CONGRUENCE MODULO cours 6 Le concept de modulo

CONGRUENCE MODULO cours 6

Le concept de modulo en est un que vous connaissez. 24 13 23 12 1 11 22 14 10 2 21 9 20 3 15 8 4 16 19 7 6 18 5 17

Définition: On dit que est congru à qu’on note Si Exemple: est un multiple de modulo

Faites les exercices suivants #1. 29

Division avec reste

Remarque: Dire que la division de par est avec un reste de est équivalent à écrire Remarque: Le reste d’une division par est toujours plus petit que

Faites les exercices suivants #1. 30 et 1. 31

Théorème: Si deux nombres ont le même reste par division par alors ils sont congru modulo Preuve: Donc

On peut donc ne travailler qu’avec les nombres plus petit que Exemple: Si on travaille modulo 5 les restes possibles sont On nomme ces nombres les résidus modulo 5

Exemple: Le résidu de 49 modulo 3 est

Faites les exercices suivants #1. 32

Théorème: Si alors Preuve: et et

Exemple:

Faites les exercices suivants #1. 33

Malheureusement la division ne se comporte pas toujours bien Exemple: Travaillons modulo 6 n’a pas de solution Habituellement si alors

s dans les détails, mais si on travail modulo un nombre premier, to Exemple: Ici la table de multiplication fonctionne bien.

Ce qui suit est un petit prélude pour l’explication de la cryptographie RSA Je sort légèrement du cadre du cours donc ce qui suit n’est pas matière à examen.

Théorème: Le petit théorème de Fermat Si est un nombre premier et alors un entier non divisible par Je vais démontrer ça Mais c’est surtout sous cette forme que le théorème est utilisé

Exemple:

Pour faire la preuve, on va compter le nombre de chaîne qu’on peut créé si la chaîne a et qu’on dispose de billes couleurs

Ici nombre de billes par chaine nombre de couleur On a choix pour la première bille

Pour chacun de ces 3 choix on a 3 choix de couleurs pour la deuxième bille On a donc possibilités de chaîne à deux bille

Pour chacun de ces choix on a 3 choix de couleurs pour la troisième bille On a donc possibilités de chaînes

Ici nombre de billes par chaine nombre de couleur

nombre de chaîne d’une seule couleur est le nombre de couleur.

compte le nombre de chaîne de longueur ayant au moins deux couleurs qu’on peut créé avec des billes de différentes couleurs.

Est-ce un multiple de c’est-à-dire ?

ombre de rotation qui ramène le bracelet à la position initial doit n Posons le nombre minimal de rotation qui ramène à la position initial aturellement si on fait un tour complet on revient à la position initi ramène aussi à la position initial Or, Donc mais puisque est premier