Colgio Militar de Curitiba Mltiplos e Divisores Para

Colégio Militar de Curitiba Múltiplos e Divisores

Para assistir ao vídeo explicativo dessa apresentação eletrônica, clique no link abaixo: https: //drive. google. com/open? id=1 d. Ingq. Bvyz_4 h. Cwv 3 DFv. RN E 6 y. In. Gf 6 n 6 J Caso não queira assistir ao vídeo, avance para o próximo slide.

Antes de prosseguir essa apresentação eletrônica, veja o vídeo que fala sobre Múltiplos e Divisores clicando no link a seguir: https: //www. youtube. com/watch? v=lf. Jcr 3 m. Vc. SU Obs. : note que o sinal de divisão utilizado no vídeo é “meio diferente” do convencional. Apresentação feita com a grandiosa colaboração da prof. Raquel do Colégio Militar de São Paulo.

Você também pode encontrar esse conteúdo na página 106 do seu livro didático! Além dessas fontes, recomendo acessar o site https: //pt. khanacademy. org/ Lá você encontra todo o conteúdo de Matemática que estudamos estudaremos! e

Múltiplos

O que são os múltiplos? Múltiplo de um número natural é o produto desse número por um número natural qualquer. Lembre-se, produto é o resultado de uma multiplicação! Exemplos: Múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, . . . Múltiplos de 20: 0, 20, 40 , 60, 80, 100, 120, . . .

Podemos trocar, por exemplo, a sentença “Múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, . . . ” pela linguagem de conjuntos, da seguinte forma: M(3)={0, 3, 6, 9, 12, 15, . . . } Ver observações na página 109 do seu livro didático!

Continuação. . . mais exemplos: Múltiplos de 2 2 x 0 = 0 2 x 1 = 2 2 x 2 = 4 2 x 3 = 6 2 x 4 = 8 2 x 5 = 10 2 x 6 = 12 2 x 7 = 14 2 x 8 = 16 2 x 9 = 18 2 x 10 = 20 2 x 11 = 22. . . M(2)={0, 2, 4, 6, . . . } Múltiplos de 9 9 x 0 = 0 9 x 1 = 9 9 x 2 = 18 9 x 3 = 27 9 x 4 = 36 9 x 5 = 45 9 x 6 = 54 9 x 7 = 63 9 x 8 = 72 9 x 9 = 81 9 x 10 = 90 9 X 11 = 99. . . M(9)={0, 9, 18, . . . } Múltiplos de 20 20 x 0 = 0 20 x 1 = 20 20 x 2 = 40 20 x 3 = 60 20 x 4 = 80 20 x 5 = 100 20 x 6 = 120 20 x 7 = 140 20 x 8 = 160 20 x 9 = 180 20 x 10 = 200 20 x 11 = 220. . . M(20)={0, 20, 40, . . . } Observação: Para descobrir se um número é múltiplo de outro, podemos utilizar a divisão para nos ajudar. Exemplo: 260 é múltiplo de 20? Como a divisão é exata , 260 é múltiplo de 20. Pela propriedade fundamental da divisão podemos afirmar também que 260 é múltiplo de 13.

Utilizando a ideia de múltiplos para resolver problemas: Para aumentar a segurança, uma companhia responsável pela manutenção de uma rodovia decidiu instalar telefones de emergência a cada 12 quilômetros. Suponha que uma pessoa teve problemas em seu carro e utilizou um dos telefones e que, depois disso, seguiu viagem, passando por 5 telefones, mas novamente precisou parar e utilizar o próximo telefone. Quantos quilômetros ela percorreu entre uma ligação e outra? Resposta: Considerando que ele parou em um telefone, fez a ligação, seguiu viagem passando por 5 telefones e parou no 7º telefone, teremos que analisar os múltiplos de 12. M(12)={0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, . . . } 1ª ligação Passou por 5 telefones 2ª ligação Dessa forma, ele percorreu 72 km entre uma ligação e outra. 12 Km

Outro exemplo: Aline tem um cofre eletrônico em casa que utiliza uma senha de 4 dígitos. Ela disse à sua prima que poderia abrir ele se descobrisse a senha. Para isso ela deu as seguintes dicas: 1ª) O primeiro algarismo é um múltiplo de 3 e é par; 2ª) O segundo algarismo é múltiplo de 7; 3ª) O terceiro e quarto algarismos formam o maior múltiplo de 16 (com dois algarismos); 4ª) Nenhum algarismo se repete. Com base nessas informações, qual é a senha do cofre?

