Construction et simulation avec Geogebra 20150907 Parallaxe stellaire

Construction et simulation avec Geogebra 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra phm Obs Lyon 2015 -16

Préambule Il y a plus de 2200 ans Aristarque de Samos (310 – 230 av. J. C. ) avec des observations d’éclipses de lune et un raisonnement simple parvient à mesurer la distance Terre Lune en rayons terrestres. Il ne connaissait pas la valeur de celui-ci. Toujours le même, en observant les moments des phases de la lune, il tente de déterminer la distance Terre-Soleil. Mais le résultat est incorrect (trop faible) : - observations trop difficiles avec les instruments de mesure de temps et d’angle de l’époque. Il mettait aussi le Soleil au centre du monde. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 2

Raisonnement Connaissant par l’observation - que la Lune met 1 heure pour se déplacer de son diamètre - que pendant une éclipse de Lune centrale, il faut trois fois ce temps : RTerre = 3 RLune D = 19 RTerre Réellement 60 R_T Lien utile : http: //www. savar. ch/volume 6/page 5/odba 01. html 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 3

Préambule Les romains grands bâtisseurs furent de grands arpenteurs. Leurs gromaticiens (arpenteurs géomètres) avec quelques instruments ont su mesurer sur terre de grandes distances souvent inaccessibles à la mesure directe. Usage de Pythagore et Thalès ! Groma 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 4

Préambule Ensuite, pendant de longs siècles, les distances estimés dans l’Antiquité furent les références du savoir. Puis Copernic et son héliocentrisme, Kepler et ses lois, Newton et la gravitation, ne donnaient que des distances relatives par rapport à l’orbite de la Terre. Copernic (1473 -1543) Galilée (1564 -1642) Kepler (1571 - 1630) Newton (1642 -1727) 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 5

Préambule Pour connaître la distance d’un objet à la Terre, il faut mesurer et calculer l’angle sous lequel on voit le rayon terrestre de cet objet : la PARALLAXE. La quête de la parallaxe solaire qui donnerait les distances dans le système solaire fut un grand travail des XVIIe, XVIIIe et XIXe siècles. parallaxe de Mars passages de Vénus Images : http: //faculty. humanities. uci. edu 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 6

Préambule La mesure des parallaxes stellaires fut plus délicate et difficile. Le rayon de la Terre étant trop petit, on se sert de l’orbite de la Terre. Bessel en 1838 estime celle de 61 du Cygne à 0, 35 seconde d'arc. Etoile la plus proche : Proxima Centauri 0. 762” 1 sec. d’arc = 4/100ème de mm vu à 8 mètres La mise en orbite de satellites spécialisées sur les mesures de parallaxe (Hipparcos, Gaia) a révolutionné leurs mesures grâce à la précision obtenues. Précision : mieux que 7 microsecondes d’arc pour les étoiles plus brillantes, permettant d’obtenir des distances correctes jusqu’au centre galactique. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 7

Hipparcos High Precision Parallax Collecting Satellite dédié à l’Astrométrie pour mesurer les positions d’étoiles parallaxes les mouvements propres lancé en 1989, observa jusqu’en 1993. Résultats : Mesure les positions de 118 000 étoiles, précisions 0, 001 seconde d’arc (”) Catalogue Tycho : 1 000 d’étoiles à 0, 005 ” Nombre d’étoiles de distances connues × 100. Précision × 10 Distance atteinte × 20. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 8

GAIA Global Astrometric Interferometer for Astrophysics Gaia est une mission spatiale astrométrique (ESA). - mesure des positions - distances - mouvements des étoiles Retenu en 2000 Gaia est lancé le 19 déc. 2013, pour une mission de cinq ans. un milliard d'objets célestes (étoiles, astéroïdes, galaxies, etc. ) jusqu'à la magnitude 20 (400 000 fois plus faible que les plus faibles visibles à l’œil nu). Dédié à la connaissance de - la structure, la formation et l'évolution de la Voie lactée - les planètes extrasolaires, le système solaire, les galaxies extérieures ainsi qu'en physique fondamentale. Précision : 7 microsecondes (10 -6) d'arc pour V=10 12 -25 microsecondes d'arc pour V=15 100 -300 microsecondes pour V=20 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 9

