Condiciones de extremo Proceso para derivar las condiciones

Condiciones de extremo Proceso para derivar las condiciones n De problema más simple a más complejo Progresión de problemas: Problema sin restricciones n Problema con restricciones de igualdad n Problema con restricciones de desigualdad n 1

Condiciones de extremo Caso sin restricciones: minx f (x ) Condición: f (x ) f (y ) y { z : z - x } n Dificultad: n comprobar n dicha condición para todo y Solución: n Condiciones en x sobre f y sus derivadas 2

Condiciones de extremo El caso univariante: f’ (x ) = 0 , f’’ (x ) 0 Extensión natural al caso multivariante: f (x ) = 0 2 f (x ) s. d. p. 3

Condiciones de extremo Justificación intuitiva Basada en aproximaciones locales f (x +v ) - f (x )T v + ½v. T 2 f (x )v n Hipótesis: si la función tiene un mínimo, la aproximación local también lo tiene n Condiciones para que las aproximaciones tengan mínimos n 4

Condiciones de extremo Caso lineal: (v ; x ) = f (x )T v n La aproximación lineal tiene un mínimo si f (x ) = 0 Caso cuadrático: (v ; x ) = f (x )T v + ½v. T 2 f (x )v n Aprox. cuadrática tiene mínimo en v = 0 si f (x ) + 2 f (x )v = 0, 2 f (x ) s. d. p. 5

Condiciones de extremo Ejemplo de condición de óptimo n Ajustar los parámetros de un modelo: medida de defectos en un producto Distribución a ajustar: Gamma(a , b ) n Procedimiento: máxima verosimilitud n 6

Condiciones de extremo Ejemplo n Función objetivo: f (a , b ) = log. L = -nb loga - n log (b ) + (b -1) i logxi - i xi /a n Datos: n = 20, i logxi = 39. 11, i xi = 167. 5 7

Condiciones de extremo Ejemplo: derivadas f (x ) = 2 f (x ) = n -nb /a + i xi /a 2 -n loga - n log (b ) + i logxi nb /a 2 - 2 i xi /a 3 -n /a -n 2 log (b ) No es posible aplicar las condiciones directamente 8

Condiciones de extremo Ejemplo Para a = 1 y b = 1 tenemos f (x ) = -167. 5, f (x ) = ( 147. 5 50. 7 )T n Para a = 2. 7 y b = 3. 1 tenemos f (x ) = -61. 0, f (x ) = ( 11. 9 6. 8 )T n Para a = 2. 6997 y b = 3. 1022 tenemos f (x ) = -57. 2, f (x ) = ( -3 e-5 -6 e-5 )T autovalores de 2 f (x ) = -15. 5 y -0. 63 n 9

Condiciones de extremo Justificación formal Si x es solución, se deberá cumplir f (x + v ) - f (x ) 0 para todo v , v = 1 y todo > 0 pequeño n Desarrollo en serie de Taylor: necesita que f (x )T v + o ( ) 0 y esto sólo se cumple si f (x ) = 0 n 10

Condiciones de extremo Justificación Si es pequeño, f (x )T v define el signo n Si f (x ) 0, basta con tomar v = - f (x ) f (x + v ) - f (x ) - f (x ) 2 < 0 y x no puede ser solución local n Si no se cumple la condición: n n Moverse a lo largo de - f (x ) n Existen direcciones mejores 11

Condiciones de extremo f (x ) = 0 , condición necesaria Condición necesaria de segundo orden Supongamos que f (x ) = 0 , f (x + v ) - f (x ) = ½ 2 v. T 2 f (x )v + o ( 2 ) n El signo de f (x + v ) - f (x ) viene definido por el signo de v. T 2 f (x )v n Se tiene un mínimo si v. T 2 f (x )v 0 v n 12

Condiciones de extremo Condición necesaria de segundo orden Hace falta que 2 f (x ) sea s. d. p. n Si no se cumple la condición, n n existen direcciones que cumplen v. T 2 f (x )v < 0 na lo largo de estas direcciones f (x + v ) - f (x ) ½ 2 v. T 2 f (x )v < 0 y x no puede ser un mínimo 13

Condiciones de extremo Condición suficiente Si f (x ) = 0 y 2 f (x ) es d. p. , se tiene > 0, v = 1 v. T 2 f (x )v n Esto implica que > 0 tal que , ½ 2 v. T 2 f (x )v +o ( 2) ¼ 2 v. T 2 f (x )v ¼ 2 y por tanto v, se tiene que f (x + v ) - f (x ) ¼ 2 > 0 luego x es un mínimo n 14

