Computacin Grfica 12 Curvas y Superficies Temario Representaciones
- Slides: 87
Computación Gráfica 12 Curvas y Superficies
Temario Representaciones de curvas y de superficies Splines y otras bases polinomial Puntos 2
Representaciones Geométricas Geometría Sólida Constructiva (Constructive Solid Geometry CSG) – operadores booleanos (o de conjunto Representaciones Paramétricas Polígonos - mallados Subdivision de superficies Superficies Implícitas Superficies basadas en puntos 3
Representaciones Geométricas Objeto construído mediante CSG convertido a polígonos 4
Idem, convertido a superficie implícita 5
2 D, Signed Euclidean Distance Fields A A D (A) +128 D (A ) D Morphological (A ) D(A) Domain 0 -127 +128 0 0 -128 6
Geometry representaciónes Operadores de CSG aplicados a superficies implícitas 7
Representaciones Geométricas Descripciones de superficies basadas en puntos Ohtake, et al. , SIGGRAPH 2003 8
Subdivisión del icosahedro = Esfera geodésica (R. Buckminster Fuller) “Spaceship Earth”, Epcot, Walt Disney World 9
Biosfera de Montreal rojecto Eden: bioma tropical Grimshaw Architects, 2001 10
Proyecto “Houston Dome” (Discovery Channel ) 11
Representaciones Geométricas Subdivisión de superficie Catmull-Clark de un cubo 12
Representaciones Geométricas Subdivisión de superficie (diferentes niveles de refinamiento) (ver Sierpiński…) Gráficos tomados de Subdivision. org 13
Subdivisión no uniforme y controlada 14
Subdivisión interpolando normales – transición suave 15
IPCYL: Image Processing of Cylindrical Range Data Jorge Márquez Flores, Isabelle Bloch and Francis Schmitt Jorge Márquez - 16
Combining Voxel Grid Data and Mesh Model
eometrías de Mallado Global para Imágenes de Profundidad de Escenas 3 18
Subdivisión de superficie Carpeta de Sierpiński – Subdivisión recursiva de un triángulo (en este caso no produce un mallado Euleriano – ver abajo) Otras aplicaciones de la subdivisión recursiva: voxelización de un mallado arbitrario (Derecha: ejemplo a dos órdenes de subdivisión) Nota: la subdivisión que presentan los cuadtrees (u octrees en 3 D) no es Euleriana, pero no es el mallado de ninguna superficie; es una representación de árbol compacta de ocupación espacial.
Combinando dos resoluciones en un solo mallado Euleriano (a la derecha, ídem pero triangular)
Anidamiento de mallas en tres resoluciones
Construcción de mallados triangulares a partir de un campo escalar o binario: Marching Cubes Voxeles dentro del objeto Cada configuración de mallado de la superficie ‘s determina un “parche” del 22
CONSTRUCTION OF A MODEL OF THE HIGH GASTROINTESTINAL SYSTEM FOR THE SIMULATION OF UPPER ENDOSCOPY PROCEDURES Alfonso Gastelum, Lucely Mata Castro, Jorge Márquez Marching-cubes segmentation 23
Representaciones Geométricas Ventajas y desventajas Facilidad de uso para diseño Facilidad y rapidez para renderizado Simplicidad Suavidad Detección de colisiones Flexibilidad (en muchos sentidos) Adecuadas para simulaciones Costo en memoria No adecuadas para objetos complejos Difícil usar Ray Tracing en algunos casos No funcionan bien con objetos muy irregulares 24
Modelado de superfices mediante mallados poligonales n 25
Representaciones Paramétricas Curvas: Superficies: Volúmenes: etcétera. . . Nota: una función vectorial en de variable escalar (curva en el espacio) comprende n funciones escalares
Representaciones Paramétricas - No son únicas Una misma Curva/superficie puede tener múltiples representaciones (diferencias resultan irrelevantes)
Geometría Diferencial Simple Tangente a una curva Tangentes a superficie Normal a una superficie También: curvatura, normales de una curva, vector bi -normal de una curva, etcétera. . . Casos degenerados: ó: 28