GAIA Global Astrometric Interferometer for Astrophysics 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 10

Définitions On appelle parallaxe diurne d’un astre l’angle sous lequel on verrait depuis cet astre le rayon terrestre aboutissant au lieu d’observation. La parallaxe diurne a une valeur maximale. Parallaxe horizontale d’un astre : p mesure de l’angle sous lequel on voit le rayon équatorial de la Terre à partir de OT A La valeur de donne la distance Astre –Terre. p 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 11

Définitions Les étoiles p La parallaxe d'une étoile est l'angle sous lequel on voit l'orbite de la Terre de celle-ci. C'est la parallaxe annuelle Pour la mesurer, il faut attendre que la Terre se déplace sur son orbite et faire des mesures à plusieurs moments de l'année. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 12

Définitions Le parsec (parallaxe – seconde) distance de laquelle on verrait une 1 unité astronomique sous un angle de 1 seconde d'arc. 1 parsec = 206 265 u. a. = 3, 262 a. l. = 3, 086 1016 m. 1" 1 ua 1 pc Les angles étant très petits, avec les unités utilisées (ua et ") on a la relation : 1 p" = — d 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 13

Partie I La Maquette Terre - Soleil 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 14

Manipulation • La maquette permet de simuler la révolution annuelle de la Terre autour du Soleil. • L’étoile proche est représentée par le point lumineux. • Le champ d’étoiles lointaines est représenté par l’image d’un champ d’étoiles. Le montage 2015/09/07 Le champ d'étoiles Parallaxe stellaire - Geogebra ► 15

Manipulation On donne la carte du même champ d’étoiles avec des repères destinés à faciliter les identifications et mesures. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra ► 16

Manipulation Identifier les étoiles du champs avec celles de la carte. La projection sur le fond du ciel de la ligne de visée Terre-étoile se fait en repérant le point de la carte où arrive la ligne de visée. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra ► 17

Manipulation Observer et mesurer : 1 - La Terre parcourant son orbite, repérer à l’œil la trajectoire que décrit la projection Terre-étoile sur le fond du ciel. 2 - Quelle est la forme de cette trajectoire ? 3 - Repérer les positions de la plus grande amplitude et les reporter sur la carte. Refaire la mesure pour vérifier la bonne lecture de la visée. 4 - Estimer la précision des mesures. 5 - Quand ont lieu ces maxima d’amplitude ? 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 18

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Manipulation Calcul de la parallaxe de l'étoile - La projection décrit une ellipse sur le fond du ciel. - La grandeur du grand axe mesurée dans l'échelle de la carte (secondes d'arc) donne le double de la parallaxe de l'étoile. - Comment varie l'ellipse si l'étoile est plus près ? - Comment varie l'ellipse si l'étoile est plus haut audessus de l'écliptique ? 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 20

Les coordonnées écliptiques Dans le système solaire, en prenant le Soleil comme centre, le repère simple pour placer la Terre, les planètes et les étoiles est le Système de coordonnées écliptiques en coordonnées polaires : Plan de référence : écliptique Direction origine : point vernal – la distance au Soleil d – la longitude écliptique l – la latitude écliptique b 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 21

Partie II Simulation sous Geogebra 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 22

Le travail ardu sous Geogebra Pour bien illustrer la trajectoire que semble d’écrire les étoiles proches sur le fond du ciel, nous allons simuler au moyen de Geogebra 3 D ce que nous avons vu avec la maquette : – un Soleil – une sphère céleste (champ du ciel) – la Terre sur son orbite circulaire parcourue en un an – une étoile de position variable en direction et en distance. Et animer l’ensemble et observer lorsque la Terre tourne autour du Soleil – le mouvement de la projection de l’étoile sur la sphère céleste – la forme de la courbe parcourue – les variations avec la distance, et la direction de l’étoile. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 23

