Conjunto de variables aleatorias Combinacin lineal de las

Conjunto de variables aleatorias Combinación lineal de las variables aleatorias ¿ Cuál es la distribución de Y ? 1

Conjunto de variables aleatorias independientes Combinación lineal de las variables aleatorias independientes ¿Cuál es la distribución de Y ? Normales Propiedad reproductiva ¿Y si no son normales? Normal 2

Conjunto de variables aleatorias independientes Combinación Suma de las lineal variables de las aleatorias variables aleatorias independientes 1 1 Conjunto de variables aleatorias independientes indénticamente distribuidas MUESTRA ALEATORIA 3

Conjunto de variables aleatorias independientes Combinación Media de lineal las variables de las variables aleatorias independientes 1 n 1 n Conjunto de variables aleatorias independientes indénticamente distribuidas MUESTRA ALEATORIA 4

¿Cómo es la distribución de T? ¿De X? En general no se puede decir nada, hay que ver cada caso y cada distribución. Pero… Desigualdad de Tchebychev Cualquiera sea la distribución de X Permite estimar cotas para algunas probabilidades c = k Un cañón efectúa disparos, siendo la probabilidad de dar en el blanco igual a 0. 8 (se supone constante y los disparos independientes). Se efectúan 100 disparos. Estimar con la desigualdad de Tchebychev la probabilidad de que el número de blancos X satisfaga 70 X 90. Excel =DISTR. BINOM(90; 100; 0, 8; VERDADERO)-DISTR. BINOM(69; 100; 0, 8; VERDADERO) 5

Desigualdad de Tchebychev Muestra aleatoria Conjunto v. a. i. i. d. 6

Pero si se desea trabajar con la distribución de las variables aleatorias promedio y suma definidas a partir de una muestra aleatoria… Veamos ejemplos… 7

Un vendedor ofrece de un mismo producto, tres calidades diferentes. De todos los clientes que compran un sólo artículo, el 20% compra el de más alta calidad cuyo costo es de $250, el 30% compra de calidad media cuyo costo es de $200, y el 50% restante compra el de más baja calidad cuyo costo es de $160. Sea X el pago efectuado por un cliente seleccionado al azar que se llevan un sólo artículo (en $). Distribución de probabilidad puntual de X x p(x) 250 0. 20 200 0. 30 160 0. 50 Valor esperado Varianza E(X)=190 V(X)=1200 . Dispersión 8

Si llegan 2 clientes {X 1, X 2} Muestra aleatoria de tamaño n = 2 Supuesto que las compras de uno no inciden en la decisión de las compras del otro Promedio de los pagos efectuados ¿Qué distribución tiene? Distribución de probabilidad puntual de X x 1 x 2 p(x 1, x 2) 250 0. 20 250 0. 04 250 200 0. 20 0. 30 225 0. 12 250 160 0. 20 0. 50 205 0. 20 200 250 0. 30 0. 20 200 0. 09 200 0. 30 180 0. 30 200 160 0. 30 0. 50 160 0. 25 160 250 0. 20 160 200 0. 50 0. 30 160 0. 50 9

Como muchas veces, conocer el promedio no es suficiente… … otra variable de interés es la varianza muestral (que conduce a la dispersión muestral)… R OS M E A TR D Para n = 2 x 1 x 2 p(x 1, x 2) 250 0. 20 250 200 0. 20 0. 30 250 160 0. 20 0. 50 200 250 0. 30 0. 20 200 0. 30 200 160 0. 30 0. 50 160 250 0. 20 160 200 0. 50 0. 30 s 2 160 0. 50 0 0. 38 800 0. 30 1250 0. 12 4050 0. 20 p(s 2) 10

