Corso di Analisi Statistica per le Imprese Capitolo

Corso di Analisi Statistica per le Imprese Capitolo 1_2 Sampling in Marketing Research Prof. L. Neri a. a. 2018 -2019

Basics of sampling I A sample is a Samples offer many benefits: “part of a whole Save costs: Less expensive to study the to show what the sample than the population. rest is like”. Save time: Less time needed to study the Sampling helps to sample than the population. determine the Accuracy: Since sampling is done with corresponding care and studies are conducted by skilled value of the and qualified interviewers, the results are population and expected to be accurate. plays a vital role in Destructive nature of elements: For marketing some elements, sampling is the way to research. test, since tests destroy the element itself. 2

Basics of sampling II Limitations of Sampling Demands more rigid control in undertaking sample operation. Minority and smallness in number of units could creates problems. Sample results are good approximations at best. Sampling Process Defining the population Specifying Sample Method Developing a sampling Frame Determining Sample Size SELECTING THE SAMPLE 3

Sampling: Step 1 Defining the Universe or population is the whole mass under study. Sampling: Step 2 Establishing the Sampling Frame A sample frame is the list of all elements in the population (such as telephone directories, electoral registers, club membership etc. ) from which the samples are drawn. A sample frame which does not fully represent an intended population will result in frame error and affect the degree of reliability of sample result. How to define a universe: » What constitutes the units of analysis? » What are the sampling units? » What time period does the data refer to? 4

Step - 3 Determination of Sample Size Sample size may be determined by using: » Subjective methods (less sophisticated methods) – The rule of thumb approach: eg. 5% of population – Conventional approach: eg. Average of sample sizes of similar other studies; – Cost basis approach: The number that can be studied with the available funds; » Statistical formulae (more sophisticated methods) – Confidence interval approach. 5

Sample size determination using statistical formulae: The confidence interval approach To determine sample sizes using statistical formulae, researchers use the confidence interval approach based on the following factors: » Desired level of data precision or accuracy; » Amount of variability in the population (homogeneity); » Level of confidence required in the estimates of population values. Availability of resources such as money, manpower and time may prompt the researcher to modify the computed sample size. 6

Sample size determination by the t confidence interval approach: the average parameter Dall’equazione ricavo 7

Esempio Tra i pasticcini prodotti artigianalmente da una pasticceria se ne prelevano n=100; il loro peso medio è pari a 35 gr. Lo scarto quadratico medio di TUTTI i pasticcini prodotti è pari a 4 gr. Si trovi l’intervallo di confidenza al 98%. Di quanto deve aumentare la numerosità campionaria se si vuole che l’ampiezza dell’intervallo si dimezzi? Soluzione: 1 -α=0. 98→ α=0. 02 → α/2=0. 01 → 1 -α/2=0. 99 Dalle tavole della distribuzione Normale (vedi Tavole_Statistiche. pdf) si ha che Z(0. 99) è circa =2. 326 per cui l’intervallo al 99% è 8

…. Esempio L’ampiezza dell’intervallo di confidenza è il doppio dell’errore campionario, ovvero Si deve determinare n*: l’ampiezza dell’intervallo si dimezzi (Amp*) 9

Sample size determination by the t confidence interval approach: the proportion parameter Dall’equazione ricavo l’errore campionario 10

Sample size determination by the t confidence interval approach: the proportion parameter In realtà p è incognito, quindi si potrà inserire nella formula un valore che si ritiene plausibile oppure p=0. 5 che è il valore di p che, a parità di Z ed e, massimizza n. 11

Esempio Si vuole stimare la percentuale di individui che ha seguito un programma televisivo, sulla base di una rilevazione campionaria, con livello di significatività α=0. 05 e commettendo un errore massimo di stima pari a e=± 0. 01. Non conoscendo la varianza si assume la varianza massima, che si ottiene per p=0. 5 12

Step 4: Specifying the sampling method Probability Sampling » Every element in the target population or universe [sampling frame] has known probability of being chosen in the sample for the survey being conducted. » Results may be generalized. Non-Probability Sampling » Every element in the universe [sampling frame] does not have known probability of being chosen in the sample. » Operationally convenient and simple in theory. » Results may not be generalized. 13

Probability sampling Four types of probability sampling Appropriate for homogeneous population » Simple random sampling – Requires the use of a random number table or random number generators. » Systematic sampling – Requires the sample frame only, – No random number generators is necessary Appropriate for heterogeneous population » Stratified sampling – Use of random number generators may be necessary » Cluster sampling – Use of random number generators may be necessary 14

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La popolazione oggetto di indagine è costituita da N=50 unità, numerate univocamente da 1 a 50, si intende estrarre un campione casuale semplice di n=10 unità. Mediante l’uso di un opportuno software si genera la seguente serie di numeri casuali {3, 6, 11, 12, 25, 28, 31, 37, 44, 46}; le unità corrispondenti sono state evidenziate in nero nella 16 figura.

