Conjuntos Disjuntos Monitoria Algoritmos 2012 2 Conjuntos Disjuntos

Conjuntos Disjuntos Monitoria Algoritmos 2012. 2

Conjuntos Disjuntos Breve resumo Uma coleção de elementos, e cada elemento pertence a um conjunto. Unir elementos é o mesmo que unir os conjuntos os quais eles pertencem. Cada conjunto tem o seu representante. x y 1 4 2 3 x. Uy 5 6 1 4 2 3 5 6

Conjuntos Disjuntos x y 1 4 2 3 x. Uy 5 6 1 4 2 3 5 6 Vamos supor que o representante do conjunto x é 1, e o representante do conjunto y é 4. Rep(x) é o representante do conjunto em que x está contido. Rep(1) = Rep(2) = Rep(3) = 1 Rep(4) = Rep(5) = Rep(6) = 4

Conjuntos Disjuntos x y 1 4 2 3 x. Uy 5 6 1 4 2 3 5 6 unir(1, 2) = unir(1, 3) = unir(2, 3) = x unir(4, 5) = unir(4, 6) = unir(5, 6) = y unir(1, 4) = unir(1, 5) = unir(1, 6) = unir(2, 4) =. . . = unir(3, 6) = x U y

Conjuntos Disjuntos Início: 6 conjuntos disjuntos 1 2 3 4 5 6 Como representar isso em código? public void init (int N) { for (int i = 1; i <= N; i++) { rep[i] = i; } } //rep[i] indica o representante do elemento i OBS. : a aresta significa quem é o representante do elemento.

Conjuntos Disjuntos Vamos utilizar o seguinte algoritmo para união: unir(2, 1) public void unir (int i, int j) { rep[i] = j; 1 3 4 5 } 6 2 unir(3, 2) 1 4 5 6 2 3 Mas peraí, isso é eficiente?

Conjuntos Disjuntos Não! Imagine o caso: unir(2, 1), unir(3, 2), unir(4, 3), unir(5, 4), etc. Teríamos uma lista encadeada: 1 2 3 Se eu quiser saber o conjunto em que o 6 está contido, eu teria que percorrer os 5 elementos acima dele. Esta estratégia é custosa (O(n) por consulta). 4 5 6. . . Precisamos pensar numa estratégia que amortize este custo!

Conjuntos Disjuntos E a estratégia nova que iremos adotar é simples! Ao invés de unirmos um elemento diretamente a outro, vamos unir o representante do conjunto de um com o representante do conjunto do outro. Para isso, criaremos uma função recursiva acha. Conjunto que faz o representante do elemento atual ser igual ao representante do seu atual representante. Isto é: public int acha. Conjunto (int i) { if (rep[i] = i) { return i; } else { rep[i] = acha. Conjunto(rep[i]); return rep[i]; } }

Conjuntos Disjuntos Nossa nova função de unir conjuntos agora será: public void unir (int i, int j) { rep[Acha. Conjunto(i)] = Acha. Conjunto(j); } Voltando à simulação em que estávamos antes: 1 3 4 5 6 2 unir(2, 3) 1 2 3 4 5 6

Conjuntos Disjuntos unir(2, 3) 3 4 5 6 1 2 acha. Conjunto(2) = 3 3 4 1 2

Conjuntos Disjuntos unir(1, 5) 4 5 6 3 1 2 unir(4, 2) 5 2 6 3 1 4

Conjuntos Disjuntos public void init (int N) { for (int i = 1; i <= N; i++) { rep[i] = i; } } public int acha. Conjunto (int i) { if (rep[i] = i) { return i; } else { rep[i] = acha. Conjunto(rep[i]); return rep[i]; } } public void unir (int i, int j) { rep[acha. Conjunto(i)] = acha. Conjunto(j); }

Conjuntos Disjuntos DESAFIO! Há N discos no chão. Cada disco é definido por sua posição (x, y) e seu raio r. Os discos são cobertos de cola, portanto dois discos estão colados se eles se intersectam em pelo menos 2 pontos. Se você levantar um disco do chão, você levantará todos os discos colados a ele, e assim por diante. Dados os N discos, você deverá informar a maior quantidade de discos que se pode levantar de uma vez só segurando um único disco. A entrada é composta por vários casos de teste, e cada caso de teste começa com um inteiro N, e N linhas se seguem, cada uma definindo x, y, r, onde (x, y) é a posição do centro do disco, e r é o raio do mesmo. A entrada deverá ser lida até o N encontrado ser -1. A saída para cada caso de teste é uma linha contendo um único número com a resposta. EXEMPLO INPUT 3 3. 0 2. 0 0. 0 -0. 5 1. 0 0. 0 2. 0 EXEMPLO OUTPUT 2