Condiciones de extremo Utilidad de estas condiciones n Comprobación de posibles soluciones: n Medida n de la calidad de un candidato Cálculo de extremos n Resolver n un sistema de ecuaciones no lineales Métodos directos/Métodos iterativos aproximados n Comprobar la condición de segundo orden 15

Condiciones de extremo Ejemplo: x 1 min f (x ) (1+x 12) (1+x 22) n Calcular máximos y mínimos n Resolver sistema de ecuaciones no lineales para condiciones de primer orden n Es posible en forma explícita en este caso n En caso contrario, métodos numéricos 16

Condiciones de extremo Derivadas: n Denotaremos a = 1+x 12 , b = 1+x 22 f (x ) = (1 - x 12)/a 2 b -2 x 1 x 2/ab 2 2 - 3)/a 3 b -2 x x (1 - x 2)/a 2 b 2 2 x (x 1 1 1 2 f (x ) = -2 x 1 x 2(1 - x 12)/a 2 b 2 2 x 1(x 22 - 1)/ab 3 17

Condiciones de extremo Cálculo de soluciones para el ejemplo Igualando el gradiente a cero, 1 - x 12 = 0, -2 x 1 x 2 = 0 x 2 = 0, x 1 = 1 n Estudiando las segundas derivadas, n n En ( 1 0 )T 2 f n En (x ) = ( -1 0 )T 2 f (x ) = -1/2 0 0 -1 1/2 0 0 1 18

Condiciones de extremo Caso con restricciones de igualdad minx f (x ) s. a c (x ) = 0 Condición: c (x ) = 0, f (x ) f (y ) y { z : c (z ) = 0 } n Mismas dificultades que en caso anterior n Valores y derivadas de f y c n Cómo tener en cuenta las restricciones 19

Condiciones de extremo Ejemplo n Cartera con endeudamiento r = ( 1. 6 28 59 R= 27 40 19 -23 n 4. 6 59 252 87 133 28 -21 6. 2 5. 6 0. 7 -0. 4 ) 27 40 19 -23 87 133 28 -21 224 66 -21 -60 66 151 -16 -71 -21 -16 75 21 -60 -71 21 86 Condición sobre inversiones e. T x = 1 20

Condiciones de extremo Ejemplo (a) min x. T R x (b) max r. T x - 0. 1 x. T R x s. a e. T x = 1 (c) max r. T x s. a e. T x = 1 (d) max r. T x - 0. 1 x. T R x s. a e. T x = 1 v. T x = 0. 5 21

Condiciones de extremo Intuición gráfica n Para una restricción, en el punto solución n Gradiente de f. objetivo ortogonal a restricción n Gradientes de f. objetivo y restricción paralelos n Expresión formal: f (x ) = c (x ) n Más de una restricción n Gradientes paralelos? n Gradiente de f. objetivo ortogonal a restricciones n ¿Cómo se plantea (algebraicamente) ortogonalidad? 22

Condiciones de extremo Planteamiento de ortogonalidad n n n Gradiente f. obj. perpendicular a restricciones Perpendicular a vectores tangentes a cada restricción Vect. tangentes a restricción j : cj (x )T d = 0 A todas simultáneamente: c (x ) d = 0 Gradiente perpendicular a las restricciones: f (x )T d = 0 d { u : c (x ) u = 0 } 23

Condiciones de extremo Representación gráfica (i) 2 1. 5 1 0. 5 0 -0. 5 -1 -1. 5 -2 -2 -1 0 1 2 24

Condiciones de extremo Representación gráfica (ii) 2 1. 5 1 0. 5 0 -0. 5 -1 -1. 5 -2 -2 -1 0 1 2 25

Condiciones de extremo Aproximación lineal mind f (x ) + f (x )Td s. a c (x ) + c (x )d = 0 n ¿Cuándo tiene un mínimo en x ? n Para tener un mínimo, debe ser constante sobre las restricciones n Para ello, el gradiente ha de ser perpendicular a dichas restricciones 26

Condiciones de extremo Condiciones necesarias c (x ) = 0, f (x ) = c (x )T n ¿Son suficientes? No n Aproximación de segundo orden: mind f (x ) + f (x )Td + ½ d. T 2 f (x ) d s. a c (x ) + c (x )d = 0 n Función convexa sobre las restricciones 27

