Confrences de mthodes Sbastien Rouillon 2009 1 Systmes

Conférences de méthodes Sébastien Rouillon 2009

1. Systèmes linéaires Cette conf. a pour but de vous apprendre à résoudre des systèmes d’équations linéaires de la forme : a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n xn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 n xn = b 2 … an 1 x 1 + an 2 x 2 + … + ann xn = bn (1) (2) (n)

1. Systèmes linéaires Remarques : • On se contentera de donner la méthode de résolution dans le cas simple où la solution du système existe et est unique ; • Autrement dit, le système comporte autant d’équations que d’inconnues et les équations sont linéairement indépendantes.

1. Systèmes linéaires Terminologie : • Les "xi" sont des nombres à déterminer, appelés les inconnues. • Les "aij" et les "bi" sont des nombres donnés, appelés les paramètres.

1. Systèmes linéaires La méthode consiste à utiliser quelques règles simples, de façon systématique, pour transformer le système initial sous une forme triangulaire supérieure : a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n xn = b 1 a 22 x 2 + … + a 2 n xn = b 2 … ann xn = bn (1) (2) (n)

1. Systèmes linéaires Remarque : • Si le système de départ a une solution unique, il est toujours possible, en utilisant de façon systématique les règles proposées, de parvenir à cette forme triangulaire supérieure.

1. Systèmes linéaires Une fois qu’on parvient à cette forme triangulaire supérieure, on trouve la solution en remontant le système comme suit : (n) La n-ième ligne permet de trouver xn ; (n-1) En remplaçant xn par la valeur obtenue dans la (n-1)-ième ligne, on trouve xn-1 ; (…) Et ainsi de suite jusqu’à la 1 -ière ligne…

1. Systèmes linéaires Les règles suivantes permettent d’obtenir le système triangulaire : Règle 1. On ne change pas la solution d’un système linéaire en modifiant l’ordre des lignes. Règle 2. On ne change pas la solution d’un système linéaire en modifiant l’ordre des inconnues.

1. Systèmes linéaires Règle 3. On ne change pas la solution d’un système linéaire en multipliant les membres de gauche et de droite d’une ligne par un nombre non nul quelconque. Règle 4. On ne change pas la solution d’un système linéaire en ajoutant ou en soustrayant deux lignes.

1. Systèmes linéaires Les règles 1 et 2 permettent de permuter l’ordre des lignes et des inconnues du système comme cela nous arrange (en particulier, pour faciliter les calculs à venir). Les règles 3 et 4 permettent d’écrire, en n-1 étapes, le système sous forme triangulaire supérieure.

1. Systèmes linéaires 1 -ière étape (où l’on utilise la 1 -ière inconnue et la 1 -ière ligne) : • On multiplie chaque ligne (2) à (n) par un nombre choisi de manière à ce que la 1 -ière inconnue soit affectée du même coefficient que dans la 1 -ière ligne ; • On remplace ensuite chaque ligne (2) à (n) par sa différence avec la 1 -ière ligne. Au final, la 1 -ière inconnue n’apparaît plus dans les lignes (2) à (n).

1. Systèmes linéaires 2 -ième étape (où l’on utilise la 2 -ième inconnue et la 2 -ième ligne) : • On multiplie chaque ligne (3) à (n) par un nombre choisi de manière à ce que la 2 ième inconnue soit affectée du même coefficient que dans la 2 -ième ligne ; • On remplace ensuite chaque ligne (3) à (n) par sa différence avec la 2 -ième ligne. Au final, la 2 -ième inconnue n’apparaît plus dans les lignes (3) à (n).

1. Systèmes linéaires Et ainsi de suite… Au terme des n– 1 étapes, où l’on a utilisé à tour de rôle les lignes (1), (2), …, (n-1), le système obtenu a une forme triangulaire supérieure.

2. Optimisation Cette conf. a pour but de vous apprendre à résoudre des problèmes d’optimisation de la forme : Choisir x pour maximiser f(x) sous g(x) = 0.

