Combinando los 3 ingredientes fundamentales el oscilador con

Combinando los 3 ingredientes fundamentales, el oscilador (con masa) amortiguado Oscilar en un mundo viscoso es difícil y requiere energía. Las oscilaciones se vuelven mas difíciles a medida que la masa decrece y se pierde inercia. En el mundo de las moléculas biológicas las oscilaciones son raras y en general requiere de un mecanismo activo (una fuerza que provee energía) que las sostenga. Los cambios conformacionales de proteínas suelen no tener rebote.

La dificultad de oscilar en un mundo viscoss. ¿Cómo modelar con los ingredientes mecánicos del aparato mecanico transductor de presion a corriente? Las células ciliares en la cochlea:

5 mm (P. Gillespie, U. of Oregon)

Oscilaciones en un medio viscoso: Primer punto de partida, acercamiento empírico. F

Oscilaciones en un medio viscoso: Punto de partida teorico como siempre, las ecuaciones de Newton. F La ecuación diferencial de Newton

Oscilaciones en un medio viscoso: Punto de partida, como siempre, las ecuaciones de Newton. F La ecuación diferencial de Newton Expresado en terminos de una funcion incognita (x) y sus derivadas ( v y a) Resolvamos primero el caso en el que F=0. Un oscilador “solo” en un medio viscoso.

De ecuaciones diferenciales a un polinomio… F Y como siempre, proponemos y usamos, para pasar de la ecuación diferencial a una ecuación polinomica:

De ecuaciones diferenciales a un polinomio una vez más función conocida F Yemplazando cada derivada se obtiene

Resolviendo el oscilador amortiguado F Problema conocido

Una solución conocida F Problema conocido Que nos dice esta ecuacion (antes de resolverla)

Que puede concluirse de esta solucion F

Distintos escenarios posibles: 1) Viscosidad domina F 1) Raiz es > 0

Raíz positiva. Un mundo viscoso (el de las proteínas) La masa y la elasticidad no llegan a generar ni una oscilación. F 1) Raiz es > 0 1) La solución no tiene componente compleja y luego no hay oscilaciones. 2) Lambda es positivo (ver porque) y por lo tanto la solución es una exponencial decreciente. 3) El resultado es por lo tanto como el de un amortiguador con la constante de tiempo modificada por la presencia de la masa y de la constante elástica.

Distintos escenarios posibles: 2) La masa y la elasticidad llegan a oscilar superando la viscosidad. F 2) Raiz es < 0 <0

Raíz negativa, como resolverla. . . F 2) Raiz es < 0 >0 Entonces la raiz es positiva por -1.

Raíz (negativa) imaginaria luego oscilaciones F 2) Raiz es < 0 i factoriza como la raiz de -1

El reino de las oscilaciones. F 2) Raiz es < 0 Decaimiento exponencial constante: Oscilaciones con periodo

El reino de las oscilaciones. F Decaimiento exponencial constante: Oscilaciones con periodo

El reino de las oscilaciones. 2) Raiz es < 0 1) La solución tiene componente compleja y luego resulta de una mezcla de oscilaciones y un decrecimiento exponencial. 2) Las constantes de tiempo se factorizan: oscilador con masa por un lado y amortiguador con masa por el otro. 3) La constante de tiempo del decaimiento aumenta con la masa y decrece con la viscosidad. 4) La constante de tiempo de la oscilación aumenta con la masa y decrece con k

El compromiso entre dos términos. 2) ¿Por qué? La física de este problema queda establecida por un compromiso entre la disipación (dada por la viscosidad) y la tendencia a oscilar que aumenta con la elasticidad y la masa. Todo el problema se reduce esencialmente a comparar los dos tiempos críticos (el decaimiento exponencial y el periodo de la oscilación) y a entender que contribuye a cada tiempo critico.

EL TIEMPO DE DISIPACION Y EL TIEMPO DE RELAJACION F F

EL TIEMPO DE DISIPACION Y EL TIEMPO DE RELAJACION F F

Tiempo de experimentos (simulaciones) Segunda parte, validación de un modelo teorico. F

Energía en un oscilador viscoso Conocido x(t) podemos calcular también v(t) y por lo tanto la energía, según la fórmula: Reemplazando la educación del movimiento se obtiene la siguiente formula para la energía:

Energía en un oscilador viscoso Dos conclusiones importantes dos: 1) La energía no se conserva, o, dicho de otra manera, oscilar (y en general moverse) en un mundo viscoso cuesta. 2) La perdida de energía no depende de la constante elástica.