Condiciones de extremo Condiciones de segundo orden Se denota por Z una base de c (x )d = 0 n ¿Es ZT 2 f (x )Z s. d. p. cond. necesaria? n Ejemplo: n minx x 12 + (x 2 + 1)2 s. a x 2 - x 12 (x 1 - ) = 0 n Soluciones para valores de = 0, ½, 1 28

Condiciones de extremo Hace falta incluir las restricciones ZT 2 L (x , )Z s. d. p. L (x , ) = f (x ) - c (x )T n L función lagrangiana: n Combinación n de f. objetivo y restricciones Condiciones de extremo con restricciones: n equivalentes a problema sin restricciones n Función objetivo: función lagrangiana 29

Condiciones de extremo Ejemplo: Analizar los datos de la EPF para buscar estructuras de interés n Proyectar sobre direcciones que maximicen el cuarto momento maxd i (xi. Td )4 s. a d. T d = 1 (datos estandarizados) n 30

Condiciones de extremo Ejemplo n Datos: 31

Condiciones de extremo Ejemplo: derivadas f (d ) = 4 i (xi. Td )3 xi , c (d ) = 2 d. T n Condiciones de extremo: f (d ) sea colineal con d n No necesariamente cuando el gradiente sea cero n Cuando n n Sistema de ecuaciones con n ecuaciones e incógnitas La solución no tiene por qué cumplir d. Td = 1 32

Condiciones de extremo Deducción de las condiciones f (x +v ) = f (x ) + f (x )T v + ½v. T 2 f (x )v + o( v 2) n No cualquier v es aceptable v, c (x + v ) = 0 n Representación explícita de v n curvas parametrizadas v ( ) = d +½ 2 u +o ( 2) , c (x + v ( )) = 0 33

Condiciones de extremo Representación explícita n Condiciones sobre los parámetros n Derivadas en = 0 iguales a cero c (x + v ( ))’ = 0 c (x )d = 0 c (x + v ( ))” = 0 c (x )u + d. T 2 c (x ) d = 0 n Valores aceptables de d y u 34

Condiciones de extremo Condiciones de óptimo 0 f (x +v ) = f (x ) + f (x )T v + o( v ) v = d + ½ 2 u + o ( 2), c (x )d = f (x +v ) = f (x ) + f (x )T d + o ( ) n Condición necesaria f (x )T d 0 d, c (x )d = 0 35

Condiciones de extremo Condición necesaria de primer orden Representa d : d = Zw para w cualquiera n Condición equivalente: f (x )T Zw 0 w ZT f (x ) = 0 n También equivalente a , f (x ) = c (x )T n n Justificación n Si la condición no se cumple. . . 36

Condiciones de extremo Condición necesaria de segundo orden Suponemos que ZT f (x ) = 0 f (x +v ) = f (x ) + ½v. T 2 f (x )v + o( v 2) v d + ½ 2 u , c (x )u + d. T 2 c (x )d = 0 f (x +v )=f (x )+½ 2 ( f (x )Tu +d. T 2 f (x )d ) + o( 2 ) n Problema: condiciones sobre u n 37

Condiciones de extremo Condición de segundo orden De la condición de primer orden f (x )Tu = T c (x )u = - j j d. T 2 cj (x )d f (x +v ) = f (x ) + ½ 2 d. T 2(f (x ) - Tc (x ))d + o( 2 ) n Condición necesaria: d. T 2(f (x )- Tc (x ))d 0 ZT 2 L (x, )Z s. d. p. n 38

Condiciones de extremo Cálculo de óptimos: Resolución de sistema de ecuaciones no lineales f (x ) = c (x )T c (x ) = 0 n n + m ecuaciones e incógnitas n Comprobación de condición de 2 o orden para las soluciones n 39

Condiciones de extremo Ejemplo: x 1 min (1+x 12) (1+x 22) s. a x 1 x 2 = 1 n Cálculo de soluciones: (1 - x 12)/a 2 b = x 2 -2 x 1 x 2/ab 2 = x 1 x 2 = 1 n Solución: x 1= 3, x 2= 1/ 3, = 3 3/32 40

