TA Modèle EF bidimensionnel en thermique Etablir la formulation matricielle Appliquer les techniques numériques pour calculer la température au centre avec le modèle suivant Ce problème sera repris en TP Initiation à Cast 3 m
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