Discretización Curvas arbitrarias tienen un incontable número de parámetros i. e. se especifican valores de coeficientes de las funciones en todos los puntos de una línea de números reales (como un espectro contínuo de Fourier). 29
Discretización • Curvas arbitrarias tienen un incontable número de parámetros, formando un contínuo (espectro). • Escoger un conjunto completo de bases de funciones o Polinomios, series de Fourier, etc. • Truncar el conjunto a un grado razonable, por ejemplo: • Función representada por el vector (lista) de • Las pueden ser vectores
Bases polinomiales Bases de potencias Los elementos de son linealmente independientes, i. e. no es buena aproximación Si no se consideran varios aspectos se obtienen resultados mediocres, por ejemplo una rigidez extraña 31
Especificando una Curva Dados valores deseados (constricciones) cómo determinar Los coeficientes para una base de potencas cúbicas? Por lo pronto asumimos 32
Especificando una Curva Dados valores deseados (constricciones) cómo determinar Los coeficientes para una base de potencas cúbicas? 33
Especificando una Curva Dados valores deseados (constricciones) cómo determinar Los coeficientes para una base de potencas cúbicas? 34
Especificando una Curva Dados valores deseados (constricciones) cómo determinar Los coeficientes para una base de potencas cúbicas? 35
Especificando una Curva Dados valores deseados (constricciones) cómo determinar Los coeficientes para una base de potencas cúbicas? 36
Especificando una Curva Dados valores deseados (constricciones) cómo determinar Los coeficientes para una base de potencas cúbicas? Base de funciones de Hermite 37
Especificando una Curva Dados valores deseados (constricciones) cómo determinar Los coeficientes para una base de potencas cúbicas? Probably not a scale. Base de funciones de Hermite 38
Base de Hermite Curva especificada por Valores de puntos esquina (end-points) Tangentes en dichos puntos (derivadas) Intervalo de parámetros arbitrario (casi siempre) No es necesario recalcular las bases de funciones Hermite cúbico Puede construirse para cualquier grado impar Derivadas en los puntos esquina o finales 39
Bézier Cúbico Similar a Hermite, pero especificando las tangentes indirectamente Nota: todos los puntos de control son puntos en el espacio, no tangentes. 40
Bézier Cúbico Similar a Hermite, pero especificando las tangentes indirectamente Relación entre coeficientes polinomiales y de Bézier: 41
Bézier Cúbico (d=3) Elementos de la base de funciones Bézier
Funciones Base (o base de funciones) Un punto en una curva de Hermite se obtiene multiplicando cada punto de control por una función y sumando todo Las funciones constituyendo una base de funciones
Superficies con Base de Polinomios Bézier
Cambiando Bases de potencias, de Hermite y de Bézier son sólamente polinomios cúbicos Las tres bases generan el mismo espacio Como ejes diferentes en Cambios de base 45
Propiedades utiles de una base Convex Hull (Carcasa convexa) Todos los puntos en curva quedan dentro de la caracasa convexa de los puntos de control La base de Bézier tiene la propiedad de carcasa convexa 46
Propiedades utiles de una base Invariancia bajo clases de transformaciones Transformar curvas es lo mismo que transformar puntos de control Base de Bézier invariante para transformaciones afines Base de Bézier NO es invariante para transformaciones de perspectiva NURBS (Non-Uniform Rational Bézier Splines) son en extremo difíciles. . . 47
Propiedades utiles de una base Soporte local Cambiar UN punto de control Punto tiene poco impacto en toda la curva Reglas de subdivisión muy convenientes Esquema de evaluación rápido Interpolación -vs- aproximación 48
