Contribution ltude de systmes mcaniques structure auto similaire

Contribution à l'étude de systèmes mécaniques à structure auto – similaire Etienne Bertaud du Chazaud Lundi 20 décembre 2004 PHASE 1

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Position du problème Les aérogels Guide d’onde 1 D Corde vibrante auto-similaire 2

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Les structures auto-similaires… • Objets Mathématiques • Objets Physiques 3

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Les fractales de masse × 1/3 Tapis de Sierpinski D = Log(8)/Log(3) ≈ 1, 89 Ordre 0 1 Ordre 2 Ordre 4 Aérogel de silice D ≈ 2, 4 4

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Les fractales de surface × 1/3 Île de von Koch D = Log(4)/Log(3) ≈ 1, 26 Ordre 1 Ordre 2 Ordre 4 Côte bretonne D ≈ 1, 22 5

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Vibrations of Fractal Drums Sapoval et al. , Physical Review Letters 67 -21, 1991 • Milieu de propagation homogène • Les limites correspondent à une fractale de surface 6 Pose photographique (1 s) sur un mode localisé, Sapoval, Gobron et Margolina

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Density of state on fractals : fractons Alexander et Orbach, Journal de Physique-Lettres 43, 1982 • Milieu de propagation correspondant à une fractale de masse sur une certaine échelle • Des modes phonons et fractons sont observés Modes étendus Modes localisés r(w) est la densité d’état, c’est à dire le nombre de modes propres compris dans la bande dw à la fréquence w. 7

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Direct experimental observation of fracton mode patterns in one-dimentional Cantor composite Alippi et al. , Physical Review Letters 68 -10, 1992 • Alternance de résine époxy et de céramique piezo-électrique • Le schéma de construction est une pré-fractale de Cantor d’ordre 4 Résine époxy dans la structure Modes étendus Céramique piézo-électrique Modes localisés dans la structure 8

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales de masse ? PLAN 1. Création et étude d’une structure mécanique à 1 D 2. Création et étude d’une structure mécanique à 2 D 3. L’arrangement est-il un paramètre déterminant ? 9

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales de masse ? PLAN 1. Création et étude d’une structure mécanique à 1 D 2. Création et étude d’une structure mécanique à 2 D 3. L’arrangement est-il un paramètre déterminant ? 10

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Etude numérique de la corde chargée Modèle mécanique discret Cantor ordre 3 (D ≈ 0, 63) Système continu y p diffuseurs ; Modèle mécanique discret de N masses Solution du problème aux valeurs propres 11

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Représentation de quelques modes propres étendus d’une structure d’ordre 3 N=108 ; b = 2, 45 mode 5 – w/w 0 = 2, 46 mode 27 – w/w 0 = 24, 30 12

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Représentation de quelques modes propres localisés d’une structure d’ordre 3 N=108 ; b = 2, 45 mode 21 – w/w 0 = 13, 41 mode 23 – w/w 0 = 16, 90 13

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires A propos de la localisation… y(x) Log(|y(x)|) Localisation forte (décroissance exponentielle) 14

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Représentation de l’ensemble des modes propres d’une structure d’ordre 3 N=108 ; b = 2, 45 w/w 0 15

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Densité d’état intégrée Structure d’ordre 3 – b = 2, 45 DOS intégrée d’une structure non chargée de masse identique Ordre – mode – w/w 0=13, 41 Ordre 3 – 3 mode 2721 – w/w 0=24, 30 Ordre 3 – mode 5 – w/w 0=2, 46 16 Ordre 3 – mode 23 – w/w 0=16, 90

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Ratio de participation Structure d’ordre 3 – b = 2, 45 Vibration d’une corde entière (2/3) Vibration d’un tiers de corde (2/9) Vibration de deux neuvième de corde (4/27) Mode 21 17

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Caractère auto-similaire de la densité d’état intégrée Structure d’ordre 5 – b = 1, 86 × 3 18

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Evolution de la densité d’état intégrée avec le rapport de chargement b Structure d’ordre 3 b → +∞ b=0 b = 1, 09 b = 0, 52 b = 0, 06 19

