CONJUNTOS NUMRICOS CONJUNTOS NUMRICOS O conceito de nmero

CONJUNTOS NUMÉRICOS

CONJUNTOS NUMÉRICOS O conceito de número foi evoluindo ao longo dos tempos, tendo-se criado novos números para responder a problemas entretanto surgidos.

CONJUNTOS NUMÉRICOS NATURAIS INTEIROS RACIONAIS REAIS

CONJUNTOS NUMÉRICOS NÚMEROS NATURAIS 7 Estes números foram criados 6 pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de 5 números naturais. 1 2 3 4

CONJUNTOS NUMÉRICOS NÚMEROS NATURAIS A representação matemática deste conjunto é: IN = {1, 2, 3, 4, 5, . . . }

NÚMEROS INTEIROS • Os números naturais não permitiam a resolução de todas as operações. A subtracção de 3 - 4 era impossível. • A ideia do número negativo, aparece na Índia, associada a problemas comerciais que envolviam dívidas. • A ideia do número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada.

NÚMEROS INTEIROS A representação matemática deste conjunto é: Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . }

NÚMEROS RACIONAIS Entretanto. . . surgiu outro tipo de problema: “ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? “ Para resolver este tipo de problemas foram criados os números fracionários. Estes números juntamente com os números inteiros formam os racionais.

NÚMEROS REAIS Os pitagóricos ao determinar a medida do comprimento da diagonal de um quadrado de lado unitário, não conseguiram encontrar um número racional para essa medida, surgindo dessa forma os números reais.

Quando andas de elevador utilizas os números para subir e descer indicando o andar a que pretendes chegar, ou seja, estás a usar alguns elementos do conjunto dos números inteiros Apartamento 4 Escritórios 3 Cabeleireiro 2 Restaurante 1 Boutique 0 Ginásio ? Garagem ? Lavagem Automática ?

A senhora que vai ao cabeleireiro carrega no botão. . . Apartamento 4 Escritórios 3 Cabeleireiro ? 2 Restaurante 1 Boutique 0 Ginásio ? Garagem ? Lavagem Automática ?

Qual te parece ser o andar do ginásio? Apartamento 4 Escritórios 3 Cabeleireiro 2 Restaurante 1 Boutique 0 Ginásio -1 ? Garagem ? Lavagem Automática ?

E o andar da garagem? 13 Apartamento 4 Escritórios 3 Cabeleireiro 2 Restaurante 1 Boutique 0 Ginásio -1 Garagem -2 ? Lavagem Automática ? 30 October 2020

E o andar das lavagens automáticas? Apartamento 4 Escritórios 3 Cabeleireiro 2 Restaurante 1 Boutique 0 Ginásio -1 Garagem -2 Lavagem Automática -3 ?

REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA • Os números relativos – positivos, negativos ou o zero – podem ser representados numa recta por meio de pontos. • Consideremos uma recta r e marquemos sobre ela um ponto O, a que chamamos origem. • Escolhemos uma unidade de medida e um sentido positivo (por exemplo da esquerda para a direita). Desta maneira obtemos um eixo ou reta numérica. O - 1 r +

REPRESENTAÇÃO NA RETA Se quisermos marcar o ponto A correspondente ao número +5, contamos 5 unidades para a direita de O. - O +1 +5 + A Se quisermos marcar o ponto B correspondente ao número -3, contamos 3 unidades para a esquerda de O. - -3 B O +1 +

REPRESENTAÇÃO NA RETA O número que corresponde a um ponto do eixo chamamos abcissa desse ponto. - -3 O +1 +5 A B A abcissa de B é -3 A abcissa de A é +5 A origem tem abcissa zero. +

ORDENAÇÃO • Quando dispostos sobre um eixo, os números relativos encontram-se ordenados. • Se o eixo é horizontal e orientado da esquerda para a direita, um número é tanto maior quanto mais para a direita se encontrar. -3 -2 -1 0 1 2 Cada vez maior 3 4 5

ORDENAÇÃO Vemos, por exemplo, que +5 é maior que +2 e para indicar este facto escrevemos: +5>+2 Também se pode dizer que + 2 é menor que + 5 e escrever: +2<+5 Isto é, se -3 -2 então a>b -1 0 1 b<a 2 • 3 4 5 •

ORDENAÇÃO Da observação da posição relativa de dois números num eixo resultam algumas regras para comparar dois números diferentes: • Qualquer número positivo é maior do que zero. + 0, 012 > 0 • Zero é maior que qualquer número negativo. 0 > - 35 • Qualquer número positivo é maior do que qualquer negativo. +1 > - 35 + 0, 5 > ; - 100

VALOR ABSOLUTO (OU MÓDULO) Consideremos agora os pontos A e B, sendo que A tem abcissa + 3 e B tem abcissa – 2. -3 -2 -1 0 1 2 B 3 4 5 A 2 3 A distância do ponto A à origem é 3. A distância do ponto B à origem é 2. A essa distância chamamos valor absoluto ou módulo.

VALOR ABSOLUTO (OU MÓDULO) Assim dizemos que o valor absoluto (ou módulo) de +3 é igual a 3 e escrevemos: +3 = 3 Portanto, temos ainda que -2 = 2 Valor absoluto (ou módulo) de um número é a distância à origem do ponto que representa esse número. Naturalmente, temos que o valor absoluto de zero é igual a zero: 0 =0

NÚMEROS SIMÉTRICOS Relativamente à origem da reta, é sempre possível encontrar dois pontos que se encontram à mesma distância. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Por exemplo, os pontos de abcissas – 4 e 4 têm a mesma distância à origem, ou seja, - 4 = 4 Dizemos então que – 4 e 4 são números simétricos.

NÚMEROS SIMÉTRICOS • Dois números dizem-se simétricos se tiverem sinais contrários e o mesmo valor absoluto. Exemplos de números simétricos: - 0, 3 e 0, 3 porque 1 e - 1 porque - 0, 3 = 0, 3 1 = -1 Nota que o simétrico do número zero é o próprio número zero: 0 = 0

NÚMEROS SIMÉTRICOS • Observação 1. De dois números positivos o maior é o que tem maior valor absoluto (está mais longe da origem). Exemplos: + 0, 5 > + 0, 1 + 100 > + 40 2. De dois números negativos o maior é o que tem menor valor absoluto (está mais perto da origem). Exemplos: - 3 > - 50 - 0, 01 > - 10

Números Simétricos Simplificação da escrita Na reta também se escreve 1, 2, 3, . . . , em vez de +1, +2, +3, . . . -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 Também: + (+ 8) = + 8 + (- 8) = - 8 Não é obrigatório escrever o sinal + 4

NÚMEROS SIMÉTRICOS Na reta numérica o maior dos números encontra-se à direita do menor. -4 -3 -2 -1 0 -2 é maior que - 4 2 é maior que - 1 2> - 1 1 2 3 - 2> - 4 ou - 1 é menor que 2 - 1<2 > maior 4 < menor