Evaluación de De. Casteljau Un esquema de evaluación geométrica para Bézier 49
Uniendo Si se cambian a, b, o c hay que cambiar los demás Pero si se cambian a, b, o c no se tienen cambios más allá de esos tres. *Soporte Local* 50
Superficies de Productos Tensor Superficie es una curva barrida a través del espacio Remplazar puntos de control de la curva con otras curvas 51
Bases de Superficie Hermite Mas simetrías. . . 52
Funciones de Superficies Hermite-Hump Mas simetrías. . . 53
Imágenes de una base de funciones armónicas en 2 D (seno seno) A través de estas funciones armónicas 2 D se generan campos de desplazamiento que modelan la distorsión que se obtienen en las imágenes. 54
seno 55
Parches-Spline de Coons bilinearmente mezclados (blended) usando Lifting ortogonal 4 perfiles (lados) f 1 (x 1, y) f 2 (x 2, y) f 3 (x, y 1) f 4 (x, y 2) f 3 f 1 p 1 = f 1(x 1, y 1) = f 3(x 1, y 1) p 2 = f 2(x 2, y 1) = f 3(x 2, y 1) p 3 = f 1(x 2, y 1) = f 4(x 2, y 1) p 4 = f 2(x 2, y 2) = f 4(x 2, y 2) pd = pa + pb – pc pd f 1 f 3 … Interpolación Bilineal f 2 f 4
Superficie Interpolada del Cráneo Usando Parches del Spline de Coons
En 3 D hay Puntos y Polígonos de Control Punto de control Polígono de control
NURBS
Representaciones por Puntos 60
Experimento Mental Adquisición de formas usando escáners Láser en 3 D De milliones a miles de millones de puntos Imagen típica (del objeto escaneado): A lo mucho algunos milliones de pixels (v. g. 20482) ¡Más puntos que pixeles para representarlos. . . !
“Gráficos basados en puntos (point-based)” Superficies representadas sólo por puntos Quizás incluyendo normales SIN topología (=relaciones de conectividad) ¿Cómo realizar…? Renderizado (condicionamiento, transfos y despliegue) Operaciones de modelado, texturas, materiales, etc. Simulación (interacciones, deformaciones, animación)
Renderizado Para cada punto pintar una manchita (“splat”) Usar normales asociadas para sombreado Aplicar (quizás) textura Si los “splats” son más pequeños que el espaciamiento entre ellos, se producen agujeros (gaps). Y al contrario, el “splatting” de demasiados puntos es ineficiente (hay traslape o repetición). Ohtake, et al. , SIGGRAPH 2003
Renderizado Algoritmo “QSplat” Construir árbol jerárgico de los puntos Cubrir con esferas un estimado tamaño de racimos (clusters) Renderizar los racimos basándose en el tamaño de la pantalla Usar las normales de los racimos para nodos internos From Rusinkiewicz y Levoy, SIGGRAPH 2000. 64
Renderizado From Rusinkiewicz y Levoy, SIGGRAPH 2000. 65
Renderizado From Rusinkiewicz y Levoy, SIGGRAPH 2000. 66
Renderizado From Rusinkiewicz y Levoy, SIGGRAPH 2000. 67
Renderizado From Rusinkiewicz y Levoy, SIGGRAPH 2000. 68
Definiendo una Superficie Dos métodos relacionados La superficie es como un “punto atractor” Superficies como conjuntos de puntos (point-set) Superficie Implícita Partición multi-nivel de implícitas unitarias Mínimos cuadrados móviles (MLS) implícitos (IMLS = Implicit Moving Least-Squares) 69
Superficies de Conjuntos de Puntos (Point-Set surfaces) La superficie es el atractor de un proceso de proyección iterado Hallar puntos cercanos Ajustar un plano (ponderado) Proyectar en el plano Repetir (iterar) ¿Converge? ¿Cómo ponderar los puntos? From Amenta y Kil, SIGGRAPH 2004. 70
Mínimos Cuadrados Móviles Implícitos Definir una función escalar que es cero cuando pasa a través de todos los puntos: Puntos muestra Vectores normales From Shen, et al. , SIGGRAPH, 2004. 71
Mínimos Cuadrados Móviles Implícitos La función es cero en la frontera Decrece hacia afuera (inverso de la distancia) De Shen, et al. , SIGGRAPH, 2004.
