Cours Corporate finance Elments de thorie du portefeuille

Cours Corporate finance Eléments de théorie du portefeuille Le Medaf François Longin 1 www. longin. fr

Plan • Notions de rentabilité § Définition § Modélisation • Eléments de théorie du portefeuille § Portefeuille § Diversification • Le Medaf § Le modèle de marché § La relation du Medaf § Le bêta § Application : calcul du taux d’actualisation François Longin 2 www. longin. fr

Rentabilité d’un actif (1) • Définition de la rentabilité § Notations : § Calcul § Exercice : montrer la rentabilité correspond au TRI de la séquence de flux d’investissement. François Longin 3 www. longin. fr

Rentabilité d’un actif (2) • Deux éléments dans la rentabilité § Le rendement (yield en anglais) : dividende, intérêts, loyers, etc. § La variation en capital (capital gain or loss en anglais) : plus-value ou moins-value à la revente François Longin 4 www. longin. fr

Rentabilité d’un actif (3) • Statistiques importantes (1) § La moyenne des rentabilités § w Espérance / anticipation de rentabilité pour le futur w Mesure de performance La dispersion des rentabilités (autour de la moyenne) w La variance ou l’écart-type des rentabilités w Mesure sur risque (mesure globale) François Longin 5 www. longin. fr

Rentabilité d’un actif (4) • Statistiques importantes (2) § Les quantiles de rentabilités w Probabilité d’observer une rentabilité en dessous d’un seuil donné w Mesure du risque (mesure locale) François Longin 6 www. longin. fr

Rentabilité d’un actif (5) • Distribution historique des rentabilités – Histogramme • Distribution paramétrique des rentabilités - Densité § Exemple : la loi normale w Deux paramètres : la moyenne et la variance (les deux premiers moments de la distribution) François Longin 7 www. longin. fr

Modèle de Markowitz • Qu’est-ce que c’est ? § Modèle mathématique financier de construction de portefeuilles de titres financiers (ou autres) reposant sur l’optimisation du portefeuille en termes de rentabilité et risque § Portefeuilles optimaux w w Portefeuille de rentabilité maximum pour un niveau de risque donné Portefeuille de risque minimum pour un niveau de rentabilité donné François Longin 8 www. longin. fr

Diversification du risque (1) • Cas : portefeuille à deux actifs § Actif 1: µ 1 = 10% et σ1 = 20% § Actif 2 : µ 2 = 15% et σ2 = 30% • Portefeuille : combinaison d’actifs § x 1 et x 2 : poids de chaque actif dans le portefeuille • Objectif : trouver le portefeuille qui minimise le risque pour un niveau de rentabilité donné François Longin 9 www. longin. fr

Diversification du risque (2) • Portefeuille efficient § Portefeuille qui, pour une rentabilité anticipée donnée (par exemple 12%), minimise le risque. § Portefeuille qui, pour un niveau de risque donné (par exemple 20%), maximise la rentabilité anticipée. § Portefeuille optimal au sens moyenne-variance • Frontière efficiente § Ensemble des portefeuilles efficients • Exercice : utiliser l’outil de modélisation sur www. longin. fr François Longin 10 www. longin. fr

Diversification du risque (3) • Cas : n actifs risqués § Caractérisation de la frontière efficiente § Le portefeuille retenu par l’investisseur dépend de son aversion au risque. • Cas : 1 actif sans risque et n actifs risqués § Caractérisation de la frontière efficiente § Théorème de séparation : les portefeuilles optimaux sont définis comme une combinaison de l’actif sans risque et du portefeuille tangent (portefeuille de marché). § Le portefeuille retenu par l’investisseur dépend de son aversion au risque. • Exercice : utiliser l’outil de modélisation sur www. longin. fr François Longin 11 www. longin. fr

Diversification du risque (4) • Cas : 1 actif sans risque et n actifs risqués § Actif sans risque : µ 0 = 5% et σ0 = 0% § Portefeuille de marché M : µM = 10% et σM = 25% § Portefeuille efficient P : µP et σP w Combinaison linéaire de l’actif sans risque (x) et du portefeuille de marché (1 -x) : µP = x·µ 0 +(1 -x)·µM et σP = (1 -x)·σM En remplaçant x par sa valeur il vient : w Il s’agit de l’équation de la frontière efficiente. w § Interprétation économique : plus le risque est élevé, plus la rentabilité exigée est élevée. François Longin 12 www. longin. fr

Risque d’un actif • Quel est le risque associé à un actif ? § Portefeuille existant : µP et σP § Projet ou actif risqué : µi et σi • Comment prendre en compte le risque de cet actif au niveau du taux d’actualisation ? § Risque total de l’actif ? σi § Contribution de l’actif au risque du portefeuille ? François Longin 13 www. longin. fr