Energía en un oscilador viscoso 2) La perdida de energía no depende de la constante elástica. Vimos que el movimiento puede factorizarse en el producto de un decaimiento exponencial y de una oscilación. El decaimiento exponencial es el único de estos factores que altera la energía. La oscilación establece un proceso conservativo de flujo de energía cinética a potencial (y la velocidad de este flujo SI depende de k) conservando el total de energía. De hecho en el caso extremo en el que la viscosidad es cero, el problema es conservativo, cada ciclo de la oscilación tiene la misma energía y, por lo tanto, la misma amplitud.

Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario. F Si un agente externo es capaz de entregar en cada ciclo la misma cantidad de energia que disipa el sistema, entonces se alcanza un estado oscilatorio estacionario de amplitud constante.

Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario. F Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?

Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario. F Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones? Respuesta: NO. Ya vimos anteriormente que el trabajo de una fuerza constante a lo largo de un ciclo es necesariamente cero (esencialmente porque en la mitad del ciclo empuja (fuerza en mismo sentido que el desplazamiento, trabajo positivo) inyectando energía y en la otra mitad del ciclo frena (fuerza en el sentido inverso al desplazamiento, trabajo negativo) quitando por lo tanto energía.

Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario. F Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones? Respuesta: NO. Versión grafica del mismo argumento. Velocidad F

El oscilador amortiguado disipa energía porque la fuerza viscosa es SIEMPRE opuesta a la velocidad. F La fuerza viscosa esta “contra fase” con la velocidad, resultando en una perdida de energia (disipacion) en cada ciclo. Debido a esta perdida de energia la velocidad disminuye con lo que la perdida de energia en el proximo ciclo es menor y asi siguiendo resultando, como ya vimos, en una exponencial. Velocidad F

Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario. F F(t) Una fuerza “sincronizada” con el desplazamiento inyecta energia en el sistema. Un oscilador forzado tiene una energia incial; si la energia disipada (porque la velocidad inicial no es suficientemente grande) es menor que la inyectada el sistema aumenta la energia en cada ciclo con lo que la velocidad aumenta, la energia disipada es mayor. . . El estado estacionario se alcanza cuando se llega a una velocidad promedio (sin signo) tal que la energia disipada (por la viscosidad) es igual a la absorvida (entregada por la fuerza externa). Velocidad F Viscosa Forzado Ext

ALGUNOS OSCILADORES: Viola d'amore (Siglo XVII) cuerdas simpateticas

ALGUNOS OSCILADORES: El Sitar (Siglo XII) entre 11 y 19 cuerdas simpateticas

ALGUNOS OSCILADORES: El Puente de Tacoma (1940)

Mas vale tarde que nunca…

El oscilador amortiguado y forzado: Newton aun. . . F F(t) Como siempre, la ecuación diferencial (de Newton) es el punto de partida para entender el movimiento. Una vez más, y dado que esta es una ecuación diferencial lineal, proponer una función exponencial (con exponente real e imaginario) convierte esta ecuación diferencial en una ecuación algebraica en el exponente. Reemplazando la exponencial genérica en la ecuación diferencial, planteando la ecuación algebraica y resolviéndola se obtiene:

El oscilador amortiguado y forzado: Solución estacionaria. F F(t) La solución a esta ecuación diferencial depende, como las otras que hemos visto, de las condiciones iniciales. Siendo una ecuación de segundo orden quedan dos parámetros a ajustar (físicamente, la velocidad y posición inicial). La solución estacionaria de esta ecuación es independiente de las condiciones iniciales tal como sucede con las otras posiciones de equilibrio que hemos visto. Así como en las soluciones exponenciales el estado de equilibrio corresponde a un punto fijo, aquí la solución estacionaria “de equilibrio” corresponde a una oscilacion.