2. Optimisation Terminologie : • La variable x est appelée variable de décision ; • La fonction f(x) est appelée fonction objectif ; • La fonction g(x) est appelée contrainte.

2. 1 Dérivation Soit f(x) une fonction quelconque. On suppose que cette fonction est dérivable et on note f’(x) sa dérivée. Par définition : f’(x) = lime -> 0 f(x + e) – f(x) --------e

2. 1 Dérivation Formulaire (dérivées utiles en économie de l’environnement) : f(x) -> f’(x) a -> 0 x -> 1 x² -> 2 x 1/x -> -1/x 2 ln(x) -> 1/x ex -> ex

2. 1 Dérivation Soient : f(x), g(x) = deux f° dérivables ; a = un nombre. Les f° suivantes sont dérivables : a f(x), f(x) + g(x), f(x)/g(x). Pour les dériver, on utilise 4 règles.

2. 1 Dérivation Règle 1. La dérivée du produit d’une fonction par un nombre est le produit de sa dérivée par le même nombre : a f(x) -> a f’(x) Règle 2. La dérivée d’une somme de deux fonctions est la somme des dérivées deux fonctions : f(x) + g(x) -> f’(x) + g’(x)

2. 1 Dérivation Règle 3. La dérivée du produit de deux fonctions est donnée par : f(x) g(x) -> f’(x) g(x) + f(x) g’(x) Règle 4. La dérivée du quotient de deux fonction est donnée par : f(x)/g(x) -> [f’(x) g(x) - f(x) g’(x)]/[g(x)]2

2. 2 Optimisation libre Commençons par étudier le cas simple où il n’y a pas de contrainte sur la variable de décisions. Le problème devient alors simplement : Choisir x pour maximiser f(x).

2. 1 Optimisation libre On sait que le signe de la dérivée f’(x) donne le sens de variation de la fonction en x. f’(x) > 0 -> f est croissante en x ; f’(x) = 0 -> f est constante en x ; f’(x) < 0 -> f est décroissante en x.

2. 2 Optimisation libre y f’(x°) = 0 f(x) x° x Si f est maximum en x°, sa courbe représentant est horizontale en ce point. Alors, sa dérivée, qui mesure la croissance de f en x, est nulle.

2. 2 Optimisation libre Proposition : Si la fonction f(x) atteint un maximum en x°, alors f’(x°) = 0. Preuve : Si f’(x°) > 0, f est croissante en x°. Donc, si e > 0, f(x° + e) > f(x°) ! Si f’(x°) < 0, f est décroissante en x°. Donc, si e < 0, f(x° - e) > f(x°) !

2. 2 Optimisation libre Remarques : La condition donnée est (s)uffisante, pas (n)écessaire : (s) Si f(x) est maximum en x°, alors f’(x°) = 0. (n) Si f’(x°) = 0, f(x) peut ne pas être maximum en x° (Cf. Fig. préc. ).

2. 3 Optimisation sous contrainte Revenons maintenant aux problèmes d’optimisation de la forme : Choisir x pour maximiser f(x) sous g(x) = 0.

2. 3 Optimisation sous contrainte La différence est qu’on ne peut plus choisir x librement, mais que l’on doit choisir x dans l’ensemble des valeurs telles que g(x) = 0. Selon les cas, cela peut changer ou non le résultat du problème.

2. 3 Optimisation sous contrainte y f’(x°) = 0 g(x) . . x° g(x) = 0 f(x) x Un exemple où la contrainte g(x) = 0 ne change pas la solution du problème. La solution du problème vérifiera alors f’(x°) = 0.

2. 3 Optimisation sous contrainte y f’(x°) <> 0 g(x) . . x° g(x) = 0 f(x) x Un exemple où la contrainte g(x) = 0 change la solution du problème. La solution du problème vérifiera alors f’(x°) <> 0. (Ici, f’(x°) < 0).

