Coordenadas Polares MAT 022 Resumen VBV Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Polares MAT 022 Resumen VBV

Coordenadas Cartesianas

Definiciones � POLO: Origen (0, 0) � EJE POLAR: Eje X � EJE NORMAL: Eje Y � r: distancia dirigida de 0 a P � : ángulo dirigido en sentido antihorario r Eje Polar

Pasar de Coordenadas Cartesianas a Polares x= r cos y= r sen x 2+y 2= r 2 tg = y/x

Ejemplos: � Escribir en coordenadas polares: � P ( 5 , - 5 ) , Q ( 0 , 2 ) , R( -1 , 3 ) , S ( 3 , 4 ). � Escribir en coordenadas cartesianas: � P ( 2 , ) , Q ( 3 , /6 ) , R ( 3 , - /6 ). �Y dibujar en el plano.

Ya cuando uno se familiariza con las coordenadas polares…. � …no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares: se hace directamente. � Es muy sencillo si en el plano usamos como referencia � ángulos y magnitudes.

Importante!!!! � En coordenadas rectangulares la representación de un punto es única. � Esto no sucede en coordenadas polares: � (r, ), (-r, + ) y (r, +2 k ) representan el mismo punto.

Ejemplos § o o § Hallar las coordenadas rectangulares de: P(-2 , 4 /3) Q (-3 , 11 /6) R (-4 , 3 /4) S(-2 , 5 /3) Considerar todos los puntos que cumplen: r = 4 sen Transformar a coordenadas cartesianas e identificar su grafica.

Rectas Radiales

Graficas Polares �r = f( ) se llama ECUACIÓN POLAR. � G={ ( x , y ) : x = r cos , y = r sen , Dom(f) } �= {( f( ) cos , f( ) sen ) : Dom(f) } � Ejemplos: �r � =2 = /3 � r = sec

Definiciones Importantes: � Función Acotada: � r = f( ) es ACOTADA si M>0, t. q. |r| M, Dom(f) � Simetría: � Polar (X) : r( ) = r(- ) � Normal (Y) : r( ) = r( - ) � Polo (O) :

r Simetría: � Polar (X) : r( ) = r(- ) � O bien al intercambiar simultáneamente: r �-r � � - la ec. no varia - r � Normal (Y) : r( ) = r( - ) � O bien al intercambiar simultáneamente: r �-r � � - la ec. no varia r r -

� Polo � (O) : la ecuación no varia al intercambiar: r �-r o � +

OBSERVACIÓN: � Cuando decimos que la ecuación no varia estamos diciendo que se obtiene una de sus múltiples representaciones: (-1)n r = f( + n )

Estrategias para Graficar: � Estudiar si la función es: � Acotada � Simétrica � Periódica � Cambiar a coordenadas cartesianas (no siempre resulta) � Construir tabla � Calcular Interceptos, máximos y mínimos.

GRAFICAS IMPORTANTES

RECTAS QUE CONTIENEN EL POLO = Ejemplo: Graficar: = /4

RECTAS QUE NO PASAN POR EL POLO, A UNA DISTANDO “d” DEL POLO Ejemplo: graficar:

RECTAS HORIZONTALES / VERTICALES r= d sec Ejemplo: Graficar: r = 2 sec r= cosec r= d cosec Probar!!!!

CIRCUNFERENCIAS DE RADIO “a” CON CENTRO EN (a, ) r=2 a cos( - ) Ejemplo: Graficar: r = 4 cos( - /3)

CIRCUNFERENCIAS DE RADIO “a” r=2 a cos( ) r=2 a sen( ) r=a

Ejemplos: graficar: r=4 cos( ) r=4 sen( ) r=2

Estudiar las circunferencias que se obtienen para …. � = 0 � = /2 � = 3 /2

PARABOLAS / ELIPSES / HIPERBOLAS � Se obtienen de la ecuación: � e=1 : parábola � 0<e<1 : elipse � e > 1 : hipérbola

Ejemplos: graficar:

CARACOLES O LIMONARES �Son de la forma: = a b cos �r = a b sen �r �Se diferencian, según: �|a| = |b| : Cardioide �|a| > |b| : Caracol sin Rizo �|a| < |b| : Caracol con Rizo

CARDIOIDE r=1+cos( ) r=1+sen( )

LIMACONES O CARACOLES r=1/2 + cos( ) r= 3 – 2 cos( )

r= 2 – 3 sen( )

ROSAS � Son del tipo: � r = cos (n ) � Donde n es un numero entero. � Si n es par, entonces la grafica tiene 2 n pétalos � Si n es impar, entonces la grafica tiene n pétalos

ROSAS r=2 cos(3 ) r=2 sin(3 ) r=sen(4 )

Otro tipo de rosa… Una rosa dentro de otra r= 1 – 2 sen (3 )

LEMNISCATA � Son �r 2 de la forma: = a sen (2 ) �r 2 = a cos (2 )

LEMNISCATA r 2=4 cos(2 ) r 2=4 sen(2 )

Ejemplos: graficar: r 2=- 4 sen(2 ) r 2=- 4 cos(2 )

ESPIRAL ARQUIMEDES: r= cte r= LOGARITMICA r=cte ek r=e

Ejercicios Propuestos: � Graficar a) b) c) d) e) f) g) h) las siguientes ecuaciones polares: r=5 r = -3 cos r = 2 / (2 – sen ) r = 2 – 4 sen r - 2 +5 sen = 0 r 2 = 3 sen (2 ) r = sen + cos = 0

Intersección de Graficas Polares. � Debido a que un punto en coordenadas polares se puede representar de diferentes maneras, debe tener cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas. � Ejemplo: � r=1 -2 cos( ) � r=1

Ejercicios Propuestos: Graficar y encontrar los puntos de intersección: � A) r = - 6 cos( ) r = 2 – 2 cos( ) � D) r = 3 cos( ) r = 1+ cos( ) � B) r = 2 cos(2 ) r=1 � E) r = 3 sen( ) r = 1+ cos( ) � C) r= cos(2 ) r= cos( ) � F) r 2= � -8 cos(2 ) r= 2 � G) r = 3 /(2+ sen ) r = 4+ 4 sen ( )

ÁREA EN COORDENADAS POLARES r=f( ) Si f es una función continua, positiva = A =

La pregunta es … Como encontramos = , = ? ?

Teorema f( )= 0 y f’( ) 0 entonces, la recta = es tangente a la grafica de r = f( ) en el polo. �Si

Ejemplos: Encontrar el área… r = 1+cos( )

Ejercicios Propuestos: � Encontrar el área… � r= 2 cos (3 ) � r= 2 sen (3 )

IMPORTANTE!!!! � La misma fórmula se puede usar para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una función continua no positiva. � Sin embargo, la fórmula no es necesariamente válida si toma valores tanto positivos como negativos en el intervalo.

Área de la región encerrada por las gráficas de dos ecuaciones polares r = f ( ) y r = g ( ) A r=f( ) = 0 g ( ) f ( ) r=g( ) =

IMPORTANTE!!! � Encontrar los puntos de intersección de la curva � Determinar si g ( ) f ( ) o f ( ) g ( )

Ejercicio f( )= 2 sen( ) � Hallar el área comprendida en el primer cuadrante que es exterior a g( ) = 2 cos( ) e interior a f( ) = 2 sen( ) � Solución: a) Intersección: Resolver la ec: 2 cos( ) = 2 sen( ) ⇔ = / 4 b) Área: g( ) = 2 cos( )

Ejercicios Propuestos: el área fuera de la cardioide r = 2(1+cos( ) ) y dentro de la circunferencia r = 6 cos ( ). � Hallar el área común a las dos circunferencias r = 2 sen ( ) y r = 2 cos ( ). � Dadas las curvas (1) r = 2 cos(3 ) y (2) r = 1. � 1. Hallar el área que encuentra en el interior de (1) y exterior a (2) � 2. Hallar el área que encuentra en el exterior de (1) e interior a (2) � 3. Hallar el área interior a ambas. � Hallar