El oscilador amortiguado y forzado: Solución estacionaria. F F(t) Independiente de las condiciones iniciales La solución a esta ecuación diferencial depende, como las otras que hemos visto, de las condiciones iniciales. Siendo una ecuación de segundo orden quedan dos parámetros a ajustar (físicamente, la velocidad y posición inicial). La solución estacionaria de esta ecuación es independiente de las condiciones iniciales tal como sucede con las otras posiciones de equilibrio que hemos visto. Así como en las soluciones exponenciales el estado de equilibrio corresponde a un punto fijo, aquí la solución estacionaria “de equilibrio” corresponde a una oscilacion.

Una aproximación empírica a la solución estacionaria. SIMULACIONES 1 F F(t) Independiente de las condiciones iniciales Estudiar computacionalmente el comportamiento “asintotico” de este problema fisico.

Crónica de una oscilación Posición Velocidad (Punto de equilibrio) x=0 Posición en el punto de equilibrio y velocidad positiva y de modulo máximo

Crónica de una oscilación Posición Velocidad (Punto de equilibrio) x=0 Durante este cuarto de ciclo la posición es positiva así como la velocidad. A medida que aumenta la posición, la velocidad disminuye.

Crónica de una oscilación Posición Velocidad (Punto de equilibrio) x=0 Posición en el punto máximo (positivo), la velocidad es 0 y cambia de signo.

Crónica de una oscilación Posición Velocidad (Punto de equilibrio) x=0 Durante este cuarto de ciclo de la oscilación, x es positiva pero la velocidad es negativa.

Crónica de una oscilación Posición Velocidad (Punto de equilibrio) x=0 Medio ciclo completado, la posición vuelve a ser la misma pero la velocidad se ha invertido. Nótese que entre pi/2 y 3 pi/2 se da la situación inversa. . .

Crónica de una oscilación Posición Velocidad (Punto de equilibrio) x=0 Durante este cuarto de ciclo de la oscilación tanto x como la velocidad son negativas.

Crónica de una oscilación Posición Velocidad (Punto de equilibrio) x=0 Durante este cuarto de ciclo de la oscilación, x es NEGATIVA y la velocidad es POSITIVA.

Crónica de una oscilación Posición Velocidad (Punto de equilibrio) x=0 Luego de estos cuatro cuartos (cada uno de pi/2) el ciclo se ha completado. Fase de 0 o de 2 pi es estrictamente lo mismo.

Crónica de una oscilación y de como (y cuando) inyectarle energía. Velocidad Positiva Velocidad Negativa x t

Crónica de una oscilación y de como (y cuando) inyectarle energía. x Velocidad Positiva Velocidad Negativa Fuerza t

Crónica de una oscilación y de como (y cuando) inyectarle energía. v>0 v<0 v>0 F>0 F<0 +E -E Velocidad Positiva Velocidad Negativa Fuerza t x Si el movimiento y la fuerza están en fase, la transferencia de energía es 0

Crónica de una oscilación y de como (y cuando) inyectarle energía. v>0 v<0 v>0 F<0 F>0 +E +E Velocidad Positiva Velocidad Negativa Fuerza t x La transferencia de energía es optima cuando la diferencia de fase es un cuarto de ciclo, es decir cuando la fuerza es proporcional a la velocidad.

Una aproximación empírica a la solución estacionaria. F F(t) Independiente de las condiciones iniciales Estudiar computacionalmente el comportamiento “asintotico” de este problema fisico.

Una aproximación empírica a la solución estacionaria. F F(t)

Solución analitica a la solución estacionaria. F F(t)

Solución analitica a la solución estacionaria. F Conclusión 1: La solucion estacionaria oscila con la amplitud del forzado. F(t)

Solución analitica a la solución estacionaria. F F(t) Conclusión 1. 1: Tanto la amplitud como la relacion de fase quedan determinadas por m, w, k, gama, F. Es decir estas no son constantes libres de la ecuación diferencial. La solución estacionaria es insensible a las condiciones iniciales y depende solamente de la relación entre el oscilador y el forzado.

Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso) F(t)

Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso) ENCONTRAR LAS TRES DIFERENCIAS

Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso) F(t) Conclusión 2: La energía del oscilador en el estado estacionario es constante, se ha llegado a un balance entre la energía disipada y absorbida por ciclo. La energía del oscilador es igual al cuadrado de la amplitud y por lo tanto depende de los parámetros físicos del oscilador y de cierta relación de “coherencia” entre estos y el forzado.

