Consideriamo la circonferenza di centro lorigine e raggio

Consideriamo la circonferenza di centro l’origine e raggio r, di equazione: che esplicitata rispetto alla y diventa: Limitiamoci alla semicirconferenza superiore, ossia Per calcolare l’area del cerchio basterà moltiplicare per 4 l’area di un solo quadrante

Si tratta perciò di calcolare l’integrale definito: 0 r Il problema consiste nel calcolare prima l’integrale indefinito: Seguiremo due diversi metodi di integrazione

Procediamo dapprima per parti, usando la ben nota formula: applicata all’integrale: con le seguenti posizioni:

si ottiene: Abbiamo aggiunto e sottratto al numeratore il termine Ora spezziamo quest’ultimo integrale in due

Razionalizzando e semplificando Ora riportiamo al primo membro questo integrale Dividendo sopra e sotto per r

L’integrale iniziale viene raddoppiato e si ottiene: 2 Da cui dividendo tutto per 2 abbiamo: (*) è l’integrale indefinito che ora andiamo a calcolare anche con altro metodo

Calcoliamo lo stesso integrale usando il metodo di sostituzione: Facciamo la posizione: da cui si ricava: ? Per saperne di più Cambio pag.

Ora, essendo segue: con (*) La ( *) è l’integrale indefinito che già avevamo calcolato

F(x) Infine, l’integrale definito da calcolare è: = F(r) F(0) Pertanto l’area del cerchio sarà, com’è noto:

Integrale di Come risulta dalle note formule di bisezione