2. 3 Optimisation sous contrainte Pour trouver la solution d’un problème d’optimisation sous contrainte, on construit la fonction : L(x) = f(x) – a g(x), en soustrayant à la fonction objectif f(x), la fonction contrainte g(x), multipliée par un coefficient a.

2. 3 Optimisation sous contrainte Terminologie : • La fonction L est appelée lagrangien; • Le paramètre a est appelée multiplicateur (de Lagrange). Remarque : Le paramètre a est une inconnue.

2. 3 Optimisation sous contrainte On a le théorème suivant. Théorème : Une solution x° du problème d’optimisation vérifie les conditions : L’(x°) = f’(x°) – a g’(x°) = 0, g(x°) = 0.

3. Théorie de Jeux Cette conf. a pour but de vous présenter quelques notions de base en théorie des jeux. Pour faciliter la compréhension, on prendra des exemples classiques.

3. 1 Jeux sous forme stratégique Définition : On définit un jeu sous forme stratégique, en donnant un ensemble de joueurs N = {1, …, n}, un ensemble de stratégies si Є Si, pour chaque joueur i, et une fonction d’utilité ui(s 1, …, sn), définie pour tout profil de stratégies (s 1, …, sn), pour chaque joueur i.

3. 1 Exemples : Le dilemme du prisonnier On pose : N = {1, 2} = les deux voleurs présumés ; si Є Si = {(D)énoncer, (T)aire} ; (s 1, s 2) u 1(s 1, s 2) u 2(s 1, s 2) (D, D) (T, D) (D, T) (T, T) -2 -3 1 0 -2 1 -3 0

3. 1 Exemples : Le duopole de Cournot On pose : N = {1, 2} = les deux firmes ; si ≥ 0 = la quantité offerte ; ui(s 1, s 2) = P(s 1 + s 2) si – Ci(si), où : P(q) = la fonction de demande inverse ; Ci(qi) = le coût de production de i.

3. 2 Concepts de solution d’un jeu Définition : Un profil stratégique (s 1*, …, sn*) est une solution d’un jeu si on a de bonnes raisons de penser que des joueurs rationnels, guidés par leur intérêt personnel, le choisiraient.

3. 2. 1 Stratégie dominante Définition : On dit qu’une stratégie si* d’un joueur est une stratégie dominante si, quel que soit le profil des stratégies (s 1, …, si-1, si+1, … sn) des autres joueurs, le gain du joueur est maximum lorsqu’il joue cette stratégie.

3. 2. 1 Stratégie dominante Définition : On dit qu’un jeu possède un équilibre en stratégies dominantes s’il admet un profil stratégique (s 1*, …, sn*), composée uniquement de stratégies dominantes des joueurs.

3. 2. 1 Stratégie dominante Ex. 1. Dilemme du prisonnier. N = {1, 2}. Si = {(D)énoncer, (T)aire}. (s 1*, s 2*) = (D, D) est un éq. en strat. dom. Joueur 2 (D) (T) (D) (-2, -2) (1, -3) Joueur 1 (T) (-3, 1) (0, 0)

3. 2. 1 Stratégie dominante Il y a de fortes présomptions pour croire que, si un joueur a une stratégie dominante, il la jouera. Donc, si un jeu admet un équilibre en stratégies dominantes, on le considérera comme une solution du jeu. Mais, rares sont les jeux qui admettent des équilibres en stratégies dominantes.

3. 2. 1 Stratégie dominante Ex. 2. Guerre des prix. N = {1, 2}. Si = {p ; P}. Joueur 2 (p) (P) (p) (1, 1) (3, 0) Joueur 1 (P) (0, 3) (2, 2)

3. 2. 1 Stratégie dominante Ex. 3. Guerre des sexes. N = {♂, ♀}. Si = {(F)oot ; (S)olde}. (F) Joueur ♀ (F) (S) (2, 1) (0, 0) (S) (0, 0) Joueur ♂ (1, 2)

3. 2. 2 Eq. de Nash Définition : On dit qu’une stratégie si* d’un joueur i est une meilleure réponse de ce joueur au profil stratégique (s 1, …, si-1, si+1, … sn) des autres joueurs, si elle maximise le gain du joueur i, lorsque les autres jouent les stratégies en question.