Amplitud del forzado en funcion de los parametros fisicos. F(t) k=5, m=1 γ =0. 2 γ=0. 4 Dos términos positivos. La función será máxima cuando cada uno se minimice. 1)La amplitud (y por ende la transferencia de energía) es máxima cuando la frecuencia del forzado es igual a la frecuencia natural del oscilador. 2) La amplitud máxima es inversamente proporcional a la viscosidad. Nótese que para viscosidad cero es infinita. ¿Porque?

Amplitud del forzado en funcion de los parametros fisicos. F(t) g=0. 2 k=5, m=1

Amplitud del forzado en funcion de los parametros fisicos. F(t) k=30, m=1 Cambio de escala g=0. 5 g=2

Amplitud del forzado en funcion de los parametros fisicos. F(t) k=30, m=1 g=0. 5 g=2 El ancho de la curva de amplitud escalea con la viscosidad y disminuye con la raíz de la masa y la constante elástica. Nótese que esta comparación es equivalente al cociente para determinar si un oscilador no forzado llega a oscilar o no. g=2

Amplitud del forzado en función de la masa. F(t) m=3 Aumentar la masa resulta en frecuencias mas bajas y un mundo “en aparencia” mas viscoso. m=1

Espectro, una función de transferencia. F(t) Conclusión 3: Un objeto físico compuesto por una masa, un resorte y un medio viscoso (oscilador forzado amortiguado) puede pensarse como un objeto con una función de respuesta a una entrada. Es un filtro, un procesador. Dada una función de entrada cos(wt) responde con la misma frecuencia multiplicado por un factor. Este factor esta dado por el ESPECTRO o CURVA DE RESONANCIA, que es característico y que establece una huella digital del objeto. En realidad el objeto “es” su espectro. La funcion de transferencia, o espectro, tiene un maximo en la frecuencia natural del oscilador y un ancho proporcional a la viscosidad e inersamente proporcional a su “oscilaridad”.

¿Y este quien es?

El secreto de la vida

Oscillating oil drops, resonant frequencies, and low-frequency passive seismology Geophysics 75, O 1 (2010); Published 20 January 2010 Michael K. Broadhead 1 1 Saudi Aramco, Dhahran, Saudi Arabia. E-mail: michael. broadhead@aramco. com. A recent passive seismic technology in the oil industry, sometimes referred to as hydrocarbon microtremor analysis (also low-frequency spectroscopy), claims high correlation in some instances between the presence of hydrocarbons and low-frequency spectral anomalies (elevated spectral energy levels) computed from passively recorded seismic data. These observations have been reported for a number of different geographic locations. One of the difficulties in assessing this method is the lack of a physical basis for explaining the empirically observed effects. A potential explanation that has appeared in the literature can be referred to as the resonant amplification model. The main idea of the model is that, because of capillary effects, an oil drop in a rockpore will oscillate at a resonant frequency when driven by the ambient noise field of the earth. This resonance phenomenon is interpreted as a possible source of the spectral anomaly. I examined this model by numerical simulation but was unable to reproduce the amplification effect. I then considered one of the main input parameters, the resonant frequency itself. By computing resonant frequencies using theoretical models from the literature, I found that the resulting values are too high to be consistent with the frequency range of hydrocarbon microtremor analysis. Furthermore, I found that such resonances only exist for little or no viscous damping. When realistic damping is considered, there is no oil-drop resonance effect. The model, at least in its current form, does not appear to provide a promising direction for establishing a physical basis for hydrocarbon microtremor analysis.

Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso) Conclusión 4: La función de transferencia, además de definir una relación de amplitud, define una relación de fase. Esta función, veremos, es tal que progresa desde la sincronia hasta la anti-sincronia (diferencia de pi) a medida que crece la frecuencia del forzado. En el medio, al pasar por la frecuencia del oscilador, la fuerza es proporcional a la velocidad, lo que hace que la transferencia de energía sea maxima.