Systematic sampling 17

Se n è ancora pari a 10 unità, il passo di campionamento k è 50/10=5. Si ipotizzi ora di estrarre un numero casuale compreso tra 1 e 5, per esempio 2. Nell’estrazione delle unità campionarie si comincia quindi da quella contrassegnata dall’identificativo 2. Successivamente si procede selezionando le unità della lista contrassegnate dai seguenti numeri d’ordine: 2+5, 2+10; 2+15; …; 2+45, per un totale di 10 unità (quelle nere). 18

Stratified sampling A three-stage process: Step 1 - Divide the population into homogeneous, mutually exclusive and collectively exhaustive subgroups or strata using some stratification variable; Step 2 - Select an independent simple random sample from each stratum. Step 3 - Form the final sample by consolidating all sample elements chosen in step 2. Greater precision can be gained with smaller sample sizes with respect to simple random sampling Stratified samples can be: Proportionate: involving the selection of sample elements from each stratum, such that the ratio of sample elements from each stratum to the sample size equals that of the population elements within each stratum to the total number of population elements. Disproportionate: the sample is disproportionate when the above mentioned ratio is unequal. 19

Selection of a proportionate Stratified Sample La numerosità totale della popolazione illustrativa è pari a 50 unità. Su tale popolazione sono stati individuati 3 strati: il primo di 10 unità (racchiuse in un rettangolo in alto a sinistra); il secondo di 25 unità (racchiuse nel poligono centrale); il terzo di 15 unità (racchiuse nel rettangolo a destra). Come si evince dall’illustrazione i tre strati sono esaustivi e mutuamente esclusivi e hanno pesi rispettivamente pari a: W 1=1/5; W 2=1/2; W 3=3/10. 20

Selection of a proportionate stratified sample Volendo estrarre il solito campione di 10 unità, si applica una frazione di campionamento f pari a 1/5. L’allocazione proporzionale della numerosità campionaria, conduce pertanto ai seguenti risultati: Da ogni strato si estrae il numero di unità stabilite mediante campionamento casuale semplice. Si noti che, i pesi campionari di strato risultano equivalenti a quelli di popolazione: 21

Cluster sampling A two-step-process: » Step 1 - Defined population is divided into number of mutually exclusive and collectively exhaustive subgroups or clusters; » Step 2 - Select an independent simple random sample of clusters. Is a type of sampling in which clusters or groups of elements are sampled at the same time. Such a procedure is economic, and it retains the characteristics of probability sampling. 22

Cluster sampling Possono essere considerati grappoli per esempio: §gli isolati di una città, per le indagini che hanno come unità di rilevazione le famiglie o gli individui; §le classi delle scuole relativamente ad indagini che hanno come unità di rilevazione i docenti oppure gli studenti; §le aziende per le indagini che hanno come unità finali di rilevazione gli amministratori o i dirigenti o altre categorie di dipendenti. Nella seconda fase si estraggono casualmente alcuni grappoli e si conduce l’indagine su tutte le unità che ne fanno parte 23

Cluster sampling Dalla popolazione di 50 unità, suddivisa in sette grappoli distinti, sono stati estratti casualmente tre grappoli, evidenziati con uno sfondo più scuro, tutti gli elementi dei 3 grappoli estratti (in nero) costituiscono le 20 unità del campione. 24

Cluster sampling Il campionamento a grappoli può essere vantaggioso, se non insostituibile, quando: §i grappoli costituiscono una naturale aggregazione delle unità finali di analisi, per le quali invece non si possiede una lista. §le unità sono caratterizzate da dispersione sul territorio e si rende necessario un contatto diretto con esse per la raccolta delle informazioni, per cui studiare solo alcuni grappoli può rivelarsi molto meno dispendioso rispetto al campionamento casuale semplice. Tuttavia, affinché il campionamento a grappoli sia statisticamente più efficiente del campionamento casuale semplice, è importante che i grappoli siano molto eterogenei al loro interno e piuttosto omogenei tra loro. 25

Two steps cluster sampling Nella realtà è più verosimile che i grappoli contengano, unità piuttosto simili tra loro, soprattutto se sono di piccole dimensioni e, in particolare, quando sono individuati in termini di appartenenza territoriale, poiché le aree territoriali tendono ad essere caratterizzate da una certa omogeneità al loro interno e da eterogeneità tra di esse. Se queste sono le caratteristiche dei grappoli, è più conveniente analizzare una selezione di unità per ogni grappolo, anziché il loro intero contenuto: si parla, in questo caso, di campionamento a due stadi. In questo modo si coinvolgeranno un numero maggiore di grappoli a parità di numerosità campionaria 26

Two steps cluster sampling I grappoli sono le unità di primo stadio (UPS) e le unità finali di campionamento, contenute nelle UPS, sono unità di secondo stadio (USS). In figura uno schema di campionamento a due stadi: su una popolazione di 50 unità e 7 grappoli al primo stadio sono state estratte tre UPS, evidenziate con lo sfondo più scuro; al secondo stadio da ogni UPS selezionata sono state estratte a caso delle USS, applicando una frazione di campionamento pari a ½ per UPS, per un totale di 10 unità campionarie. 27

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Non-probability samples Judgmental sampling » Sampling based on some judgment, gut-feelings or experience of the researcher. Common in commercial marketing research projects. Snowball sampling » Used in studies involving respondents who are rare to find. To start with, the researcher compiles a short list of sample units from various sources. Each of these respondents are contacted to provide names of other probable respondents. Quota sampling » An extension of judgmental sampling. It is something like a stratified sampling. Quite difficult to draw. 30

Non probabilty sample: quota sample 1. La popolazione viene suddivisa in classi o sottogruppi omogenei, sulla base di caratteristiche legate al fenomeno oggetto di studio 2. Dai dati censuari o da altre fonti si ricava il peso percentuale di ogni classe 3. Il totale delle unità da inserire nel campione viene suddiviso tra le classi in modo da rispecchiare le proporzioni esistenti nella popolazione e si perviene quindi alla definizione delle quote, cioè il numero di interviste da effettuare in ciascuna classe. 4. La scelta delle unità da intervistare viene generalmente demandata all’intervistatore stesso, nell’ambito delle quote assegnate 31

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References Bracalente, Cossignani, Mulas, (2009) Statistica Aziendale, sections: 2. 1, 2. 2 33