Condiciones de extremo Condiciones de regularidad ¿Basta con las condiciones anteriores? n Cálculo de soluciones de minx (x 32 + 1)(x 12 + x 2) s. a x 2 - (x 1 - 1)2 = 0 x 2 = 0 n El punto (1, 0, 0) es la solución pero no cumple las condiciones de primer orden n 41

Condiciones de extremo ¿Qué sucede en este caso? 1 0 Z = 0 0 , Z T f (x ) = ( 2 0 )T 0 1 n Parece posible moverse a lo largo de curvas con d = - Z Z T f (x ) n Pero se viola la primera restricción n Mala representación de curvas factibles 42

Condiciones de extremo Información lineal no es adecuada Problema: cambios bruscos de dimensión en espacios n El problema no existe si c (x ) tiene rango completo n Es condición suficiente, pero existen otras condiciones menos exigentes n n cualificaciones de restricciones 43

Condiciones de extremo Condición necesaria general n Condiciones de Fritz-John 0 f (x ) = c (x )T , c (x ) = 0 ( 0 , ) 0 n Se cumplen independientemente de la cualificación de restricciones n Son n Si equivalentes a KKT si 0 0 c (x ) tiene rango máximo, 0 0 44

Condiciones de extremo Condiciones de regularidad Condiciones bajo las que se cumple 0 0 n Ejemplos: n n Cono de tangentes = direcciones de descenso n La matriz Jacobiana en la solución tiene rango máximo n Condiciones también suficientes para el caso con restricciones de desigualdad 45

Condiciones de extremo Interpretación de los multiplicadores Propiedad: minx f (x ) s. a c (x ) = ej con solución x* ( ) n Entonces df (x* ( )) = j d =0 n n Sensibilidad de función objetivo a cambios en el lado derecho de las restricciones 46

Condiciones de extremo Ejemplo: Derivadas f (d ) = 4 i (xi. Td )3 xi , c (d ) = 2 d. T 2 L (d, ) = 12 i (xi. Td )2 xi xi. T - 2 I n Para el punto d = (1/ n) ( 1. . . 1 )T, n f (d )=163. 3, c (d )=0, c (d )=( 1 1 ) f (d ) = ( 135. 9 249. 5 491. 6 429. 6 )T 47

Condiciones de extremo Ejemplo: ¿Es solución? -1 -1 -1 1 0 0 113. 6 Z= 0 1 0 , ZT f (d ) = 355. 7 0 0 1 293. 7 n ¿Cómo obtener mejores soluciones? ZZT f (d )=( -763. 0 113. 6 355. 7 293. 7 )T n 48

Condiciones de extremo Ejemplo: n Supongamos d = ( 0. 02 0. 14 0. 98 0. 11 )T f (d ) = 534. 9, c (d ) 0, c (d ) = ( 0. 04 0. 28 1. 97 0. 22 ) f (d ) = ( -42 -300 -2105 -234 )T ZT f (d ) = 0 , = -1070 autovalores de ZT 2 LZ = -92, -103, -46821 49

Condiciones de extremo Ejemplo: min ( -2 1 ) x + s. a ½x. T (1 1)x=2 2 1 1 -1 x Comprobar si son solución: x = ( 1/3 4/3 )T , ( 3/2 1/2 )T , ( 1 1 )T n Encontrar la solución n 50

Condiciones de extremo Caso con restricciones de desigualdad minx f (x ) s. a c (x ) 0 n Similar caso con restricciones de igualdad n Conociendo restricciones activas en solución n Restricciones activas: cj (x ) = 0 n Soluciones locales no dependen de restricciones lejanas 51

Condiciones de extremo Diferencias con el caso de igualdad: Es posible moverse hacia el interior de la región factible n Es necesario estudiar dos posibilidades: n n Comportamiento del problema sobre las restricciones activas n Comportamiento del problema hacia el interior de la región factible 52

Condiciones de extremo Motivación de las condiciones n Cumplimiento de restricciones c (x ) 0 n Comportamiento sobre las restricciones: cond. primer orden restricciones activas ZT f (x ) = 0 , f (x ) = ĉ (x )T nĉ denota las restricciones activas 53

Condiciones de extremo Motivación de las condiciones n Movimiento hacia interior de región factible cj ( x ) x* ( ) x (0) * cj ( x ) 0 f (x* ( )) - f (x* (0)) 0 ? 54