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Evolution du ratio de participation avec le rapport de chargement b Structure d’ordre 3 Rôle de la masse des diffuseurs Rapport b de chargement 20

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Dans la corde vibrante auto-similaire : [Synthèse du problème 1 D] • La localisation est observée. • Elle correspond à une zone de valeurs particulieres de la densité d’état intégrée et du ratio de participation. • Le rôle du rapport de chargement est connu. • Ces structures ont des caractéristiques de filtre particulières. • On peut déterminer les zones de localisation et les adapter (rôle de b), déterminer la dimension fractale D du modèle, l’ordre de pré-fractalité n à partir des courbes. 21

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales de masse ? PLAN 1. Création et étude d’une structure mécanique à 1 D 2. Création et étude d’une structure mécanique à 2 D 3. L’arrangement est-il un paramètre déterminant ? 22

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Etude numérique de la structure 2 D Principe de construction du système auto-similaire Pré-fractale de Sierpinski, ordre 3 Surcharges ordre 3 (p diffuseurs) 23

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Modèle mécanique discret (détermination des modes propres) Modèle mécanique discret (yij→yn et n=f(i, j)) Solution du problème aux valeurs propres 24

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Modes propres et Densité d’état intégrée Structure d’ordre 3 – b = 8, 9 Ordre 3 Ordre 0 25

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires A propos de la localisation… Tracé de Log(|z(x, y)|) le long de la médiane Localisation forte (décroissance exponentielle) 26

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Ratio de participation Structure d’ordre 3 – b = 8, 9 Vibration d’une membrane de côté l (4/9) Vibration d’une membrane de côté l/3 (2/27) 27

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Evolution de la densité d’état intégrée avec le rapport de chargement Structure d’ordre 3 wp représente la fréquence au-delà de laquelle la localisation est observée wt représente la fréquence au-delà de laquelle l’onde n’est plus bloquée 28

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Evolution du ratio de participation avec le rapport de chargement Structure d’ordre 3 29

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Carte de la localisation Structure d’ordre 3 wmin, b- wmax, b++ 30

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Etude expérimentale d’une structure 2 D d’ordre 2 b = 0, 27 31

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Etude expérimentale d’une structure 2 D d’ordre 2 32

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Etude expérimentale d’une structure 2 D d’ordre 2 b = 0, 27 33

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Etude expérimentale d’une membrane d’ordre 2 b = 0, 27 34

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Dans la membrane vibrante auto-similaire : [Synthèse du problème 2 D] • La localisation est observée. • Elle correspond encore à une zone de valeurs particulières de la densité d’état intégrée et du ratio de participation. • Le rôle du rapport de chargement est connu. • Ces structures ont des caractéristiques de filtre particulières. 35

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales de masse ? PLAN 1. Création et étude d’une structure mécanique à 1 D 2. Création et étude d’une structure mécanique à 2 D 3. L’arrangement est-il un paramètre déterminant ? 36

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Fractales déterministes ou permutées : Influence de l’arrangement des sous-parties 37

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Densité d’état intégrée et ratio de participation pour différents arrangements Cas de la corde d’ordre 3 – b = 2, 45 Localisation principale Localisation secondaire 38

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Quelques modes localisés pour différents arrangements Cas de la corde d’ordre 3 – b = 2, 45 Localisation principale w/w 0=13, 41 Localisation secondaire w/w 0=16, 90 39

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Densité d’état intégrée pour différents arrangements Cas de la membrane – a = 8, 9 A 2 D 40

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Ratio de participation pour différents arrangements Cas de la membrane – b = 8, 9 41

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Quelques modes localisés pour différents arrangements Cas de la membrane – b = 8, 9 42

E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Les fractales de masse présentent-elles un comportement vibratoire particulier ? Conclusions et perspectives Conclusions • Localisation à 2 D comme à 1 D. • « Cross-over » dans la densité d’état intégrée. • Le ratio de participation permet de confirmer ces résultats. • L’évolution de la zone de localisation avec la masse est connue. • Le système n’est pas trop sensible aux permutations Perspectives • Design de filtre. • Etude d’une structure 2 D rigide. • Peut-on imaginer des résultats comparables sur des objets 3 D ? 43