Cours N 6 Transformations de Variables et Simulation

Cours N° 6 Transformations de Variables et Simulation d’échantillons Université Ibn Khaldoun Tiaret Département INF B. Khaled

Einstein « Dieu ne joue pas aux dés »

Contenu • Transformations de variables par l’Inverse • Variables aléatoires Discrets • Variables aléatoires continues • Méthode de Rejet • Propriétés spéciales Objectif • Générer des échantillons à partir d'une distribution (loi) spécifié en entrée d'un modèle de simulation.

Avant de commencer • Nous supposons qu’on dispose d’un générateur des nombres aléatoires valide [0, 1]: • Générateurs à congruence linéaire • Nombres Aléatoires U 1, U 2, U 3, … avec

Transformation par l’inverse de la fonction de répartition

Transformation par l’inverse

Transformation par l’inverse

Transformation par l’inverse : VA discrète • Exemple • Supposons que le nombre de chargement, X, sur une plateforme de chargement d'une entreprise est soit 0, 1, ou 2 • Distribution de probabilité est donnée par le Tableau suivant: x p(x) F(x) 0 0. 50 1 0. 30 0. 80 2 0. 20 1. 00

Transformation par l’inverse : VA Continue • Loi Exponentielle • Pour générer x 1, x 2, … • Simplification Déjà vu !!!

Transformation par l’inverse : VA Continue • Génération de nombres aléatoires suivant la loi exponentielle (Java) : Cours n° 3 public static double exponential (Random rng, double mean) { return -mean * Math. log(rng. next. Double()); }

Transformation par l’inverse : VA Continue

Transformation par l’inverse : VA Continue • Exemple : la loi Uniforme sur [a, b] • Excel • Rand() ou Alea() • RANDBETWEEN(12, 15)

Transformation par l’inverse : VA Continue • Exemple : la loi Weibull

Transformation par l’inverse • Un certain nombre de lois de probabilités continues ne possède pas une fonction de répartition explicite comme : • La loi normale • La loi Gamma

Méthode de rejet

Méthode de Rejet • Cette méthode de simulation d’échantillons s’applique aux variables aléatoires continues X non nulles sur un intervalle de R. Dans le cas où la densité f est définie sur un intervalle [a, b], il est possible de représenter la surface entre le graphe de la densité et l’axe des x à l’intérieur d’un rectangle, de choisir au hasard un point dans ce rectangle et de déterminer s’il est situé audessus ou au-dessous de la courbe y = f(x). Cette idée, banale en soi, est la clé de la méthode du rejet décrite ciaprès.

Méthode de Rejet

Méthode de Rejet : Loi de poisson

Méthode de Rejet : Loi de poisson

Méthode de Rejet : Loi de poisson

Méthode de Rejet : Loi de poisson

Méthode de Rejet : Loi de poisson • Il a fallu cinq nombres aléatoires pour générer un échantillon de trois valeurs suivant la loi de Poisson. Accepter/Rejeter N Un+1 P Résultat 1 0. 4357 P<exp(-0. 2) Accepter N=0 2 0. 4146 P<exp(-0. 2) Accepter N=0 3 0. 8353 P≥exp(-0. 2) Rejeter 4 0. 9952 0. 8313 P≥exp(-0. 2) Rejeter 5 0. 8004 0. 6654 P<exp(-0. 2) Accepter N= 2

Merci pour votre attention