Condiciones de extremo Motivación de las condiciones n Movimiento hacia interior de región factible n Condición: n Si 0 j < 0 y f (x ) = ĉ (x )T , definimos d ĉ (x ) d = ej f (x + d ) = f (x ) + f (x )Td + o ( ) f (x + d ) - f (x ) = T ĉ (x ) d + o ( ) f (x + d ) - f (x ) = j + o ( ) < 0 55

Condiciones de extremo Justificación de las condiciones: n Empleo de curvas parametrizadas n Para que no exista solución: D ={ d : f (x )Td < 0 }, S ={ d : ĉ (x ) d 0 } D S= n En el caso con restricciones de igualdad D ={ d : f (x )Td < 0 }, S ={ d : c (x ) d = 0 } ZT f (x ) = 0 D S = 56

Condiciones de extremo Justificación de las condiciones: Con restricciones de desigualdad, f (x ) = ĉ (x )T , 0 D S = n Resultado: Lema de Farkas f (x ) = ĉ (x )T ĉ (x ) d = 0 n 0 y f (x )T d < 0 Solo uno de los dos sistemas tiene solución 57

Condiciones de extremo Lema de Farkas n Justificación n Si el primer sistema tiene solución f (x ) = ĉ (x )T f (x )Td = T ĉ (x )d 0 n Si el primer sistema no tiene solución f (x ) { u : u = ĉ (x )T , 0 } Hiperplano separador w , f (x )Tw < 0 , T ĉ (x )w 0 0 ĉ (x )Tw 0 58

Condiciones de extremo Condiciones de segundo orden n Condición necesaria n Comportamiento sobre las restricciones, ZT 2 L (x, ) Z s. d. p. n Las columnas de Z forman una base del subespacio { d : ĉ (x ) d = 0 } n ¿Y en direcciones al interior de la región factible? n Signo de los multiplicadores 59

Condiciones de extremo Condición suficiente Para las restricciones activas, ZT 2 L (x, ) Z d. p. n Si j > 0, condición suficiente n Si j = 0 para algún j, hace falta estudiar curvatura hacia el interior de región factible n n Ampliar el subespacio generado por Z 60

Condiciones de extremo Condición suficiente n Si existen multiplicadores iguales a cero Z+T 2 L (x, ) Z+ d. p. n Z+ denota una matriz cuyas columnas forman una base del subespacio { d : cj (x )T d = 0 , j j 0 } n ¿Es condición necesaria? n No 61

Condiciones de extremo Condición suficiente n Ejemplo min (-9 -4) x + ½x. T s. a n ¿Qué 6 3 3 1 x 12 + x 22 2 x se cumple en (1, 1)? 62

Condiciones de extremo Resumen de condiciones Factibilidad: c (x ) 0 n C. primer orden: f (x ) = ĉ (x )T n Signo multiplicadores: 0 n C. segundo orden: ZT 2 L (x , ) Z s. d. p. n Cond. suficiente: n Anteriores más Z+T 2 L (x , ) Z+ d. p. n 63

Condiciones de extremo Justificación formal: Factibilidad: trivialmente necesaria n Otras condiciones: curvas parametrizadas v ( ) = d +½ 2 u +o ( 2), c (x +v ( )) 0 n n Condiciones sobre parámetros Restricciones activas, cj (x ) = 0 , en = 0, cj (x + v ( ))’ 0 cj (x )Td 0 Si cj (x + v ( ))’ = 0 , entonces cj (x +v ( ))” 0 cj (x )Tu +d. T 2 cj (x )d 0 64

Condiciones de extremo Si primer orden no se cumple, ZT f (x ) 0 n Función objetivo a lo largo de curva factible f (x + v ( )) - f (x ) = f (x )Td + o ( ) n Si se toma d = - ZZT f (x ) , se cumple 0 = ĉ (x )d 0 luego tenemos una curva factible, y f (x + v ( )) - f (x ) = - ZT f (x ) 2 +o ( ) < 0 65

Condiciones de extremo Justificación formal n Si no se cumple la condición sobre el signo de los multiplicadores, j < 0 definimos d tal que ĉ (x )d = ej , ĉ (x )d = ej 0 luego tenemos una curva factible, y n Si f (x + v ( )) - f (x ) = f (x )Td + o ( ) = T ĉ (x )d + o ( ) = j + o ( ) < 0 66

