Complexe getallen Wiskunde D 8 1 Rekenen met

Complexe getallen Wiskunde D

8. 1 Rekenen met complexe getallen •

Getallenverzamelingen •

Getallenverzamelingen •

Verzameling van de complexe getallen •

Verzameling van de complexe getallen •

Rekenen met complexe getallen •

Breuken herleiden

Eenvoudiger schrijven… • •

De geconjugeerde van z •

Soms met kwadraatafsplitsen… •

8. 2 Het complexe vlak • • Het complexe vlak Optellen van vectoren Modulus en argument van een complex getal Poolcoördinaten

Het complexe vlak Complexe getallen kun je niet plaatsen op een getallenlijn >> Imaginaire as toevoegen

Het complexe vlak

Het complexe vlak Teken in het complexe vlak de verzameling van alle getallen z waarvoor geldt: a. Re(z)=5 b. Re(z)=Im(z) c. Im(z)<3 d. -2 < Re(z) < 4 e. (Re(z))2 + (Im(z))2 = 16 f. Re(z) < 2 • Im(z)

Oplossingen

Optellen van vectoren Vector: van O naar het punt in het complexe vlak

Optellen van vectoren Kop-staartmethode Parallellogram

Optellen van vectoren Teken in het complexe vlak de volgende optelling: 4 + (2 - 3 i) + (i + 5)

Optellen van vectoren Teken in het complexe vlak de volgende optelling: 4 + (2 - 3 i) + (i + 5)

Modulus van een complex getal Modulus of absolute waarde = lengte van de vector die bij het complexe getal hoort

Modulus van een complex getal •

Modulus van een complex getal •

Modulus van een complex getal •

Argument van een complex getal •

Argument van een complex getal •

Argument van een complex getal •

Argument berekenen Hoe berekenen we de hoek?

Argument berekenen •

Argument berekenen •

Notatie met poolcoordinaten •

Notatie met poolcoordinaten •

Notaties • •

Notaties • •

Complexe getallen 8. 3 De stelling van de Moivre

Wat doet vermenigvuldigen van vectoren?

Wat doet vermenigvuldigen van vectoren? r=1

Vermenigvuldigen met poolcoordinaten

Hoe zit dat met delen? •

Bereken de modulus en een argument (3 + 3 i) • (2 + 2 i) (3 + 3 i) / (2 + 2 i)

Bereken de modulus en een argument (3 + 3 i) • (2 + 2 i) (3 + 3 i) heeft r = 3√ 2 en j = 45º (2 + 2 i) heeft r = 2√ 2 en j = 45º Samen geeft dat r = 12 en j = 90º (3 + 3 i) / (2 + 2 i) Delen geeft r = 1, 5 en j = 0º

Machtsverheffen Als je bijvoorbeeld wilt uitrekenen (1 + i)6 dan is dat (1 + i)(1 + i) Maar 1 + i = Ö 2 • (cos 45º + isin 45º) (1 + i) • (1 + i) = Ö 2 • Ö 2 (cos 90º + isin 90º) (1 + i) • (1 + i) = Ö 2 • (cos 135º + isin 135º) … (1 + i)6 = (Ö 2)6 • (cos (6 • 45º) + isin(6 • 45º))

Algemeen als z = r • (cosj + isinj) dan is zn = rn • (cosnj + isinnj) Dus modulus tot de macht n En argument keer n

Algemeen •

Herleiden zonder GR! (2 + 2 i)3 (Ö 2 + iÖ 2)6

Herleiden zonder GR! (2 + 2 i)3 2 + 2 i heeft r = Ö 8 en j = tan-1(1) = 45º (2 + 2 i)3 heeft dan r = (Ö 8)3 = 8Ö 8 en j = 3 • -45º = -135º Dat is het getal 8Ö 8(cos(-135º) + isin(-135º)) = -16 - 16 i (Ö 2 + iÖ 2)6 Ö 2 + iÖ 2 heeft r = 2 en j = tan-1(1) = 45º (Ö 2 + iÖ 2)6 heeft dan r = 26 = 64 en j = 6 • 45º = 270º Dat is het getal 64(cos(270º) + isin(270º)) = -64 i

Voorkennis TEST •

Voorkennis TEST •

Complexe wortels •

Complexe wortels •

Complexe wortels •

Complexe wortels •

Complexe wortels Er zijn MEER oplossingen die voldoen…

Complexe wortels

Complexe wortels zn = a heeft n oplossingen. die oplossingen liggen op de hoekpunten van een regelmatige n -hoek. Gebruik bij het oplossen zn = rn • (cosnj + isinnj)

Leuk voorbeeldje •

Oplossingen •

Los op in de vorm a+bi z 5 = -32 z 3 = 6 + 4 i

Los op in de vorm a+bi z 5 = -32 = 32(cos(p + k 2 p) + isin(p + k 2 p)) z = 2(cos(1/5 p + k 2/5 p) + isin(1/5 p + k 2/5 p)) z 1 = 2(cos 1/5 p + isin 1/5 p) = 1, 62 + 1, 18 i z 2 = 2(cos 3/5 p + isin 3/5 p) = -0, 62 + 1, 90 i z 3 = 2(cosp + isinp) = -2 z 4 = 2(cos 7/5 p + isin 7/5 p) = -0, 62 - 1, 90 i z 5 = 2(cos 9/5 p + isin 9/5 p) = 1, 62 - 1, 18 i

Los op in de vorm a+bi z 3 = 6 + 4 i = √ 52(cos(a + k 2 p) + isin(a + k 2 p)) met tana = 4/6 dus a = 0, 59 z = 521/6(cos(0, 20 + k 2/3 p) + isin(0, 20 + k 2/3 p)) z 1 = 521/6(cos 0, 20 + isin 0, 20 ) = 1, 89 + 0, 38 i z 2 = 521/6(cos 2, 29 + i sin 2, 29) = -1, 27 + 1, 45 i z 3 = 521/6(cos 4, 38 + isin 4, 38) = -0, 62 - 1, 83 i

Complexe getallen 8. 4 Complexe functies

Terugblik vorige les •

Terugblik vorige les •

Terugblik vorige les •

Complexe functies •

Complexe functies •

Handig om te weten… Rechte lijnen blijven rechte lijnen Cirkels blijven cirkels

Complexe functies •

Complexe functies •

Complexe functies •

Complexe functies •

Complexe functies •

Complexe functies •

Complexe functies •

Complexe functies •

Complexe functies •

Complexe functies

Complexe functies Welke functie hoort hierbij? ?

Complexe functies •

Complexe functies •

Complexe functies a. f(-3 + 4 i) = -12 - 14 i f( 5 + 10 i) = -44 + 12 i f(3 - 4 i) = 14 + 18 i f(11 + 2 i) = -18 + 44 i b. z = (-1 + 4 i) • z + 1 + 2 i z - (-1 + 4 i)z = 1 + 2 i z(2 - 4 i) = 1 + 2 i z = (1 + 2 i)/(2 - 4 i) z = (1 + 2 i)/ (2 - 4 i) • (2 + 4 i)/(2 + 4 i) = (2 + 4 i - 8)/(4 + 16) = (-6 + 8 i)/20 = -0, 3 + 0, 4 i c. (-1 + 4 i) • z + 1 + 2 i = (-1 + 4 i) • 1/z + 1 + 2 i (-1 + 4 i) • z 2 + (1 + 2 i) • z = (-1 + 4 i) + (1 + 2 i) • z (-1 + 4 i) • z 2 = (-1 + 4 i) z 2 = 1 z = 1 v z = -1