3. 2. 2 Eq. De Nash Définition : On dit qu’un jeu possède un équilibre de Nash s’il admet un profil stratégique (s 1*, …, sn*), tel que chaque stratégie individuelle de ce profil est une meilleure réponse aux stratégies des autres joueurs.

3. 2. 1 Stratégie dominante Ex. 1. Guerre des prix. N = {1, 2}. Si = {p ; P}. (s 1*, s 2*) = (p, p) est un équilibre de Nash. (p) Joueur ♀ (p) (P) (1, 1) (3, 0) (P) (0, 3) Joueur ♂ (2, 2)

3. 2. 2 Eq. de Nash Ex. 2. Guerre des sexes. N = {♂, ♀}. Si = {(F)oot ; (S)olde}. (s 1*, s 2*) = (F, F) et (S, S) sont 2 éq de Nash. (F) Joueur ♀ (F) (S) (2, 1) (0, 0) (S) (0, 0) Joueur ♂ (1, 2)

3. 2. 2 Eq. de Nash Ex. 3. Duopole de Cournot. La demande sur le marché est : P(q) = 2 – q. La fonction de coût des deux firmes est : C 1(q) = C 2(q) = q.

3. 2. 2 Eq. de Nash Etant donné s 2, la firme 1 choisit son offre s 1 pour maximiser son profit : u 1(s 1, s 2) = (1 – s 2) s 1. La solution de ce problème vérifie (Cf. 2. Optimisation) : ∂u 1/∂s 1 = 1 – 2 s 1 – s 2 = 0. Il s’ensuit la f° de meilleure réponse de 1 : s 1 = (1 – s 2)/2.

3. 2. 2 Eq. de Nash Etant donné s 1, la firme 2 choisit son offre s 2 pour maximiser son profit : u 2(s 1, s 2) = (1 – s 2) s 2. La solution de ce problème vérifie (Cf. 2. Optimisation) : ∂u 2/∂s 2 = 1 – s 1 – 2 s 2 = 0. Il s’ensuit la f° de meilleure réponse de 2 : s 2 = (1 – s 1)/2.

3. 2. 2 Eq. de Nash Un profil stratégique (s 1*, s 2*) est un équilibre de Nash du jeu si chaque stratégie est une meilleure réponse à la stratégie de l’autre. Le profil stratégique (s 1*, s 2*) vérifie donc : s 1* = (1 – s 2*)/2. s 2* = (1 – s 1*)/2. On trouve s 1* = s 2* = 1/3 (Cf. 1. Résolution des systèmes linéaires).

3. 2. 2 Eq. de Nash Ex. 4. Jeu de lobbying. N = {E, I}. si ≥ 0. Un lobby écologiste E et un lobby industriel I cherchent à influencer une décision politique sur l’implantation d’une nouvelle usine. Une ouverture de l’usine : • occasionnerait un dommage D aux membres du lobby écologiste E ; • assurerait un bénéfice B aux membres du lobby industriel I.

3. 2. 2 Eq. de Nash Ex. 4. Suite. Pour influencer la décision, chaque lobby dépense une somme si (i = E, I) (financement de campagne électorale et/ou pots de vin). La probabilité que les politiques votent pour l’ouverture de l’usine est alors : P = s. I/(s. E + s. I). Déterminer l’éq. de Nash de ce jeu.

3. 3 Jeux sous forme extensive Certaines interactions stratégiques sont, par nature, séquentielles. Autrement dit, pour les décrire précisément, il faut donner : • l’ordre dans lequel les joueurs jouent ; • les actions qu’ils peuvent jouer à chaque moment.

