COMBINATORIA Por Jorge Snchez PRINCIPIO DE LA SUMA

COMBINATORIA Por Jorge Sánchez

PRINCIPIO DE LA SUMA Sí una elección puede hacerse de varias formas que se excluyen entre sí, es decir, que no se pueden tomar simultáneamente, el número posible de elecciones es igual a la suma de las posibilidades de cada forma. La carta de un restaurante incluye 8 platos de pasta, 6 platos de carne y 5 platos de pescado. Queremos comer un solo plato. ¿De cuántas maneras distintas podemos elegir? PRINCIPIO DEL PRODUCTO Si una elección tiene que hacerse de varias elecciones independientes entre sí, el número total de elecciones es el producto de las posibilidades de cada elección. La carta de un restaurante incluye 8 primeros platos , 6 segundos y 5 postres. Queremos comer un plato de cada tipo. ¿De cuántas maneras distintas podemos elegir?

PAPIRO DE RHIND Fue escrito por Ahmes aproximadamente en el año 1650 A. C. Consta de 87 problemas. El problema 79 es de combinatoria.

As I was going to St. Ives, I met a man with seven wives. Each wife had seven sacks. Each sack had seven cats. Each cat had seven kits. Kits, cats, sacks, and wives. How many were there going to St. Ives? St. Ives Mother Goose Según iba a St. Ives, me crucé con un hombre con 7 esposas. Cada esposa tenía 7 sacos, cada saco tenía 7 gatos, cada gato tenía 7 gatitos. Gatitos, gatos, sacos y esposas. ¿Cuántos iban a St. Ives? La mamá oca de San Ives

Hombres Esposas Sacos Gatitos

Según iba a St. Ives, me crucé con un hombre con 7 esposas. Cada esposa tenía 7 sacos, cada saco tenía 7 gatos, cada gato tenía 7 gatitos. Gatitos, gatos, sacos y esposas. ¿Cuántos iban a St. Ives? La mamá oca de San Ives Pero la respuesta al problema es 1. En realidad, a St. Ives sólo iba yo.

FACTORIAL Y NÚMEROS COMBINATORIOS

COMBINATORIA La combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma.

COMBINATORIA ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0 rden? ¿Se repiten elementos? Sí Sí Sí No No Permutación con repetición Permutación Sí Sólo uno No No Sí Variación con repetición No Variación Sí No Combinación con repetición Combinación

PERMUTACIONES Tenemos n elementos. Debemos usarlos todos. No podemos repetir. 1ª posición 2ª posición 3ª posición n-ésima posición

Ejemplo 1: ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 10 alumnos en una clase con 10 pupitres? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0 rden? Sí Sí Sí No ¿Se repiten elementos? No No Permutación

Ejemplo 2: ¿De cuántas maneras distintas se puede ordenar una baraja de póker de 52 cartas? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0 rden? Sí Sí Sí No ¿Se repiten elementos? No No Permutación

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN Tenemos un elemento repetido n 1 veces, otro repetido n 2, …, otro repetido nk. n 2+…+ nk=m. Debemos usarlos todos. Si fuesen distintos El mismo grupo aparece repetido Lo mismo para el resto de repeticiones n 1+

Ejemplo 3: ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules? ¿Intervienen todos los elementos? Sí No ¿Se repiten elementos? ¿Importa el 0 rden? Sí Sí No No Permutación con repetición

Ejemplo 4: ¿Cuántas palabras distintas (con o sin sentido) podemos construir utilizando todas letras de MISSISSIPPI ? ¿Intervienen todos los elementos? Sí No ¿Se repiten elementos? ¿Importa el 0 rden? Sí Sí No No Permutación con repetición

Ejemplo 5: ¿Cuántos caminos distintos podemos recorrer desde casa al trabajo? (Cada movimiento debe acercarnos al trabajo). DDADADDADDA D

Ejemplo 5: ¿Cuántos caminos distintos podemos recorrer desde casa al trabajo? (Cada movimiento debe acercarnos al trabajo). ¿Intervienen todos los elementos? Sí No ¿Se repiten elementos? ¿Importa el 0 rden? Sí Sí No No Permutación con repetición

