Correlacin Decimos que dos variables X e Y

Correlación Decimos que dos variables, X e Y, están correlacionadas cuando hay una relación cuantitativa entre ellas. X suele ser la variable independiente e Y la dependiente (Y “depende” de X). • Altura y peso de niños. Peso = f(Altura) • Velocidad máxima que alcanza un coche y potencia de su motor. Velocidad = f(Potencia) • Presupuesto para adquisiciones y número de libros que puede adquirir una biblioteca. Libros = f(Presupuesto) La relación puede ser claramente causal o no. • La potencia del motor de un coche es la causa de que alcance una mayor velocidad, así como un mayor presupuesto el que se puedan comprar más libros. (X es la “causa” de Y) • La relación altura – peso tiene parte de causalidad, pero también existen otros factores. (X y otros factores son la causa de Y) Cuando se hacen correlaciones hay que analizar bien el fenómeno para no caer en errores (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Correlaciones espúreas Hay que evitar las denominadas correlaciones espúreas o espurias, es decir, que llevan a conclusiones erróneas. Ocurren cuando dos variables, X e Y, son realmente independientes entre sí, pero dependientes ambas de una misma causa común, Z. X Y Z Ejemplo de correlación espúrea: Cierto biólogo inglés publicó un estudio en el que se comprueba que en los pueblos y ciudades con más cigüeñas en los campanarios, X, nacen más niños, Y. Llegó a la conclusión de que “los niños los trae la cigüeña”. Lo cierto es que tanto el número de cigüeñas, X, como el de niños, Y, dependen de la causa común, Z, que es el tamaño del pueblo o ciudad. En las poblaciones grandes hay siempre más cigüeñas y más niños. Tanto cigüeñas como niños están correlacionados con el tamaño de la población, pero no entre ellos (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento mismos. de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Nubes de Puntos Sea un conjunto de pares de valores de las variables X e Y. Si los representamos en un diagrama de dispersión obtendremos una “nube de puntos” que nos dará una idea gráfica de la posible correlación entre ambas variables. Y Y X No hay correlación Y X Correlación positiva X Correlación negativa (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Algunos tipos de correlaciones Modelo Lineal Correlación lineal positiva Correlación lineal negativa • Potencial • Logarítmica • Otros tipos (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España) • Potencial inversa • Exponencial positiva • Exponencial negativa • Otros tipos

Covarianza Recordemos que. . . Media aritmética: Suma de los valores que toma una variable dividida entre el número total, n, de valores sumados. Varianza: Es una medida de lo que se dispersan los valores de una muestra respecto de su media. Se determina con cualquiera de las formulas equivalentes siguientes: La varianza, V, es también el cuadrado de la desviación típica, S. Cuando se trata de una distribución bidimensional. . . Covarianza: Es una medida de lo que se dispersan los valores de una muestra bidimensional tanto del valor medio de la x como del valor medio de la y. Se determina mediante la expresión: (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Coeficiente de Correlación de Pearson, r Bondad de los ajustes • El coeficiente de correlación de Pearson, r, nos permite saber si el ajuste de la nube de puntos a la recta de regresión obtenida es satisfactorio. • Se define como el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas (raiz cuadrada de las varianzas) • Teniendo en cuenta el valor de la covarianza y las varianzas, se puede evaluar mediante cualquiera de las dos expresiones siguientes: (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Grado de Correlación • El coeficiente de correlación, r, presenta valores entre – 1 y +1. • Cuando r es próximo a 0, no hay correlación lineal entre las variables. La nube de puntos está muy dispersa o bien no forma una línea recta. No se puede trazar una recta de regresión. • Cuando r es cercano a +1, hay una buena correlación positiva entre las variables según un modelo lineal y la recta de regresión que se determine tendrá pendiente positiva, será creciente. • Cuando r es cercano a -1, hay una buena correlación negativa entre las variables según un modelo lineal y la recta de regresión que se determine tendrá pendiente negativa: es decreciente. No hay correlación Hay correlación no lineal Correlación lineal positiva Correlación lineal negativa (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Determinar si existe correlación entre las calificaciones de matemáticas y física de un alumno. 12 10 Física 8 6 4 2 0 0 2 4 6 Matemáti cas 8 10 12

Determinar si existe correlación entre las calificaciones de matemáticas y física de un alumno.

Regresión lineal 12 10 R 2 = 0. 8752 Física 8 6 4 2 0 0 2 4 6 Matemáti cas 8 10 12

Modelos Lineales Ecuación Explícita de la Recta y = a + bx y Los valores de “y” se calculan multiplicando “x” por la pendiente, b, y sumándole la ordenada en el origen, a b a x a. - Ordenada en el orígen. Punto de corte con el eje de ordenadas o “eje y”. En este punto x está en el “origen” es decir x=0 b. - Pendiente. Grado de inclinación de la recta. Si es positiva, la recta es creciente. Si es negativa es decreciente. Es el cociente entre el incremento que se produce en la variable dependiente, Y, cuando se incrementa la variable (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento independiente, X. de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Ejemplos de Rectas • Recta creciente, ya que la pendiente es positiva • La recta crece dos unidades de y por cada unidad de x, es decir b=2 • Cuando x=0, y=1. La ordenada en el origen, a, vale 1 • Recta decreciente, ya que la pendiente es negativa • La recta decrece una unidad de y por cada unidad de x, es decir b=-1 • Cuando x=0, y=4. La ordenada en el origen, a, vale 4 (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Ejemplo 1. Regresión Lineal (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Coeficiente de Determinación, R 2 • Para estimar la bondad de un ajuste frecuentemente se prefiere utilizar el Coeficiente de Determinación, R 2, que es el Coeficiente de Correlación elevado al cuadrado. • Se determina mediante cualquiera de las dos expresiones siguientes: • Su valor oscila entre 0 y +1. • Cuando hay una buena correlación lineal, R 2 es muy cercano a +1. Normalmente se acepta para valores de R 2 >= 0’ 99. • Cuando no hay correlación o bien ésta no es lineal, R 2 es bajo e incluso cercano a cero (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Ejemplo 2: Regresión lineal (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Ejemplo 4: Relación Profesores/Alumnos en las Universidades Españolas 1. Trazar la gráfica de la distribución 2. Calcular parámetros de la distribución 3. ¿ Cuál es la Universidad con mejor proporción profesor/alumno? R 2=0. 998 b=0. 0515 a=-17 4. ¿Qué Universidad tiene la peor ratio y cuántos profesores necesitaría para equilibrarla? 5. Calcular los valores teóricos de profesores de la Universidad de Granada si ésta tenía 55123 alumnos en el curso 1994 -95. 6. Calcular los valores de la FBD si ésta tenía 1100 alumnos (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)

Ejemplo 4: Gráfica de distribución Relación Profesores/Alumnos en Universidades (c) Rosario Ruiz Baños. Departamento de Biblioteconomía y Documentación. Universidad de Granada (España)