Corso di Analisi Statistica per le Imprese Indici

Corso di Analisi Statistica per le Imprese Indici di variabilità ed eterogeneità Prof. L. Neri a. a. 2018 -2019 1

Variabilità • La variabilità di una distribuzione esprime la tendenza delle unità di un collettivo ad assumere diverse modalità del carattere. • Per misurare la variabilità di una distribuzione si ricorre agli indici di variabilità che devono rispettare le seguenti caratteristiche: -assumere valore minimo se tutte le unità della distribuzione presentano la stessa modalità del carattere -aumentare al crescere della “diversità” tra le modalità assunte dalle varie unità 2

Variabilità • Il calcolo di una media non esaurisce la descrizione sintetica di un fenomeno osservato in un collettivo • Due insiemi di valori o due distribuzioni di frequenza, pur avendo lo stesso valore medio, possono essere molto differenti tra di loro • Gli indici di variabilità forniscono informazioni complementari a quelle degli indici medi 3

Punti vendita Ricavi Costi addetti ubicazione Genere respons. Vendita R. O On-line 1 350 205 5 centro maschio si 145 2 200 100 3 periferia maschio si 100 3 600 350 10 semicentro femmina no 250 4 500 270 10 periferia femmina no 230 5 270 200 6 centro maschio no 70 6 180 120 3 centro maschio no 60 7 205 105 3 periferia maschio no 100 8 340 210 5 semicentro femmina no 120 9 280 140 4 centro femmina si 140 4

Variabilità Distribuzioni teoriche Ricavi (A) Ricavi (C) 325 Ricavi (B) 300 350 200 325 350 270 600 325 400 830 500 325 200 605 270 325 300 120 180 325 200 205 325 300 190 340 325 400 280 325 350 370 140 Le 3 distribuzioni teoriche hanno la stessa media della distribuzione osservata La sintesi con la media aritmetica porta allo stesso risultato Eppure le distribuzioni sono molto diverse tra di loro Distribuzione osservata 5

Alcuni indici di variabilità Il range (o campo di variazione) è l’ampiezza dell’intervallo che contiene tutti i valori della distribuzione La differenza interquartile è l’ampiezza dell’intervallo che contiene il 50% dei valori (quelli centrali) 6

Esempio Ricavi (A) Ricavi (C) 325 Ricavi (B) 300 350 200 325 350 270 600 325 400 830 500 325 200 605 270 325 300 120 180 325 200 205 325 300 190 340 325 400 280 325 350 370 xmin 180 325 200 120 xmax 600 325 400 830 Range=xmax-xmin 420 0 200 710 140 Distr. A Variabilità nulla Tutti i valori uguali Passando da Aa. B e da B a C, aumenta la variabilità perché i valori cadono in un range sempre più ampio 7

Indici basati sullo scostamento dalla media La varianza σ2 è funzione delle differenze (scarti) tra ogni valore xi e la media La devianza è il numeratore della varianza 8

Indici basati sullo scostamento dalla media La deviazione standard (o scarto quadratico medio) è la radice quadrata della varianza Il coefficiente di variazione CV è il rapporto tra la dev. standard e la media moltiplicato per 100 9

Confronto tra due distribuzioni in termini di variabilità CV si calcola per confrontare la variabilità della distribuzione del carattere X con quella del carattere Y quando sono espressi o con diversa unità di misura o con diverso ordine di grandezza Se CVX>CVy allora la variabilità del carattere X è maggiore di quella del carattere Y 10

Esempio di calcolo Ricavi xj 350 Scarti dalla media (xj-μ) 25 Quadrato degli scarti (xj-μ)2 625 200 -125 15625 600 275 75625 500 175 30625 270 -55 3025 180 -145 21025 205 -120 14400 340 15 225 280 -45 2025 Per la proprietà della media Devianza=163200 Varianza=18133, 3 Dev. std. =134, 7 11 11

Variabilità dei ricavi dei punti vendita • Un basso grado di variabilità indica che i punti vendita realizzano performance simili (i ricavi si discostano poco tra di loro) • Viceversa un alto grado di variabilità fa capire che c’è una certa eterogeneità nei risultati delle vendite ottenuti nei diversi negozi 12

Varianza di una distribuzione di frequenza Addetti (xj) Numero punti vendita 3 2 19, 34 4 1 4, 45 6 3 0, 04 7 1 0, 79 10 2 30, 26 (nj) (xj-μ)2*nj 13