3. 3. 1 Représentation d’un jeu sous forme extensive Dans ce cas, une description sous forme stratégique du jeu est malaisée. On lui préférera une représentation sous forme extensive, reposant sur la construction d’un arbre, spécifiant l’ordre des joueurs, leurs actions et les conséquences de leurs actions.

3. 3. 1 Représentation d’un jeu sous forme extensive Ex. 1. Un jeu quelconque. Forme normale Forme extensive N = {1, 2} (4, 1) (3, 0) a S 1 = {ac ; ad ; bc ; bd} c 1 1 o o S 2 = {A ; B} A d b u 1(s 1, s 2) = … (0, 3) o 2 B u 2(s 1, s 2) = … (2, 2)

3. 3. 1 Représentation d’un jeu sous forme extensive Terminologie : Nœuds et Sous-jeux. Nœud initial a 1 o b (3, 0) A o 2 B c 1 o d (2, 2) (4, 1) (0, 3) Sous-jeu 1 Sous-jeu 2 Sous-jeu 3 2 -ième nœud Nœud final

3. 3. 2 Récurrence à rebours Le principe de résolution d’un jeu sous forme extensive utilise le principe de la récurrence à rebours. Concrètement, il s’agit de partir de la fin de l’arbre, en résolvant chaque sous-jeu final, puis en lui substituant les gains associés. On répète l’opération jusqu’à atteindre le nœud initial.

3. 3. 2 Récurrence à rebours Ex. 1. Suite. Dans le sous-jeu 1, (4, 1) le joueur 1 choisit c, pour c 1 obtenir un gain égal à 4. o d (En choisissant d, son gain (0, 3) serait égal à 0). Sous-jeu 1 On remplace donc le sous-jeu 1 par le résultat (4, 1).

3. 3. 2 Récurrence à rebours Ex. 1. Suite. Dans le sous-jeu 2, le joueur 2 choisit B, pour A (4, 1) o obtenir un gain égal à 2. 2 B (En choisissant A, son gain (2, 2) serait égal à 1). Sous-jeu 2 On remplace donc le sous-jeu 2 par le résultat (2, 2).

3. 3. 2 Récurrence à rebours Ex. 1. Suite. Dans le sous-jeu 3, (3, 0) le joueur 1 choisit a, pour a 1 obtenir un gain égal à 3. o b (En choisissant b, son gain (2, 2) serait égal à 2). Sous-jeu 3 On remplace donc le sous-jeu 3 par le résultat (3, 0).

3. 3. 2 Récurrence à rebours Ex. 1. Suite. Finalement, la solution du jeu est : • Le joueur 1 joue a au nœud initial ; • Le joueur 2 joue B au second nœud ; • Le joueur 1 joue c au nœud final. Le profil stratégique d’équilibre est (ac, B). Les gains des joueurs 1 et 2 sont respectivement 3 et 0.

3. 3. 2 Récurrence à rebours Ex. 1. Suite. On remarque les 2 -ième et 3 -ième (final) nœuds ne (4, 1) (3, 0) a sont jamais atteints. Ils c 1 1 o o sont dits hors-équilibre. A d b Toutefois, pour résoudre (0, 3) o 2 B le jeu, les joueurs ont besoin (2, 2) de savoir ce qu’il s’y passerait si…

3. 3. 3 Exercices Ex. 1. Jeu d’entrée 1. entre Eo n’entre pas cède (1, 2) M o ne cède pas (0, 3) (-1, 0)

3. 3. 3 Exercices Ex 2. Jeu d’entrée 2. cède Mo ne cède pas entre E o (2, 1) n’entre pas (3, 0) entre (0, -1) E o n’entre pas (3, 0)

3. 3. 3 Exercices Ex. 3. Jeu de négociation. 1 x o oui (x, 1 – x) 2 o oui (1 – y, y) non 2 o y 1 o non (0, 0)

3. 3. 1 Exemples Ex. 4. Le jeu du mille-pattes (Rosenthal). 1 A 2 a o o D d (1, 1) (0, 3) … 1 A 2 a o o D d (8, 8) (7, 11) (10, 10)

3. 4 Jeux coopératifs La théorie des jeux coopératifs postulent que les joueurs peuvent s’organiser en coalitions, au sein desquelles : • Les actions individuelles sont décidées en commun, pour maximiser les gains des joueurs coalisés ; • Les engagements individuels pris dans une coalition sont contraignants (contrats, lois, sanctions, etc. ).