Dans le document, partie Geogebra, les mots en police Arial et gras sont des objets de Geogebra existants ou à construire. La couleur donnée aux objet, leur opacité, leur taille aident à la clarté du graphique et sont donnée à titre indicatif, car des goûts et des couleurs. . Quand l’opacité n’est pas donnée, elle vaut 0. Il est recommandé aussi de cacher les étiquettes des objets quand elles ne sont pas nécessaires. En route, et au travail ! 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 24

Mise en route Lancer Geogebra 3 D et ouvrir le fichier parallaxe_stellaire 0. ggb. Il contient dans la fenêtre Graphique un curseur tps qui permet de faire varier le Fenêtre temps sur une durée d’un an. Algèbre Le jour de l’année s’affiche en gras à côté. Fenêtre Graphique 3 D g Ox Le représente le plan de l’écliptique ; la direction donne plan x. Oy γ l’origine des longitudes. C’est le point vernal ou point . 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 25

Le Soleil et le ciel S a) Le Soleil sera représenté par un point à l’origine des abscisses (héliocentrisme) S = (0, 0) Style : couleur jaune , taille 5 b) La sphère céleste Lui donner un rayon de 10 : R_{ciel} = 10 Ciel = Sphère[(0, 0, 0), R_{ciel}] Couleur [175, 238], Opacité : 25, cacher l’étiquette. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 26

Le Soleil et le ciel c) Le plan de l’écliptique : plan_{eclp} = Orthogonal. Plane[S, axe. Z] Couleur [255, 215, 0], Opacité : 35. Il peut être caché si cela gêne la lisibilité. d) Le cercle écliptique : c_{eclp} = Cercle[S, R_{ciel}] Couleur noire, Taille 2 Sauvegarder avec un nouveau nom personalisé. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 27

La Terre, son orbite et son mouvement L’orbite de la Terre est assimilée à un cercle de rayon unité (1 ua) dans le plan de l’écliptique : c_T = Cercle[S, 1] Couleur [102, 153, 255], Taille 2, Style des lignes cachées invariable, cacher l’étiquette. La Terre tourne autour du Soleil avec une période (en jours) de P = 365. 25 360 / P Sa vitesse de rotation est de (degrés/jour). 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 28

La Terre, son orbite et son mouvement Si au temps , sa longitude écliptique vaut 102. 14° (Ephémérides), sa tps = 0 position à sera : tps α_T = 360 / P * tps + 102. 14 et l’on placera le point en coordonnées polaires : T T = (1 ; α_T° ) Il faut bien écrire avec le "°" car Geogebra α_T° prendrai cette valeur pour des radians. Couleur [153, 255], Taille 3. ST Facultatif, tracer le segment : s. ST= Segment[S, T] Faire varier le temps avec le curseur pour voir la tps Terre évoluer. Sauvegarder 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 29

L’étoile et son positionnement a) Les curseurs de positionnement Dans le système écliptique, il y a trois coordonnées : distance, longitude et latitude que l’on doit pouvoir changer pour mettre l’étoile à tout endroit entre la Terre et la sphère céleste. On crée 3 curseurs pour ces trois coordonnées. Deux façons : curseur • la commande « » avec l’icône • la commande à écrire dans la Ligne de saisie avec la syntaxe nom_curseur = Curseur[ <Min>, <Max>, <Incrément>, <Vitesse>, <Longueur>] 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 30

L’étoile et son positionnement Caractéristiques des trois curseurs : Coordonnée Distance Longitude éclipt. Latitude éclipt. Nom dist_E long_E lat_E de 2 0° -90° à 10 360° 90° Incrément 0. 1 1 1 vitesse 1 1 1 Long. 100 100 Dans les propriétés on peut mettre des couleurs, changer leur grandeur, etc. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 31

L’étoile et son positionnement b) Le point étoile En coordonnées polaire en 3 D et en utilisant les valeurs des 3 curseurs : E = (dist_E; long_E°; lat_E°) Couleur [245, 229, 203], Taille 3. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 32