Solução: Vamos analisar cada dica: 1ª) O primeiro algarismo é um múltiplo de 3 e é par; M(3)={0, 3, 6, 9, 12, . . . } Logo, o primeiro algarismo pode ser 0 ou 6. 2ª) O segundo algarismo é múltiplo de 7; M(7)={0, 7, 14, 21, . . . } Logo, o segundo algarismo pode ser 0 ou 7. 3ª) O terceiro e quarto algarismos formam o maior múltiplo de 16 (com dois algarismos). M(16)={0, 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, . . . } Logo, só pode ser 96. 4ª) Nenhum algarismo se repete. Como nenhum algarismo se repete, a única possibilidade seria a senha 0 7 9 6.

Chega de enrolar. . . tá na hora de praticar!! Resolva os exercícios do seu livro didático: • Pág. 109 nº 1, 3, 4, 6 e 7; Para facilitar, as imagens do livro estão nos próximos slides!

Divisores

Vamos começar!! Um ano bissexto é um ano com 366 dias em vez de 365. A cada 4 anos acrescenta-se um dia ao final do mês de fevereiro. Esse dia a mais é acrescentado porque um ano não tem exatamente 365 dias, mas sim aproximadamente 365, 25 dias, ou seja, 365 dias + 6 horas. A cada 4 anos teremos 24 h a mais. Ao acrescentar um dia ao ano (a cada 4 anos) esse problema fica resolvido. Para saber se um ano é bissexto, normalmente, basta verificar se ele é divisível por 4, mas não é só isso! Ano Bissexto

A partir da determinação de que um ano solar possui 365, 2422 dias, dessa forma o ano bissexto aconteceria a cada quatro anos. Com isso, em 400 anos, teríamos 100 anos bissextos. Para que a contagem dos dias ficasse em sincronia com o ano solar, determinou-se que deveriam ser eliminados três anos bissextos. Com isso, em 400 anos, teríamos apenas 97 anos bissextos. (Fonte: https: //escolakids. uol. com. br/matematica/calculo-do-ano-bissexto. htm . Acesso em: 23 mar. 2020) Ano Bissexto

Por isso, existem outras regras para que um ano seja bissexto, são elas: ü O ano deve ser divisível por 4; ü Se o ano for divisível por 100, não é bissexto, exceto se; ü Ele também for divisível por 400 (nesse caso ele será bissexto). Exemplo: O ano de 2020 é bissexto. Já 1900 não foi bissexto. Ano Bissexto

Por isso, existem outras regras para que um ano seja bissexto, são elas: ü O ano deve ser divisível por 4; ü Se o ano for divisível por 100, não é bissexto, exceto se; ü Ele também for divisível por 400 (nesse caso ele será bissexto). Vamos fazer alguns testes: Ø O ano em que Copa do Mundo foi realizada no Brasil, era um ano bissexto? Ø O ano 2000 foi bissexto? Ø O ano em que você nasceu era bissexto? Ano Bissexto

Divisores Fernando tem 56 carrinhos e quer colocá-los em caixas para doar para uma creche que cuida de crianças carentes. Ele quer colocar a mesma quantidade de carrinhos em cada caixa. Como ele pode fazer isso? Para resolver esse problema Fernando terá que analisar os divisores de 56. Lembre-se: Um número “x” é divisível por “y” se a divisão é exata, ou seja, o resto da divisão é zero!! Exemplo: Nesse caso, sabemos que 56 dividido por 2 dá 28, mas também sabemos que 56 divido por 28 dá 2, visto que 2 x 28=28 x 2=56. Logo, 2 e 28 são divisores de 56.

Mas o 56 não tem apenas dois divisores. Vamos encontrar os outros! Para isso, podemos fazer alguns testes. . . 56 dividido por 3 não é uma divisão exata . Então 3 não é divisor de 56. 56 dividido por 4 dá 14, pois 4 x 14=14 x 4 = 56. Logo 56 é divisível por 4 e 14. 7 x 8=8 x 7=56, logo 56 é divisível por 7 e 8.

