Cours 8 Regime Sinusoidal Etabli Reponse Sinusoidal Serie

Cours 8 Regime Sinusoidal Etabli

Reponse Sinusoidal • Serie et transformee de fourier • Signal: amplitude vs. frequence (a la place de amplitude vs. temps)

Reponse Sinusoidal • Reponse d’un systeme peut aussi etre amplitude vs. frequence • On a déjà vu des exemples:

Reponse Sinusoidal • Si entrée est 1 x 106, gain est 1 • Si entrée est 1 x 109, gain est autour de 0. 5 • …

Conventions • Gain: V/V, A/A, etc. echelle lineaire • Gain decibels (d. B) echelle logarithmique • Quand ca va de tres bas a tres haut • Originalement pour gain de puissance

Conventions • Sachant que P=VI=V 2/R • Meme chose pour gain de courant

Conventions • Dans le filtre passe bas on voit que le gain baisse diminue avec la frequence • DEFINITION: • Frequence de coupure: Frequence ou le gain a -3 d. B du maximum (autre nom: frequence -3 d. B)

Conventions Gain maximal Frequence de coupure

Conventions • Definition: • Bande passante: plage de frequences ou le gain est plus que -3 d. B Bande passante

Cas Concret: filtre passe bas • Prenons par exemple un filtre passe bas: • Son gain maximal est 1 (w=0)

Cas Concret: filtre passe bas • Dans ce cas PARTICULIER, w-3 d. B est la meme que la bande passante. -3 d. B w-3 d. B

Exemple de calcul • On va trouver les caracteristiques de ce circuit:

Exemple de calcul • La frequence -3 d. B c’est quand le gain devient : • On multiplie par le denominateur • Equation en w du 4 e ordre:

Exemple de calcul • Pour equation de 2 e ordre, solution est: • On peut substituer x=w 2 et faire semblant que c’est 2 e ordre:

Exemple de calcul • Coefficients de l’equation quadratique: • Ca se simplifie

Exemple de calcul • Sachant que x=w 2, w devient: • Ca peut s’exprimer comme:

Exemple de calcul • Avec C=10 -12, L=10 -9 et R=100 Bande Passante

Exemple de calcul • On voit ici 3 differentes valeurs de R. • Changer R => changer bande passante • Autre terme: Facteur de Qualite (Q)

Facteur de Qualite • Definition

Facteur de Qualite • La frequence de resonance: • La bande passante:

Facteur de Qualite • Avec la frequence naturelle et la bande passante, on trouve Q: • On substitue avec les valeurs:

Facteur de Qualite • Regardons la forme classique: • On voit que • On sait aussi que • On peut deduire que:

Exemple • Exemple (seul) • Trouvez le wn, le z et le Q de ce circuit

Exemple • On ecrit la fonction de transfert • On le re-ecrit sous la forme classique • Deja on voit que:

Exemple • On regarde le coefficient de s: • Le coefficient d’amortissement devient: • Le facteur de qualite est:

Naturelle vs. Resonance • Frequence naturelle et frequence de resonance: terme parfois interchangeable • Un systeme peut avoit frequence naturelle sans avoir de resonance • Resonance: quand une frequence reagit plus que les autres

Naturelle vs. Resonance • Les 3 courbes ont la meme frequence naturelle Frequence de resonance Pas de resonance

Resonance: pourquoi? • On a parle de circuits resonants • On a parle de facteur de qualite • Ca peut sonner abstrait • Exemple d’applications: transmetteur radio

Application: Radio AM • • On aimerait envoyer la musique par radio On comence par amplifier le signal Ensuite on l’envoie dans une antenne Ondes electromagnetiques se propagent et vont a l’autre antenne • De l’autre bord, on amplifie et on entend la musique

Application: Radio AM • PROBLEME: Pour bien propager, il faut grosse antenne • Basse frequence: longue antenne (musique= “basse frequence”) • Haute frequence: petite antenne • Comment faire?

Application: Radio AM • Modulation: si notre signal est ce sinus • On enverrait une onde rapide avec amplitude qui SUIT la forme de l’autre

Application: Radio AM • Avec haute frequence, ca transmet par l’antenne • L’autre bord le recoit, l’amplifie et on l’entend. • La resonance la dedans?

Application: Radio AM • Radio AM: Entre 540 KHz et 1600 KHz • C-a-d, “haute vitesse” est 540 -1600 KHz • Il y a plusieurs stations radio qui utilisent plusieurs de ces frequences • Si on veut entendre qu’un seul poste, il selectionner UNE SEULE FREQUENCE et ignorer les autres

Application: Radio AM • Quel circuit connait-on qui prend une seule frequence et enleve les autres? • Circuit LC • Prend seulement les frequences TRES PROCHES de

Application: Radio AM • Facteur de qualite: la “selectivite” • Ex: Station radio A module a 600 KHz et station B a 610 KHz. Est-ce notre circuit serait capable d’amplifier seulement 600 KHz? (est-ce que son Q est assez eleve? )

Application: Radio AM • Voici un exemple: • On envoie onde sinus de 3 KHz • On module avec sinus de ~60 KHz 3 KHz On ajuste cette frequence. ~ 60 KHz

• Signal de 3 KHz module avec haute vitesse

Application: Radio AM • Recepteur utilise LC de 60 KHz • On change la frequence de modulation • Droite: on s’approche de la frequence LC

Application: Radio AM • Gauche: quand frequence LC = frequence modulation • Droite: on depasse la frequence LC

