Coniche curve irrazionali e risoluzione delle equazioni La

Coniche, curve irrazionali e risoluzione delle equazioni La rappresentazione grafica di particolari curve Lo studio delle coniche ci permette di costruire in modo semplice il grafico di alcune funzioni irrazionali. La procedura da applicare è la seguente: 1. individuazione del dominio della funzione 2. condizione di concordanza di segno tra il primo e il secondo membro 3. elevamento a potenza e individuazione del tipo curva associata all’equazione ottenuta 4. costruzione del grafico nel dominio individuato 1

Coniche, curve irrazionali e risoluzione delle equazioni La rappresentazione grafica di particolari curve 1° ESEMPIO: Arco di parabola Tracciamo il grafico della curva di equazione 1. 2. La zona che contiene il grafico è individuata dal sistema 3. Eleviamo a quadrato i due membri dell’equazione: Otteniamo l’equazione di una parabola con asse parallelo all’asse x con vertice in v (-2, 0) e concavità verso destra. 4. Possiamo ora costruire il grafico dell’arco di parabola appartenente alla regione di piano che non abbiamo eliminato. 2

Coniche, curve irrazionali e risoluzione delle equazioni La rappresentazione grafica di particolari curve 2° ESEMPIO: Arco di circonferenza Tracciamo il grafico della funzione 1. 2. La zona che contiene il grafico è individuata dal sistema 3. Eleviamo a quadrato i due membri dell’equazione: Otteniamo l’equazione di una circonferenza con centro nell’origine degli assi e raggio 3. 4. Possiamo ora costruire il grafico dell’arco di circonferenza appartenente alla regione di piano che non abbiamo eliminato. 3

Coniche, curve irrazionali e risoluzione delle equazioni La rappresentazione grafica di particolari curve 3° ESEMPIO: Arco di ellisse Tracciamo il grafico della funzione 1. 2. La zona che contiene il grafico è individuata dal sistema 3. Elevando al quadrato otteniamo che rappresenta un’ellisse con i fuochi sull’asse delle x e di semiassi 4 e 1. 4. Costruiamo il grafico dell’arco di ellisse appartenente alla regione di piano che non abbiamo eliminato. 4

Coniche, curve irrazionali e risoluzione delle equazioni La rappresentazione grafica di particolari curve 4° ESEMPIO: Arco di iperbole Tracciamo il grafico della funzione 1. 2. La zona che contiene il grafico è il semipiano positivo delle ordinate 3. Elevando al quadrato otteniamo: 4. equivale a ovvero l’equazione dell’iperbole avente i fuochi sull’asse y, semiasse reale uguale a 1 e semiasse immaginario uguale a 3. Possiamo quindi rappresentarla nel piano cartesiano. 5

Coniche, curve irrazionali e risoluzione delle equazioni La rappresentazione grafica di particolari curve y 8 5° ESEMPIO: Arco di circonferenza traslata 6 Tracciamo il grafico della funzione 4 2 x 1. -4 4 -2 2. La zona che contiene il grafico è rappresentata dal sistema 3. Eleviamo a quadrato i due membri dell’equazione e otteniamo ovvero l’equazione di una circonferenza con centro in C (0, 2) e raggio uguale a 4. 4. Possiamo quindi rappresentarla nel piano cartesiano. 6

Coniche, curve irrazionali e risoluzione delle equazioni Le curve con i moduli Le curve di secondo grado che contengono dei moduli si possono rappresentare facilmente utilizzando le conoscenze sulle coniche e tenendo presente le seguenti considerazioni sui moduli: § Il grafico G della funzione si può costruire a partire da quello G’ di mediante una simmetria rispetto all’asse delle ascisse delle sole parti negative. Quindi, quando è positiva o nulla G coincide con G’, quando è negativa G coincide con −G ESEMPI y=x y = |x| 7

Coniche, curve irrazionali e risoluzione delle equazioni § Il grafico della funzione Le curve con i moduli si ottiene effettuando sul grafico di una traslazione di vettore ESEMPI y = |x| − 2 8

Coniche, curve irrazionali e risoluzione delle equazioni § Per costruire Il grafico della funzione Le curve con i moduli si deve: • analizzare il segno di • riscrivere l’equazione della funzione distinguendo i vari casi; • costruire il grafico delle funzioni ottenute nei vari intervalli. ; 9

Coniche, curve irrazionali e risoluzione delle equazioni Le curve con i moduli ESEMPIO Consideriamo al funzione • Analizziamo il segno di x : il segno dell’espressione è positivo per x > 0, negativo per x < 0. • Riscriviamo l’equazione della funzione distinguendo i due casi: • Rappresentiamo le due parabole nei rispettivi intervalli. 10