COMBINATORICA Probleme de numarare PERMUTARI Daca A este

COMBINATORICA Probleme de numarare

PERMUTARI • Daca A este o multime cu n elemente atunci orice multime ordonata formata din toate elementele sale se numeste permutare a lui A. • Ex: A={1, 2, 3} • Permutarile lui A: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) • Numarul permutarilor lui A este n!

Exercitii • In cate moduri se pot aranja numerele de la 100 astfel incat numerele pare sa fie pe pozitii impare si numerele impare pe pozitii pare? • In cate moduri pot fi aranjate numerele de la 1 la n astfel incat numerele 1 si 2 sa fie vecine in aceasta ordine?

ARANJAMENTE • Se numesc aranjamente de n elemente luate cate k (k<n+1) submultimile ordonate formate cu cate k elemente ale lui A. Numarul lor este • Ex: A={1, 2, 3, 4} • Aranjamentele de k=2 elemente ale lui A sunt: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (2, 1), (3, 2), ( 4, 2), (4, 3).

Exercitii • Din 10 discipline trebuie alcatuit un orar pentru o zi , format din 5 discipline. In cate moduri poate fi alcatuit orarul? • Cate numere de 4 cifre distincte se pot alcatui folosind cifre din multimea A={1, 2, … 8} ? • In cate moduri poate fi confectionat un steag tricolor, avand la dispozitie 7 culori?

COMBINARI • Submultimile cu cate k elemente ale unei multimi cu n elemente se numesc combinari de n elemente luate cate k. Numarul lor este • Ex: A={1, 2, 3, 4} Combinarile lui A de cate k=2 elemente sunt: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}

Exercitii • Intr-o clasa sunt 12 baieti si 15 fete. Se formeaza o echipa de schiori din 3 baieti si 4 fete. In cate moduri se poate forma echipa? • Dintr-un pachet de 52 carti de joc se extrag 5 carti. In cate cazuri printre cele 5 carti se gaseste cel putin un as?

Exercitii • Cate triunghiuri formeaza 8 puncte in plan, oricare trei necoliniare? • Cate diagonale are un poligon convex cu n laturi? • O multime are 25 elemente. Aflati numarul submultimilor cu cel mult 4 elemente.

Formule pentru combinari • Numarul submultimilor cu k elemente este egal cu numarul submultimilor cu n-k elemente al unei multimi cu n elemente. • Formula de recurenta a combinarilor:

Formulă • - • Numarul submultimilor cu 0, 1, 2, . . . , n elemente este egal cu numarul total de submultimi ale unei multimi cu n elemente, deci 2 n.

Binomul lui Newton • Membrul drept al relatiei se numeste dezvoltarea binomului a+b la puterea n. • Termenii din dezvoltare au forma generala:

Aplicație • Arătați că există xn și yn naturale astfel încât. • Arătați că perechea este soluție a ecuației. • Se poate demonstra ca toate solutiile ecuatiei sunt perechile de mai sus.

Soluție • Înmulțind cele două relații obținem:

Permutări cu repetiție • Avem n obiecte de k tipuri: n 1 obiecte de tip 1, n 2 obiecte de tip 2, . . . , nk obiecte de tip k, astfel încât n 1+n 2+. . . +nk=n. • O permutare a acestor obiecte se numeste permutare cu repetiție. • Ex: Numerele sunt 2, 3, 3. Permutările sunt (2, 3, 3), (3, 2, 3), (3, 3, 2). Dacă numerele erau distincte aveam 3!=6 permutări, având însă și numere egale, sunt numai 3 permutări.

Numărul permutărilor cu repetiție • Cele n 1 elemente de tip 1 se pot plasa în moduri pe cele n poziții ale permutării, cele n 2 elemente de tip 2 se pot plasa în moduri pe pozițiile rămase, . . . , cele nk obiecte de tip k se pot plasa în moduri. • Numărul total de moduri va fi :

Exercițiu • Avem un suport pentru bile cu 12 găuri. În câte moduri putem aranja 3 bile albe , 5 bile negre și 4 bile roșii pe suport? •

Aranjamente cu repetiție • Avem un numar infinit de obiecte de tipurile t 1, t 2, . . . , tk. În câte moduri putem așeza obictele pe n poziții? • Răspuns: pe fiecare poziție din cele n avem k variante de a pune un obiect, deci în total vor fi nk moduri. • Ex: Un cuvânt de lungime 5 se poate forma din literele: A, B, C. Câte cuvinte se pot forma?

Combinări cu repetiție • Avem un numar infinit de obiecte de tipurile t 1, t 2, . . . , tk. În câte moduri putem alege n obiecte dintre acestea ? • Răspuns: Considerăm k+1 bare verticale: |||…|. Exceptând prima și ultima bară, între acestea se vor găsi n obicte și k-1 bare, deci n+k-1 simboluri. Între două bare consecutive vor fi obicte de același tip. Problema este să alegem k-1 poziții din cele n+k-1 în care să așezăm barele. • Acest lucru se poate face în moduri

Aplicații • Fie n și k numere naturale nenule. Numărul n se poate scrie ca sumă de k numere naturale în moduri. • Numărul de drumuri (mergând numai spre dreapta sau în sus ) de la origine până în punctul A(n, k) este