Application: Radio AM • Resultats (tentative): • Oscilloscope: signal recu et amplifie • Speaker: son recu et amplifie

Diagramme de Bode • Figure gain vs. frequence • Echelle logarithmique • Approximation asymptotique

Diagramme de Bode • On va prendre un exemple banal pour expliquer le raisonnement: filtre RC • En regime sinusoidal etabli:

Diagramme de Bode • Son gain: • En decibels: • Sa phase:

Diagramme de Bode • Rappelons-nous de quelques proprietes: • On peut re-ecrire l’equation du gain:

Diagramme de Bode • Forme plus conviviale: • 2 cas extremes: • Quand w << 1/RC • Quand w >> 1/RC

Diagramme de Bode • On rejoin les courbes ou w=1/RC • A ce point, le gain w =1/RC w >>1/RC w <<1/RC

Diagramme de Bode • Conclusions de l’experience precedente • Chaque pole cause une baisse de -20 d. B par LOG 10 w • LOG 10 w augmente de 1 quand w augmente de 10 • DONC, le gain baisse de -20 d. B quand la frequence augmente de 10 fois. • On appelle ca une decade • COMMENCE au pole (valeur absolu) w= 1/CR

Diagramme de Bode • On pourrait aussi faire le meme exercice avec les zeros: • Il y aura une augmentation de +20 d. B/decade • Le gain commencera a la frequence du zero Zero

Diagramme de Bode: amplitude • On peut resumer: • • Chaque pole reel cause -20 d. B/decade Chaque zero reel cause +20 d. B/decade Echelle logarithmique: c’est une droite Le changement se produit AU pole/zero • Rappel: Decade=10 X.

Diagramme de Bode: amplitude • Recette magique: • • • Re-arranger la fonction de transfert Trouver gain a une frequence donnee (0 ou autre) Identifier les poles et les zeros Tracer les axes en base logarithmique Tracer les lignes

Exemple • Il faut connaitre les poles et les zeros • Il faut connaitre la fonction de transfert

Exemple • Gain a 0 rad/s: • Substituons avec les valeurs:

Exemple • On trace le diagramme au complet

Pole/Zero a l’Origine • Les choses se compliquent pour fonctions avec poles et zeros a l’origine (s=0) • Gain est soit 0 ou infini a 0 • On ne peut pas dessiner frequence 0 puisque log 100 ne se dessine pas.

Pole/Zero a l’Origine • Imaginons qu’on avait une fonction de transfert: • Frequence 0: descend de -20 d. B/decade • Frequence 10: la pente changerait ENCORE de -20 d. B/decade (devient -40) • Ca commence a quelle valeur?

Pole/Zero a l’Origine • On change la forme de l’equation: • Quand frequence=3/10, amplitude dans parenthese est a peu pres 1 • Gain TOTAL est a peu pres 1 • Si sous cette forme, coefficient de 1/s est frequence ou gain=1

Pole/Zero a l’Origine • Notre diagramme de Bode commencerait a w=3/10 dans ce cas-ci Pente plus raide 3/10

Pole/Zero a l’Origine • Pour le cas du zero, situation semblable • Si fonction de transfert etait • La frequence avec gain unitaire serait 5 (et non 1/5!) • Approximation fonctionne mieux quand poles/zeros valeurs elevees

Exemple • Exemple (seul): • • Reformatter l’equation Trouver gain a une frequence donnee Identifier pole/zero Tracer lignes

Exemple • Fonction de transfert: • Gain de 1 se trouve a la frequence • Zeros: 0 et -400 • Poles: -10

Exemple • Diagrammes de Bode (Amplitude)

Diagramme de Bode: phase • On sait comment tracer le gain • Il faudrait aussi considerer la phase • La phase est donnee par:

Diagramme de Bode: phase • Si on considere un pole/zero comme • La phase serait: • Quand w << A, phase =0 • Quand w >> A, phase =90 • Quand w=A, phase=

Diagramme de Bode: phase • On sait que le dephasage est • Donc, pour zero: • w >> A, dephasage est 90 • Et pour pole: • w >> A, dephasage est -90

Diagramme de Bode: phase • Dephasage d’un zero • Dephasage d’un pole

Diagramme de Bode: phase • Recette magique: • • Trouver dephasage a basse frequence Tracer l’axe de frequence en base logarithmique Identifier les poles/zeros Pour chaque pole/zero: – Idenfier (frequence * 10) – Identifier (frequence / 10) • Commencer dephasage de 45/decade a freq/10 • Arreter dephasage a freq*10

Diagramme de Bode: phase • Zeros: 0, 400 • Points importants: 40, 4000 • Pour 0: Freq*10=Freq/10=0 • Poles: 10 • Points importants: 1, 100 -45 degres/decade

Diagramme de Bode: phase • Dephasage a basse frequence est TYPIQUEMENT 0 (quand w->0) • Quand pole/zero a l’origine: • Zero: dephasage 90 degres PARTOUT • Pole: dephasage -90 degres PARTOUT

Diagramme de Bode: phase

Diagramme de Bode: phase • Exemple (seul): • • Dephasage a basse frequence Pole/Zero Frequence/10 et Frequence*10 Tracer lignes

Diagramme de Bode: phase • • Zero: +45 degres/decade Pole: -45 degres/decade Commence 1 decade AVANT pole/zero Finit 1 decade APRES pole/zero

Diagramme de Bode: phase • Decompose en 2 morceaux (precision du graphique)