Condiciones de extremo Justificación formal Si segundo orden no se cumple, w , w. TZT 2 L (x , )Zw < 0 n Cambio en la función objetivo f (x +v ( )) = f (x ) + f (x )Td + ½ 2(d. T 2 f (x )d + f (x )Tu ) + o ( 2) n n Como se cumplen las condiciones de primer orden f (x )Td = T ĉ (x )d 0 n Si T ĉ (x )d > 0 , x es óptimo a lo largo de d 67

Condiciones de extremo Justificación formal Direcciones d tales que ĉ (x )d = 0 d = Zw n Condiciones sobre curva de movimiento, cj (x )Tu + d. T 2 cj (x ) d 0 n Seleccionar u de manera que se cumpla cj (x )Tu + d. T 2 cj (x ) d = 0 d. T 2 f (x )d + f (x )Tu = d. T 2 f (x )d + T ĉ (x )u = d. T 2 L (x , )d = w. TZT 2 L (x , )Zw < 0 n 68

Condiciones de extremo Condiciones suficientes Desarrollo en serie sobre una curva factible f (x +v ( )) - f (x ) = f (x )Td + ½ 2(d. T 2 f (x )d + f (x )Tu ) + o ( 2) n De las condiciones, ĉ (x )d 0 , 0 T ĉ (x )d 0 f (x )Td 0 n Si f (x )Td = 0, entonces bien cj (x )d = 0 o bien j = 0 n 69

Condiciones de extremo Condiciones suficientes Por tanto, si f (x )Td = 0 entonces d = Z+w n El desarrollo en serie tiene ahora la forma f (x +v ( )) - f (x ) = ½ 2(d. T 2 f (x )d + f (x )Tu ) + o ( 2 ) pero f (x )Tu = T ĉ (x )u = - j j d. T 2 cj (x )d n Sustituyendo en el desarrollo en serie f (x +v ( ))-f (x ) = ½ 2 w. TZ+T 2 L (x , )Z+w +o ( 2) n 70

Condiciones de extremo Aplicación de las condiciones n Sistema de ecuaciones y desigualdades: c (x ) 0 , 0 n Procedimiento: n Seleccionar posibles desigualdades activas n Soluciones con restricciones de igualdad n Comprobar restantes desigualdades 71

Condiciones de extremo Problema de optimización de carteras min s. a ½x. TRx r Tx e. T x = 1 x 0 Derivadas de las funciones del problema: f (x ) = Rx , c (x ) = ( r e I )T , 2 L (x , ) = R n Valores de los parámetros: r = ( 1. 6 4. 6 6. 2 5. 6 0. 7 -0. 4 ), = 5 n 72

Condiciones de extremo Ejemplo n Valores de los parámetros R= n 26 56 28 45 21 -19 248 89 141 31 -15 89 223 63 -22 -63 141 63 137 -22 -82 31 -22 72 16 -15 -63 -82 16 77 Comprobar condiciones para x = ( 0 0 1 0 0 0 )T 73

Condiciones de extremo Ejemplo Cumplimiento de las restricciones r. Tx - = 1. 2, e. Tx - 1 = 0, x 0 n Condiciones de primer orden n f (x ) = Rx = ( 28 89 223 63 -22 -73 )T ĉ (x ) = ( e e 1 e 2 e 4 e 5 e 6 )T , = ( 223 -195 -134 -160 -245 -296 )T 2, 3, 4, 5, 6 < 0 74

Condiciones de extremo Ejemplo n Dirección de mejora: ĉ (x )p = ej p = ( 0 0 -1 0 0 1 )T n Otro valor a comprobar x = ( 0 0 0. 32 0. 55 0 0. 13 )T r. Tx - = 0, e. Tx - 1 = 0, x 0 f (x ) = Rx = ( 31 104 96 84 -17 -58 )T ĉ (x )=( r e e 1 e 2 e 5 )T , =( 23 -48 40 44 15 )T 75

Condiciones de extremo Ejemplo: min ( -2 1 ) x + s. a ½x. T (1 1)x 2 x 0 n Comprobar si es solución: x = ( 2 0 )T n Encontrar la solución 2 1 1 -1 x 76

Condiciones de extremo Ejemplo: x 1 min (1+x 12) (1+x 22) s. a -x 1 + x 2 ½ 2 x 1 - x 2 1 4 x 1 + 2 x 2 -1 n Probar las combinaciones posibles (7) n Para cada una, resolver problema con restricciones de igualdad n Número combinatorio de posibilidades 77