Box plot L’altezza del box indica la dispersione del 50% delle osservazioni centrali intorno alla mediana. Si evidenzia una certa simmetria nella parte centrale, dato che la differenza Q 2 -Q 1 non è molto diversa da Q 3 -Q 2 max Q 3 Q 2 Ricavi min Q 1 I segmenti esterni al box indicano la dispersione dei valori estremi. Si nota una maggiore dispersione del 25% dei valori più grandi, dato che la differenza max-Q 3 è molto maggiore di Q 1 -min 14

Data Visualization (ESEMPIO) • histogram a bar graph designed to show frequencies: There are nearly 30 States with population under 5 millions and few States with more than 10 millions of inhabitants. With nearly 40 Statest clustered into the first couple of bars, we may lose some details, so… 15 05 November 2020

Data Visualization (ESEMPIO) • We decide the number of bars with the break option: hist(US_POP 2017_R$respop, break=20) Now we have 2 million for each bar, so: there 15 States with population under 2 millions, 10 with population within 2 and 4 millions…. 16 05 November 2020

Data Visualization (ESEMPIO) • The box plot is a standardized way of displaying the distribution of data based on the five number summary: min, first quartile, median, third quartile, and max. boxplot(US_POP 2017_R$respop, data=US_POP 2017_R, main="USA Population") The box spans the interquartile range; the median is marked by the bold line inside the box; the whiskers are the two lines outside the box. Here high variability due to some huge values Data Mining: Concepts and Techniques 05 November 2020 17

Calcolo dei valori standardizzati Se il carattere quantitativo X ha media e deviazione standard σ allora è possibile sempre ottenere i suoi valori standardizzati La distribuzione del carattere Y avrà allora media zero e deviazione standard uguale ad 1

Confronto del rendimento di due investimenti (uguale media) F 1 F 2 2003 7, 7 6, 4 2004 6, 1 5, 9 2005 0, 4 3, 2 2006 9, 8 7, 1 2007 3, 5 4, 9 media 5, 5 var 10, 7 1, 8 Negli ultimi cinque anni, due fondi di investimento F 1 e F 2 hanno avuto lo stesso rendimento medio annuo, ma le varianze sono molto diverse Var(F 1)>Var(F 2) Una varianza maggiore indica che rendimenti molto diversi dalla media sono più frequenti Maggiore volatilità Maggior rischio A parità di rendimento medio, il cliente che è disposto ad accettare un rischio più alto sceglierà di investire in F 1 19

Confronto del rendimento di due investimenti (media diversa) F 1 F 2 2003 9, 7 1, 4 2004 7, 1 1, 9 2005 0, 9 2, 2 2006 9, 9 2, 1 2007 7, 5 4, 9 media 7, 0 2, 5 var 10, 6 1, 5 CV 46, 5 49, 3 Il rendimento di F 1 ha registrato una media e una varianza superiore a quello di F 2 Si può concludere che F 1 rappresenta un investimento più rischioso rispetto a F 2? Le due medie hanno un ordine di grandezza diverso la variabilità si confronta con CV A F 1 è associata una variabilità (volatilità) più bassa 20

Omogeneità ed eterogeneità Sono aspetti della variabilità di un carattere qualitativo • Eterogeneità nulla (o massima omogeneità) → Il carattere assume un’unica modalità (tutte le unità del collettivo presentano quella modalità) • Eterogeneità massima (o minima omogeneità) → Il carattere presenta tutte le modalità e a ciascuna di esse è associata la stessa frequenza 21

Eterogeneità nulla (tutte le unità hanno la stessa modalità) Eterogeneità massima (a ciascuna modalità è associata la stessa frequenza) Mod. Freq. rel. a 1 1/k a 2 1/k … ak 1/k 22

Indice di eterogeneità Mod. Freq. rel. a 1 n 1 f 1 a 2 n 2 … … f 2. . aj nj fj a. K n. K f. K Indice di eterogeneità di Gini Indice relativo di eterogeneità di Gini 23

Eterogeneità dell’ubicazione dei punti vendita Ubicazione F. ass. del p. v. (nj) Centro 4 Semicentro Periferia Totale 2 3 9 F. rel. (fj) 0, 45 0, 22 0, 33 1, 00 0, 20 0, 05 0, 11 0, 36 24

Eterogeneità dell’ubicazione dei punti vendita C’è un elevato grado di eterogeneità La distribuzione osservata si avvicina a quella che si avrebbe nella situazione di massima eterogeneità Distr. osservata Ubicazione del p. v. Distr. con la max eterog. F. ass. (nj) F. rel. (fj) Centro 4 0, 45 3 0, 33 Semicentro 2 0, 22 3 0, 33 Periferia 3 0, 33 Totale 9 1, 00 25