3. 4 Jeux coopératifs Sous ces hypothèses, les questions pertinentes sont : • Quelles coalitions vont se former ? • Comment les individus vont se répartir les gains qu’ils obtiennent en coopérant entre eux ?

3. 4 Jeux coopératifs Définition : On définit un jeu sous forme caractéristique, en donnant un ensemble de joueurs N = {1, 2, …, n} et en associant à chaque sous-ensemble de joueurs S de N, appelé coalition, un nombre v(S), représentant le gain maximum que les joueurs de S peuvent réaliser ensemble en décidant une stratégie commune.

3. 4 Jeux coopératifs Exemple. N = {1, 2, 3}. Seuls, les joueurs ne gagnent rien. En formant des coalitions de 2, les deux membres gagnent 1 (à deux). En coopérant tous, ils gagnent 2 (à trois). v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0 ; v({1, 2}) = v({1, 3}) = v({2, 3}) = 1 ; v({1, 2, 3}) = 2.

3. 4 Jeux coopératifs L’exemple précédent vérifie la propriété de super-additivité. Si deux coalitions S et T sont distinctes, alors v(S) + v(T) ≤ v(S U T). Autrement dit, un profil d’actions décidé collectivement (par les membres de S et de T réunies), donne un gain au moins aussi grand que deux plans d’actions décidés séparément (par les membres de S, d’un coté, et de T, de l’autre).

3. 4 Jeux coopératifs L’hypothèse de super-additivité implique la coopération est rentable. On est donc conduit à se demander à quelle condition la grande coalition N devrait se former. A priori, une coalition se forme si ses membres y ont intérêt. Donc, si leur gain au sein de cette coalition est plus grand que le gain qu’ils pourraient acquérir dans toutautre coalition.

3. 4 Jeux coopératifs Définition : On dit que le jeu est à utilité transférable si toute coalition S peut distribuer le gain v(S) entre ses membres de toutes les manières possibles telles que ∑iєS ui = v(S), où ui est le gain de i.

3. 4. 1 Le cœur d’un jeu Définition : On appelle cœur d’un jeu sous forme caractéristique, toute répartition (u 1*, …, un*) du gain v(N) de la grande coalition, telle qu’aucune coalition S ne peut distribuer : • à tous ses membres, un gain au moins aussi grand ; • à (au moins) un de ses membres, un gain plus important.

3. 4. 1 Le cœur d’un jeu Formellement, le cœur vérifie : Si (u 1*, …, un*) appartient au cœur du jeu, alors : ∑iєN ui* = v(N). ∑iєS ui* ≥ v(S), pour tout S.

3. 4. 1 Le cœur d’un jeu Cette figure représente les u 3 répart° possibles des gains des coalitions de {1, 2, 3}. P 123 Par ex. , P 12 est l’ens. P 23 des (u 1, u 2) tels que O P 13 u 1 + u 2 = v({1, 2}). Le cœur du jeu est la u 2 partie de P 123 au-dessus de P 12, P 13 et P 23. u 1

3. 4. 1 Le cœur d’un jeu peut être vide, même si l’hyp. de super-additivité est vérifiée. Ex. v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0 ; v({1, 2}) = v({1, 3}) = v({2, 3}) = 1 ; v({1, 2, 3}) = x.

3. 4. 1 Le cœur d’un jeu Si (u 1, u 2, u 3) appartient au cœur du jeu on doit avoir : u 1 + u 2 ≥ 1, u 1 + u 3 ≥ 1 et u 2 + u 3 ≥ 1. En additionnant membres à membres ces trois inégalités, on obtient : u 1 + u 2 + u 3 ≥ 3/2.