Até agora descobrimos que os divisores do 56 são o 2, 4, 7, 8, 14 e 28. Serão só esses? ? Estamos esquecendo dois outros números bem simples que dividem o 56, você sabe quais são? A resposta é 1 e 56, pois 56: 1=56 e, consequentemente, 56: 1=56. Podemos utilizar um esquema para facilitar um pouco nossa organização e cálculos. O produto dos números das extremidades sempre Se fossemos organizando os divisores dessa Note que o produto do quociente com o divisor sempre dá 56. Então podemos organizar os dá 56. forma, pararíamos as contas ao chegar no meio, números da seguinte forma: ou seja, no 7. 56 4 14 7 8 2 28 1 56

56 4 14 7 8 2 28 1 56 Concluindo. . . os divisores de 56 são o 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28 e 56. Da mesma forma que fizemos com os múltiplos de um número, podemos escrever isso utilizando a linguagem de conjuntos:

Vamos praticar um pouquinho! • Quando um número possui apenas dois divisores, dizemos que ele é um número PRIMO Se ele não é primo, dizemos que é COMPOSTO Você pode ver mais sobre isso na página 121 do seu livro de Matemática (esse será um dos próximos assuntos que iremos estudar). O número 1 é primo ou composto? Procure a resposta na página 121 do seu livro!

Para refletir: ü Qual número natural possui menos divisores? A resposta é. . . o número 1 possui apenas um divisor!! ü O número zero tem quantos divisores? A resposta é. . . infinitos. Se dividirmos zero por qualquer número (exceto o próprio zero) o resultado sempre dará zero. Logo, D(0)={1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . } ü Existe algum número que é divisor de todos os números naturais? A resposta é. . . Sim. O 1 divide todos o números naturais. ü Além do 2, existe algum número primo par? A resposta é. . . Não. Suponha que existe outro número par que seja primo. Ele seria primo por ter dois divisores, o 1 e ele mesmo, mas se é par seria divisível por 2 também. Logo isso não é possível.

Utilizando a ideia de divisores para resolver problemas: Filipe tem uma folha de papel com formato quadrado cujos lados medem 45 cm. Ele quer recortá-la em quadradinhos menores, de forma que não sobre nenhum pedaço de papel. Como ele pode fazer isso e quantos quadradinhos ele obterá? Para resolver esse problema precisaremos descobrir quem são os divisores de 45. 45 5 9 3 15 1 45

45 5 9 3 15 1 45 Logo, D(45)={1, 3, 5, 9, 15, 45}. Então o Filipe, pode cortar quadradinhos com lados medindo 1 cm, 3 cm, 5 cm, 9 cm, 15 cm e 45 cm. Vamos considerar que ele tem 5 maneiras para cortar os quadradinhos, visto que para deixá-lo com lados de 45 cm não seria necessário cortá-lo. 5 x 5= 3 x 3= 9 x 9= em cada caso. 15 x 15= 45 x 45= Agora vamos ver quantos quadradinhos teríamos 25 9 81 225 2025 quadradinhos quadradinhos Lados com 45 quadradinhos com lados de 1 cm Lados com 15 quadradinhos com lados de 3 cm Lados com 9 quadradinhos com lados de 5 cm Lados com 5 quadradinhos com lados de 9 cm Lados com 3 quadradinhos com lados de 15 cm

Critérios de divisibilidade (pág. 115) Existem técnicas que facilitam nosso trabalho na busca pelos divisores de um número, são os “critérios de divisibilidade”. Eles são regras matematicamente “testadas” que permitem descobrir se um número é divisível por outro sem efetuar a divisão! Vamos conhecer alguns desses critérios? Você pode ver mais detalhes na página 115 do seu livro de Matemática.

Critérios de divisibilidade Por 2 Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, se termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Ex. : 34, 80 e 56; Por 3 Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 3. Ex. : 15> 1+5=6, como 6 é divisível por 3, então o 15 também é. Verifique o 234 e 539. 658 também são divisíveis por 3; Por 4 Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4. Ex. : 204, 3. 832 e 975. 312; Por 5 Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5. Ex. : 210, 365 e 1. 330; Por 6 Um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e por 3. Ex. : 18, 468 e 1. 234. 560;

Critérios de divisibilidade Por 7 Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7. Ex. : 21, 392 e 4. 382; Por 8 Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8. Ex. : 2. 160 e 56. 797. 152; Por 9 Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 9. Ex. : 234 e 987. 654. 321; Por 10, 1000, . . . Veja em seu livro (pág. 119).

Fim. . . nalmente vamos praticar!! Resolva os exercícios do seu livro didático: ü Pág. 113 nº 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9; ü Pág. 120 nº 3, 6, 7, 8, 10 e 11; Para facilitar, as imagens do livro estão nos próximos slides!