Le modèle de marché (1) • Sources de risque § Le risque sur chaque actif a deux origines : w w Le risque systématique lié au marché : conjoncture affectant tous les actifs Le risque spécifique lié au titre considéré : événements propres à l’actif (action, obligation, projet, etc. ) • Modélisation § Rentabilité = Rentabilité anticipée + Erreur § Par définition, l’erreur (le résidu) correspond à l’écart entre la réalisation de la rentabilité et son anticipation. § Cet écart est dû à un mouvement général du marché (risque systématique) et à un mouvement propre à chaque actif (risque spécifique). François Longin 14 www. longin. fr

Le modèle de marché (2) • Modélisation (suite) • Notations François Longin 15 www. longin. fr

Le modèle de marché (3) • Raisonnons sur un portefeuille P contenant n titres § Composition du portefeuille : x 1, x 2, x 3, … xn • Modélisation du portefeuille P • Notation François Longin 16 www. longin. fr

Le modèle de marché (4) • Diversification des n risques spécifiques § Les aléas S 1, S 2, S 3, …, Sn sont des variables aléatoires centrées et indépendantes. § Pour un portefeuille diversifié (i. e. tous les poids xi sont petits), le risque spécifique du portefeuille disparaît. w Application de la loi des grands nombres • Approximation pour la rentabilité d’un portefeuille diversifié François Longin 17 www. longin. fr

Le modèle de marché (5) • Analyse du risque d’un portefeuille diversifié • Interprétation : • Approximation pour le risque d’un portefeuille diversifié François Longin 18 www. longin. fr

Le modèle de marché (6) • Contribution d’un actif i au risque du portefeuille P § Décomposition du risque de l’actif i Le risque spécifique de l’actif i n’apparaît pas dans le risque d’un portefeuille diversifié. § Seul le bêta de l’actif i apparaît dans le risque d’un portefeuille diversifié. • La contribution d’un actif i au risque du portefeuille P est mesurée par le bêta. § François Longin 19 www. longin. fr

Le modèle de marché (7) • Détermination de la prime de risque de l’actif i § Décomposition de la prime de risque sur l’actif i § La prime de risque pi doit être proportionnelle au bêta de l’actif i qui est le seul risque non diversifiable. § Démonstration : François Longin 20 www. longin. fr

Le Medaf (1) • Terminologie § Medaf : modèle d’évaluation des actifs financiers § CAPM : capital asset pricing model • Rentabilité anticipée de l’actif i • Relation du Medaf ou CAPM § La rentabilité anticipée d’un actif est égale à la somme du taux sans risque et du bêta de l’actif fois la prime de risque du marché. François Longin 21 www. longin. fr

Le Medaf (2) • Trois éléments à estimer § Le taux sans risque § La prime de risque du marché § Le bêta de l’actif • Utilité du Medaf § Gestion d’actifs w § Construction de portefeuilles efficients Décisions d’investissement w Calcul du coût du capital François Longin 22 www. longin. fr

Calcul du coût du capital en pratique • Les entreprises utilisent le Medaf pour calculer le coût du capital. François Longin 23 www. longin. fr

Le beta (1) • Définition • Interprétation § Le beta mesure l’élasticité de l’actif par rapport au portefeuille de marché. w w Si un actif a un beta de 1, alors en moyenne il varie dans les mêmes proportions que le marché. Un actif avec un beta inférieur à 1 (0, 8 par exemple) varie moins que le marché. Un actif avec un beta supérieur à 1 (1, 5 par exemple) amplifie les variations du marché. Le beta est donc aussi une mesure du risque d’un actif. François Longin 24 www. longin. fr

Le bêta (2) • Estimation du beta § Estimation de la régression linéaire de la rentabilité du titre i sur la rentabilité du marché M § Le bêta : w w Coefficient de la régression linéaire associé à la rentabilité du portefeuille de marché M (variable explicative) Pente de la droite de la régression François Longin 25 www. longin. fr

Limites du Medaf • Qu’est-ce que le portefeuille de marché ? § En théorie, le portefeuille de marché contient tous les actifs : actions, obligations, matières premières, immobilier, objets d’art, capital humain, etc. w Difficulté d’observer le portefeuille de marché et donc à estimer sa rentabilité • Qu’est-ce qu’un actif ? § Historique de rentabilités pour un actif de marché § Quid d’un nouveau projet d’entreprise ? w Difficulté de simuler de TRI sous différentes conditions de marché pour calculer le bêta François Longin 26 www. longin. fr

Application à l’investissement • Le taux d’actualisation doit tenir compte du risque. § Prime de risque • La prime de risque du projet dépend du projet mais aussi du portefeuille existant. • Recherche d’actifs peu corrélés voir négativement corrélés avec le portefeuille existant § Super diversificateurs François Longin 27 www. longin. fr