3. 4. 1 Le cœur d’un jeu On en conclut que si x < 3/2, le cœur du jeu est vide. Dans ce cas, la grande coalition est instable car, quelle que soit la manière de distribuer les gains qu’elle décidera, il se trouvera toujours deux de ses membres qui pourront faire mieux en la quittant et en formant une coalition plus petite.

4. Théorie de la croissance Dans une économie fermée, on veut déterminer la dynamique d’une économie, vue comme un système mécanique, dont les ressorts sont la démographie, l’épargne des ménages et la technologie.

4. Théorie de la croissance On utilise les notations habituelles : I = l’investissement ; K = le stock de capital ; L = la population active ; S = l’épargne nationale ; Y = le revenu national.

4. Théorie de la croissance On utilise des minuscules pour noter les variables par tête. Par exemple : k = K/L = le capital par tête ; y = Y/L = le revenu par tête.

4. Théorie de la croissance Remarque : On suppose que l’économie produit un bien unique, composite d’une multitude de biens. Ce bien peut servir soit à la consommation, soit à l’accumulation du capital. Ainsi, I, K, S et Y se mesurent dans la même unité.

4. 1 La démographie La pop° active, notée L, est supposée suivre l’évolution : L(t) = L 0 ent, où : L 0 = pop° active initiale ; n = taux de croissance.

4. 2 L’épargne On suppose que les ménages épargnent une part constante de leur revenu. On appelle : s = le taux d’épargne. Ainsi, lorsque le revenu national est Y, l’épargne disponible est S = s Y.

4. 3 La technologie On suppose que la production nationale dépend des quantités de capital K et de travail L utilisées. On note : F(K, L) = la f° de product° agrégée.

4. 3 La technologie On suppose que : F(K, L) = A Ka L 1–a, où : A = Paramètre technologique ; a = Part de la rémunération du capital dans le PIB (~ 1/3).

4. 4 L’accumulation du capital Notons : δ = le taux de dépréciation du capital. A chaque période, l’accroissement du stock de capital est égal à la différence entre l’investissement, I, et la dépréciation du capital, δ K, au cours de la période considérée.

4. 4 L’accumulation du capital En utilisant le fait que I = S = s Y = s A Ka L 1–a, on écrit l’équation d’accumulation du capital : d. K/dt = s A Ka L 1–a - δ K.

4. 4 L’accumulation du capital Notons : k = K/L = le capital par tête. On peut montrer, en dérivant et en utilisant les hypothèses précédentes, que : dk/dt = s A ka – (δ + n) k.

4. 5 Etude de la dynamique Diagramme des phases. dk/dt k* Si s A ka > (δ + n) k, (δ + n) k on a dk/dt > 0. Donc, k augmente avec t. s A ka Si s A ka < (δ + n) k, on a dk/dt < 0. Donc, k diminue avec t. Le système converge donc vers k*, tel que k s A k*a = (δ + n) k*.

4. 5 Etude de la dynamique Proposition : A long terme, le capital par tête est constant, égal à : k* = [s A/(δ + n)]1/(1–a). Preuve. On obtient k* en résolvant dk/dt = s A ka – (δ + n) k = 0.

4. 5 Etude de la dynamique Proposition : A long terme, les variables par tête (k, c, i, y) sont constantes. Preuve. On sait que k est constant à long terme. Or, toutes les autres quantités sont liées à k (y = A ka ; c = (1 – s) A ka ; i = s A ka )

4. 5 Etude de la dynamique Proposition : A long terme, les variables en niveau (K, C, I, Y) croissent à un taux constant égal à n. Preuve. On a k = K/L. Donc, à long terme, K = L k* = L 0 k* ent. De même pour les autres variables.

USAo P (0, 0) P AN o URSS RN (1, -2) Non Eo Entre (-1, -1) (0, 3) Non (1, 1) Io Combat (-1, 0)