Si llegan 3 clientes {X 1, X 2, X 3} Muestra aleatoria de tamaño n = 3 Supuesto que las compras de uno no inciden en la decisión de las compras del otro x 1 x 2 p(x 1, x 2, x 3) 250 250 0. 20 250 200 0. 20 0. 30 250 160 0. 20 0. 50 200 250 0. 20 0. 30 0. 20 250 200 0. 20 0. 30 250 200 160 0. 20 0. 30 0. 50 250 160 250 0. 20 0. 50 0. 20 250 160 200 0. 20 0. 50 0. 30 250 160 0. 20 0. 50 200 250 0. 30 0. 20 200 250 200 0. 30 0. 20 0. 30 200 250 160 0. 30 0. 20 0. 50 200 250 0. 30 0. 20 200 200 0. 30 200 160 0. 30 0. 50 200 160 250 0. 30 0. 50 0. 20 200 160 200 0. 30 0. 50 0. 30 200 160 0. 30 0. 50 160 250 0. 20 160 250 200 0. 50 0. 20 0. 30 160 250 160 0. 50 0. 20 0. 50 160 200 250 0. 30 0. 20 160 200 0. 50 0. 30 160 200 160 0. 50 0. 30 0. 50 160 250 0. 20 160 200 0. 50 0. 30 160 160 0. 50 11

¿Para más clientes? ¡¡¡Mucha paciencia!!! 12

Existe una alternativa de tratamiento del problema… SIMULACIONES Trabajo de computación Y, bajo ciertas condiciones, hay una alternativa analítica… TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE 13

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE (TCL) Sea X 1, X 2, … , Xn una muestra aleatoria de una distribución con media µ y varianza 2. Si n es lo suficientemente grande, ? tiene distribución aproximadamente normal con media y también Tiene distribución aproximadamente normal con media y varianza , . Conjunto de variables aleatorias independientes indénticamente distribuidas n grande 14

Treinta y seis instrumentos electrónicos se usan de la siguiente manera: tan pronto falla el primero empieza a actuar el segundo, cuando éste falla empieza a actuar el tercero y así sucesivamente. Si la variable aleatoria asociada a la duración de cada instrumento, Xi, tiene una distribución exponencial de parámetro 0. 1 h-1, cada instrumento tiene un tiempo de operación independiente de los demás, y T es el tiempo total de operación de los 36 instrumentos, ¿cuál es la probabilidad de que T exceda las 370 hs? Justificar el planteo del cálculo. Xi: v. a. que indica el tiempo de operación de la componente i-ésima (en horas), i=1, 2, …, 36 n > 30 TCL 15

Proceso de embotellado y control de volumen de llenado. Una máquina automática de llenado de latas de gaseosa de un volumen medio de 300 ml tiene una dispersión en las cantidades de llenado de 12 ml. ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen promedio de 36 unidades difiera del nominal en, a lo sumo, 6 ml? Xi: v. a. que indica el volumen de la i-ésima lata de gaseosa (en ml), i=1, 2, …, 36 Si la pregunta fuera P(|X – 300| 6) no se puede contestar (no se conoce la distribución de X) (A menos de dar una respuesta con la desigualdad de Tchebychev) Pero la pregunta es P(|X – 300| 6) n > 30 TCL 16

Tiempo de procesado de partes y cantidad de unidades Una máquina procesa partes, una a la vez. El tiempo de procesado de las diferentes partes son variables aleatorias independientes uniformemente distribuidas en el intervalo entre 1 y 5. Calcular la probabilidad de que el número de partes procesadas en un intervalo de 320 unidades de tiempo sea al menos 100. N 320: número de partes procesadas en un intervalo de 320 u. de t. ; P(N 320 100) Pero, ¿qué tipo de distribución tiene la variable aleatoria N 320? ¿Podrá usarse el T. C. L. ? No se conoce. Sí, siempre que N 320 se pueda expresar como la suma de v. a. independientes ? Xi: tiempo de procesamiento de la parte i-ésima (en u. de t. ), i=1, 2, …, 100 : tiempo de procesamiento total de las primeras 100 partes {N 320 100} {T 100 320} Eventos equivalentes P{N 320 100} = P {T 100 320} 17