Mínimos Cuadrados Móviles Implícitos Mínimos Cuadrados Estándar 73
Interpolación de Mínimos Cuadrados Móviles 74
Interpolación de Mínimos Cuadrados Móviles Interpolating Approximating 75
Interpolación de Mínimos Cuadrados Móviles Mínimos cuadrados estándar
Interpolación de Mínimos Cuadrados Móviles Mínimos cuadrados móviles (MLS) x pi
Interpolación de Mínimos Cuadrados Móviles Mínimos cuadrados móviles Interpolando Aproximando
Operaciones de Edición Una función implícita puede: Combinarse con operaciones booleanas Deformarse “Trasladarse” Componerse y más. . . Ohtake, et al. , SIGGRAPH 2003
Operaciones de Edición Ohtake, et al. , SIGGRAPH 2003 80
Operaciones de Edición Ohtake, et al. , SIGGRAPH 2003 81
Simulación Basada en Puntos MLS originados en la literatura de Ing. mecánica Uso natural en gráficos para animación From Mueller, et al. , SCA, 2004. 82
83
Non-uniform, rational B-spline (NURBS) is a mathematical model commonly used in computer graphics for generating and representing curves and surfaces • The control points determine the shape of the curve.
A subdivision surface is a method of representing a smooth surface via the specification of a coarser polygon mesh. • A Refinement Scheme is then applied to this mesh. • This process takes that mesh and subdivides it, creating new vertices and new faces.
- Grfica
- Grfica
- Función escalonada significado
- Computacin
- Cuerpo superior de estadísticos del estado sueldo
- Temario de calidad aplicada a la gestion empresarial
- Computacin
- Computacin
- Temario buap
- Temario de fracciones
- Computacin
- String value of int
- Derecho administrativo 2 uaemex
- Son representaciones gráficas de los fonemas
- Conjunto unitario
- Representaciones visuales informativas
- Mapa oceano pacifico y atlantico
- Globo terraqueo elementos cartograficos para su lectura
- Sistemas de mediciones de angulos
- Estabilizadores de aleta
- Planos y superficies
- O que são segmentos de reta perpendiculares
- Superficies solo cedit
- Línea intersección de dos superficies
- Superficies secundarias de un avion
- Fuerzas sobre superficies planas sumergidas
- Superfícies equipotenciais
- 09112007 color
- Interpretao
- Curvas roc spss
- Instituto puerto de mejillones
- Curvas cot adn
- Terreno dibujo
- Linhas retas e curvas
- Curvas de solubilidad
- Problemas de solubilidad
- Curvas características
- Orientacion dubitativa
- Curvas de solubilidad
- Rntaeg
- Curvas conicas en la vida cotidiana
- Tipos de curvas en el espacio
- Curvas de nivel isotermas
- Asincronia de flujo
- Interpolação linear
- Setas curvas
- Curvas de templabilidad
- Curvas y mapas de indiferencia
- Curvas de indiferencia atipicas
- Metodos numericos
- Sistema material
- As curvas
- Curva vital
- Area entre dos curvas
- Retas tangentes
- Enfoque de las curvas de indiferencia
- Ufmg as curvas i e ii representam caminhos possiveis
- Insulinas curvas
- Curvas de schade
- Curvas de indiferencia ejemplos
- Tipos de curvas
- Insulinas curvas
- Curva de capabilidad de un generador sincrono
- Acidos organicos
- Estereoespecificidade
- Um recipiente termicamente isolado contém 500g de água