CONTINUIT LIMITI E DIFFERENZIABILIT DI FUNZIONI DI PI

CONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

Argomenti della lezione è Estensione delle nozioni di continuità e di limite alle funzioni di più variabili è Derivate direzionali e derivate parziali è Differenziale di una funzione di più variabili

Continuità di funzioni Rn f: A R

Rn f: A R è continua in x 0 = (x 01, x 02 , … x 0 n)T se per ogni V intorno di f (x 0) esiste U intorno di x 0 x U A è f(x) V

f(x 0) V R X 0 U A Rn

Limite di funzioni Rn f: A R

Rn f: A R ha limite l per x che tende a x 0 = (x 01, x 02 , … x 0 n)T se per ogni V intorno di esiste U intorno di x 0 x U A è f(x) V l

Una funzione di due variabili non continua in (0, 0)T ma con restrizione ad ogni retta per l’origine continua

Se prendiamo la restrizione alla retta per l’origine x = t, y = t, si trova se t = 0, ì 0 ïï f ( • t , • t ) = í • • t 2 + • t 0 se ¹ ï ïî 2 t +

lim f( la t, restrizione t) 0 f (0, 0) = = Dunque alle rette t 0 per l’origine è continua

Ma la restrizione all’iperbole per l’origine y = k x 2/(x -k), con k ≠ 0, ha valore costante k ≠ 0 = f(0, 0).

Anche il limite della funzione preso lungo l’iperbole vale k ≠ 0 = f(0, 0). La funzione non è continua in (0, 0)T.

Caso k = 2 1 -0. 5 0 -0. 5 -1 -1. 5 -2 0. 5 1

Derivate direzionali e derivate parziali

(x 0, y 0)T A

f(x, y 0)-f(x 0, y 0) ∂f (x 0, y 0) = lim _______ x x 0 ∂x x- x 0 f(x 0, y)-f(x 0, y 0) ∂f (x 0, y 0) = lim _______ y y 0 ∂y y- y 0 Più in generale ∂f (x 0 , . . , x 0) = 1 k n ∂xk 0, . . , x 0) - f(x 0, . . , x 0) f(x k n = lim 0 ______________ xk xk x k - x k 0

Sia =( 1, …, n)T un versore di Rn e sia x(t)= x 0+ t una retta passante per x 0 e avente direzione . La derivata di f in direzione , nel punto x 0 è data da 0+ t)- f(x 0) f(x ∂f (x 10 , . . , xk 0, . . , xn 0) = lim ______�� t 0 ∂ t

Funzione non continua con tutte le derivate direzionali nulle in (0, 0)

Sia = (cos , sen )T e t una retta per l’origine

cos 4 sen 2 t f (cos t, sen t)= (cos 4 t 2+sen 2 )2 per t ≠ 0, e si ha

lim f (cos t, sen t) - f(0, 0) = t® 0 t lim t® 0 cos 4 sen 2 t (cos 4 t 2 + sen 2 )2 = 0.

Ma f(x, y) non è continua nell’origine. Infatti la restrizione alle parabole passanti per l’origine y = x 2 ( ≠ 0) ha valore costante:

f(x, b b 2 2 x )= /(1+ b 2)

Differenziale di una funzione di più variabili

Rn f: A R si dice differenziabile in x 0 = (x 01, x 02 , … x 0 n)T se esiste un’ applicazione lineare L : Rn R tale che f(x) = f(x 0)+ L(x- x 0)+e(x) |x- x 0| con e(x) 0 se x x 0.