L’étoile et son positionnement c) Le point de visée sur la sphère céleste I La ligne de visée de la Terre à l’étoile perce la sphère céleste en un point : I = Intersection[Demi. Droite[T, E], Ciel] commande qui hélas crée deux points opposés et sur la sphère I_1 I_2 céleste. Renommer le point du côté de E en . I Couleur [175, 238] et taille 1, cacher l’étiquette et le 2ème point. Tracer le segment de à T I s. TI = Segment[T, I] Couleur [192, 192] et taille 1 et Invariable. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 33

L’étoile et son positionnement d) Coordonnées du point d’intersection I I Les coordonnées cartésiennes de sont données par les fonctions de Geogebra : x(I), y(I) et z(I). Mais pour comparer cette position avec celle de l’étoile, il faut utiliser les coordonnées polaires : d_I = R_{ciel} long_I = atan 2(y(I), x(I))*180/pi b_I = atan(z(I)/sqrt(x(I)^2+y(I)^2))*180/pi 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 34

Trace Pour pouvoir visualiser et suivre les variations de la position sur le ciel, on affiche la trace du point . I – soit en cochant la case dans l’onglet Propriétés/Basique – soit dans le menu qui s’ouvre en cliquant avec le bouton droit de la souris sur le nom objet I fenêtre Algèbre de l’ dans la , soir sur fenêtre Graphique l’objet lui-même dans la . 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 35

Trace Pour remettre la fenêtre graphique au propre : - appuyer sur les touches CTRL F ou - dans le menu Affichage cliquer sur 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 36

Observations Faire varier le temps au moyen du curseur tps lentement pour voir T - tourner la Terre , - changer la direction TE - l’affichage de la trace de . I 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 37

Animation Le maniement du curseur à la souris ne donne pas une variation très régulière. On peut soit : - sélectionner le curseur temps avec la souris et utiliser les touches flèches pour avancer ou reculer (voir feuilles Eléments Geogebra) - animer le curseur temps . tps De la même manière que l’on a rendu visible la trace, on active la Animer trace d’un curseur. Vitesse Sauvegarder 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 38

Observation et effet de parallaxe tps Faire tourner la Terre sur son orbite en faisant varier le temps . I Observer l’évolution du point sur la sphère céleste. Ce point représente ce que l’observateur voit sur le fond du ciel. Attention : ceci est une simulation. En réalité, les déplacements sont très petits (moins d’une seconde d’arc) et sont extrêmement difficiles à mesurer. E sur la forme et Regarder l’influence des trois curseurs de position de l’amplitude de la trace. Tableau à remplir : 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 39

Observation et effet de parallaxe Lors de la révolution de la Terre autour du Soleil, on voit les coordonnées I du point varier de façon périodique sur un an. Ce sont les observations de ces déplacements par rapport aux étoiles voisines qui permettent de faire la mesure des parallaxes. La parallaxe est l’angle . SET E La parallaxe annuelle est la valeur maximale de SET T l’angle , lorsque parcours son orbite. S T 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 40

Observation et effet de parallaxe Donner l’angle de la parallaxe dans le graphique de Geogebra : p = Angle[Vecteur[E, T], Vecteur[E, S]] dist_E Pour les valeurs de (5, 6, 7) et pour différentes valeurs de la latitude mesurer le maximum et le minimum de la parallaxe et les dates. Tableau à remplir : 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 41

Parallaxe Quelle est la relation entre la distance et la parallaxe ? ST 1 ua tan p = ––– = –– p rad SE dua Rappel : 1 radian = 206267 " E On prend comme unité de distance le parsec (pc) qui est la distance sous laquelle on voit une unité astronomique sous 1 seconde d’arc. Cette définition fait que 1 pc = 206267 ua. S T Il s’en déduit qu’avec la seconde d’arc et le parsec, la relation devient : 1 p(") = –– dpc 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 42

En… . . . FIN 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 43