Fase del forzado en función de los parámetros físicos. k=5, m=1, g=0. 5

Fase del forzado en función de los parámetros físicos. F(t) k=5, m=1, g=0. 5

Espectro, una función de transferencia. Fase y amplitud k=30; gama=2; m=1; F(t)

Espectro, una función de transferencia. Fase y amplitud k=30; gama=0. 5; m=1; F(t)

Espectro, una función de transferencia. Fase y amplitud k=30; gama=0. 5; m=5; F(t)

Espectro, una función de transferencia. Fase y amplitud k=60; gama=0. 5; m=5; F(t)

Espectro, una función de transferencia: Fase y amplitud k=60; gama=0. 5; m=5; F(t) DILATACION ROTACION

Espectro, una función de transferencia. Un producto complejo. DILATACION ROTACION

Espectro, una función de transferencia compleja. Conclusión 3 Revisitada: Un objeto físico compuesto por una masa, un resorte y un medio viscoso (oscilador forzado amortiguado) puede pensarse como un objeto con una función de respuesta a una entrada, la multiplicacion por un numero complejo. Esto resulta en: multiplicar la amplitud por un factor, determinado por A(w) y cambiar la fase por un fa factor determinado por fi(w).

Un anticipo de Termo: « Base molecular de la pression » Un muy pequeño resumen del paso de variables microscópicas (el cambio de momento de cada partícula) a variables macroscópicas.

5 mm (P. Gillespie, U. of Oregon)

Frecuencia Base del sonido: frecuencia (otra vez las oscilaciones) 3 k. Hz 300 Hz Rango auditivo (humano): 20 Hz – 20, 000 Hz Ballenas y muercielagos: hasta 100, 000 Hz !!!

El verdadero protagonista, visto de cerca y en soledad. 2 mm (source: Hudspeth)

Manipulando al “verdadero protagonista”. Experimentos clasicos de resortes estirados en la escala molecular.

Transduccion mecano-eléctrica. La mecánica se vuelve corriente. El movimiento se vuelve calcio. 2 mm (source: Hudspeth)

La touffe ciliaire: Su conexion vista al fin (No admite, o no encuentro, traducción decente al español…) 200 nm 2 mm (source: Hudspeth)

LA COCHLEA: Detector de aceleraciones (equilibrio) y de cambios de presion en una banda de frecuencias (el piano invertido)

La voz: sonido complejo y las frecuencia puras una base del sonido. (Idea del Piano) El espectro visto en el tiempo, cada columna corresponde a la distribución en frecuencias del sonido en ese determinado instante (¿que es un instante? ). Una especie de partitura continua.

El piano extendido: Un órgano tonotópico, organizado linealmente en una escala logarítmica de frecuencias.

El piano extendido: Un órgano tonotópico, organizado linealmente en una escala logarítmica de frecuencias.

La luz extendida: Otra descomposicion en el espacio de frecuencias.

« Prisma Acustico » Georg von Békésy (1899 -1972) Hermann von Helmholtz (1821 -1894)

Una visión funcional de un aparato mecánico. Un resorte amortiguado es un objeto capaz de indicar la presencia de una dada frecuencia en el mundo externo. Conclusión 3 Revisitada: Un objeto físico compuesto por una masa, un resorte y un medio viscoso (oscilador forzado amortiguado) puede pensarse como un objeto con una función de respuesta a una entrada, la multiplicacion por un numero complejo. Esto resulta en: multiplicar la amplitud por un factor, determinado por A(w) y cambiar la fase por un fa factor determinado por fi(w).

Una cadena de resonadores afinados a frecuencias distintas. Espectros poco anchos requiere de un gran sampleo. Si suena esta frecuencia, este órgano detector de sonidos es incapaz de detectarla

Una cadena de resonadores afinados a frecuencias distintas. Espectros demasiado anchos resultan ambiguos y redundantes. Estas dos frecuencias son difíciles de distinguir (si estas curvas además tienen ruido, tal vez imposible…)

Una cadena de resonadores afinados a frecuencias distintas. Espectros que maximizan la información transmitida. Optimizando la información que transmite un órgano detector, tratar de cubrir la integridad del espacio con el mínimo posible de redundancia.

Breve nota: La resolución espectral no tiene porque ser (y de hecho no es) uniforme. Un órgano mas sensible a las altas que a las bajas frecuencias. Nótese que en cada frecuencia, el ancho y la separación entre dos detectores cavarían cerca de la situación optima.