Corso di Tecnica delle Costruzioni I Teoria delle

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Progetto di un telaio piano in c. a. : Analisi delle Sollecitazioni secondo il Metodo dei vincoli ausiliari. Bozza del 03/04/2008 a cura di Enzo Martinelli

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 RIEPILOGO DELLE FASI PRINCIPALI Predimensionamento degli elementi dell’intera struttura. Analisi delle sollecitazioni di uno dei telai trasversali Metodo degli Spostamenti Metodo di Hardy-Cross (con vincoli ausiliari) Bozza del 03/04/2008 a cura di Enzo Martinelli

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 RIEPILOGO DELLE FASI PRINCIPALI Analisi dei carichi Predimensionamento Definizione delle combinazioni di carico Metodo degli Spostamenti (Md. S) Analisi delle sollecitazioni Metodo dei vincoli ausiliari Progetto e verifica degli elementi strutturali Bozza del 03/04/2008 a cura di Enzo Martinelli

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI Soluzione Esempio: Combinazione di carico n. 2 (S) Vincoli ausiliari (carrelli ad asse orizz. ) R 3(0) R 2(0) Cedimento di imposto al carrello i-esimo R 3(2) R 2(2) a 3 a 2 a 1 R 1(2) R 1(0) (S 0) Ri(j): reazione del vincolo ausiliare i -esimo sullo schema j-esimo Bozza del 03/04/2008 (S 1) (S 2) (S 3) La soluzione dello schema S può essere ottenuta per sovrapposizione delle soluzioni Si imponendo che le reazioni dei vincoli ausiliari siano nulli: a cura di Enzo Martinelli

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI Si ottiene, dunque, un sistema di tre equazioni (ognuna relativa ad uno dei vincoli ausiliari) da cui si possono trarre i valori dei coefficienti di combinazione aj: Con riferimento a questa terna di valori, noti i parametri della soluzione S 0 e delle soluzioni degli schemi Si, è possibile valutare tutti i parametri della soluzione dello schema S. Ad esempio il generico momento Mij si valuta per combinazione come segue: Per attuare questo procedimento, ovviamente, è necessario risolvere gli schemi S 0 e gli schemi Sj. Si tratta di schemi a “nodi fissi” nel senso che, per ognuno, si conoscono a priori i valori degli spostamenti di piano. Per lo Schema S 0 (sul quale sono applicate le azioni che caratterizzano la combinazione di carico in oggetto) gli spostamenti sono nulli per effetto della presenza dei vincoli ausiliari; sullo schema Sj si impone al solo carrello j-esimo uno spostamento orizzontale. Su tutti gli schemi si valutano gli effetti delle azioni (carichi e cedimenti) dapprima in termini di momento e poi valutando i tagli (per equilibrio d’asta) e sforzi normali (per equilibrio di nodo). Dall’imposizione degli equilibri di nodo si desumono pure le reazioni dei vincoli ausiliari Bozza del 03/04/2008 a cura di Enzo Martinelli

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI Alcune Osservazioni sul Procedimento Il calcolo delle caratteristiche della sollecitazione con il metodo di Hardy-Cross con i vincoli ausiliari prevede, per ogni combinazione di carico considerata, la soluzione dello schema a nodi fissi S 0 ed un numero di schemi Sj a nodi traslati pari al numero di nodi spostabili che caratterizza la struttura. Si osserva che, volendo analizzare più combinazioni di carico, gli schemi a nodi traslati sarebbero gli stessi dal momento che essi attengono soltanto allo schema strutturale e non ai carichi applicati. Pertanto, andrebbe soltanto risolto lo schema a nodi fissi relativo alla combinazione di carico in oggetto le cui soluzioni in termini di reazioni dei vincoli ausiliari potrebbero essere utilizzate per il calcolo della terna di valori (a 1, a 2, a 3) relativa alla combinazione in oggetto. E’ opportuno che il valore dello spostamento d da assegnare agli schemi Sj deve essere scelto in modo da generare momenti di incastro perfetto sui pilastri dello stesso ordine di grandezza di quelli che si trovano sulle travi nello schema S 0 per effetto dei carichi. Bozza del 03/04/2008 a cura di Enzo Martinelli

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI Applicazione al caso in esame Momenti di incastro perfetto Bozza del 03/04/2008 a cura di Enzo Martinelli

SOLUZIONE DELLO SCHEMA S 0 - coefficienti di ripartizione nei vari nodi - coefficienti di trasporto per le varie aste - momenti di incastro perfetto dovuti ai carichi sulle aste

Trasporto sull’asta 10 -11 24. 34 24. 53 Trasporto sull’asta 10 -7 12. 17 SOLUZIONE DELLO SCHEMA S 0 Equilibrio del nodo 10 12. 27

Trasporto sull’asta 11 -12 -0. 10 Trasporto sull’asta 11 -10 -0. 21 -0. 19 -0. 41 Trasporto sull’asta 11 -8 -0. 21 SOLUZIONE DELLO SCHEMA S 0 Equilibrio del nodo 11 -0. 09

Trasporto sull’asta 12 -11 -14. 33 -28. 65 -31. 59 Trasporto sull’asta 12 -9 -15. 79 SOLUZIONE DELLO SCHEMA S 0 Equilibrio del nodo 12

Soluzione a convergenza SOLUZIONE DELLO SCHEMA S 0 Si procede con il “giro” senza tornare su un nodo prima che non siano stati equilibrati tutti gli altri. La convergenza è raggiunta quando gli squilibri nodali sono non maggiori di 0. 01 k. Nm

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 SOLUZIONE DELLO SCHEMA S 0 Calcolo delle reazioni dei vincoli ausiliari Bozza del 03/04/2008 a cura di Enzo Martinelli

SOLUZIONE DELLO SCHEMA Sj - coefficienti di ripartizione nei vari nodi - coefficienti di trasporto per le varie aste - momenti di incastro perfetto dovuti ai carichi sulle aste

SOLUZIONE DELLO SCHEMA Sj: Calcolo dei momenti

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 SOLUZIONE DELLO SCHEMA Sj A NODI TRASLATI Calcolo delle reazioni dei vincoli ausiliari Bozza del 14/04/2004 a cura di Enzo Martinelli

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 SOLUZIONE CON IL METODO DEI VINCOLI AUSILIARI A questo punto, note le reazioni dei vincoli ausiliari calcolate sullo schema S 0 (e dovute ai carichi agenti su S) e sui tre schemi Sj, si possono determinare i valori numerici dei coefficienti aj che rendono nulle le reazioni dei vincoli ausiliari: Reazioni sullo schema S 2 Bozza del 03/04/2008 Reazioni sullo schema S 0 (cambiate di segno) a cura di Enzo Martinelli

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Soluzione secondo il Metodo dei Vincoli Ausiliari Bozza del 03/04/2008 Momenti in tm a cura di Enzo Martinelli

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 DIAGRAMMI DEI MOMENTI PER LE TRE COMBINAZIONI DI CARICO Bozza del 03/04/2008 a cura di Enzo Martinelli