VARIACIONES Tenemos m elementos. Sólo usamos n elementos. No podemos repetir. 1ª posición 2ª posición 3ª posición n-ésima posición

Ejemplo 6: ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 7 alumnos en una clase con 10 pupitres? Alumno 1 Alumno 2 Alumno 3 Alumno 4 Alumno 5 Alumno 6 Alumno 7 Pupitre 1 Pupitre 2 Pupitre 3 Pupitre 4 Pupitre 5 Pupitre 6 Pupitre 7 Pupitre 8 Pupitre 9 Pupitre 10 Pupitre 3 Pupitre 7 Pupitre 1 Pupitre 8 Pupitre 4 Pupitre 5 Pupitre 10

Ejemplo 6: ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 7 alumnos en una clase con 10 pupitres? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0 rden? ¿Se repiten elementos? Sí Sí No No Variación

Ejemplo 7: ¿Cuantos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras del sistema decimal 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0 rden? ¿Se repiten elementos? Sí Sí No No Variación

VARIACIONES CON REPETICIÓN Tenemos m elementos. Sólo usamos n elementos. Podemos repetir. 1ª posición 2ª posición 3ª posición n-ésima posición

Ejemplo 8: ¿Cuantos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras del sistema decimal 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0 rden? ¿Se repiten elementos? Sí Sí No No Variación con repetición

Ejemplo 9: ¿Cuantos décimos de la lotería nacional hay? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0 rden? ¿Se repiten elementos? Sí Sí No No Variación con repetición

Ejemplo 10: ¿Cuantos boletos distintos de la quiniela se pueden rellenar? ¿Intervienen todos los elementos? Sí No ¿Importa el 0 rden? x x x Sí x x x No ¿Se repiten elementos? Sí Variación con repetición No x x

COMBINACIONES Tenemos m elementos. Sólo usamos n elementos. No podemos repetir. Si importara el orden tendríamos Pero como no importa cada grupo está repetido

Ejemplo 11: ¿Cuantos boletos distintos de la lotería primitiva se pueden rellenar? x ¿Intervienen todos los x elementos? x Sí x x x No ¿Importa el 0 rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Combinación

Ejemplo 12: ¿De cuántas maneras distintas se pueden repartir 5 cartas de una baraja de póker de 52 cartas? ¿Intervienen todos los elementos? Sí No ¿Importa el 0 rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Combinación

COMBINACIONES CON REPETICIÓN Tenemos m elementos. Usamos n elementos. Podemos repetir. Del 1 er elemento usamos Del 2º elemento usamos Del m-ésimo elemento usamos 11111… 110111… 110… 011… 1 11111… 110 Hay n unos y m grupos de unos Hay n unos y m-1 ceros

Ejemplo 13: ¿De cuántas maneras distintas se pueden repartir 4 entradas de cine entre 8 personas? De las 8 personas he de elegir a 4, pero puedo repetir. ¿Intervienen todos los elementos? Sí No ¿Importa el 0 rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Combinación con repetición

Problema: ¿De cuántas maneras distintas se puede conseguir una doble pareja al repartir 5 de las 52 cartas de una baraja de póker? 1ª pareja 2ª pareja nº distinto

TRIÁNGULO DE TARTAGLIA 1 1 2 1 3 1 1 10 1 3 6 4 5 1 4 10 1 5 1

1 1 1 7 1 1 1 8 9 2 4 5 6 1 1 3 3 1 Números pentagonales triangulares tetraédricos 1 4 6 1 5 10 10 15 20 15 1 1 6 28 28 56 70 56 36 84 126 84 1 7 21 35 35 21 36 8 1 9 1

TRIÁNGULO DE TARTAGLIA 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 36 posibles caminos

Halla probabilidad de que caiga en el centro. 1 4 6 4 1

BINOMIO DE NEWTON

Ejemplo: 1 5 10 10 5 1