COLGIO FAMLIA STELLA GRUPO DE ESTUDOS AVANADOS GEA

COLÉGIO FAMÍLIA STELLA GRUPO DE ESTUDOS AVANÇADOS - GEA A APLICAÇÃO DAS DERIVADAS NOS PROBLEMAS DE FÍSICA CLÁSSICA PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada Noções de Função Definição: se uma variável y depende de outra variável x, de tal forma que cada valor de x determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x. Exemplo Entrada x função Saída y PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada x y 0 0 1 1 4 2 -1 1 -2 4 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada EXEMPLOS: PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada Seja a posição x de um móvel em MRUV em função do tempo t dada pela equação Então, a posição do móvel no instante t = 1, 0 s é PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada Função Linear: y (x 1, y 0) y 1 -y 0 (x 0, y 0) x 1 -x 0 a x 0 x 1 x PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada com a = y 0 – mx 0 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada y a x PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada NOCÕES DE DERIVADA - Origens do Cálculo Isaac Newton (1642 -KEPLER, GALILEU, SIMON STEVIN, PIÈRRE DE FERMAT, – 1727) RENÉ DESCARTES, BLAISE PASCAL. . Gottfried Wilhelm Leibnz (1646 – 1716) CRIADOR DO CÁLCULO PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada O “PROBLEMA DOS MATEMÁTICOS” Como traçar a reta tangente a uma curva dada num determinado ponto das curva? P Circunferência tangente raio 1 – A tangente em P é uma reta que passa por P, perpendicularmente ao raio por esse mesmo ponto. 2 – A tangente em P é a reta que só toca a circunferência neste ponto PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada OUTRAS CURVAS: PROBLEMAS! P P Tangente? Qual o raio? P Tangente. Mas toca duas vezes a reta PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada y Definindo a tangente em P: secante y = f(x) Q f(x+ x)-f(x) P f(x) x x x+ x x Logo, a secante msec é dada por PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada y Definindo a tangente em P: Q secante y = f(x) f(x+ x) Q 1 f(x+ x)-f(x) P x x x+ x x PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada y = f(x) y Definindo a tangente em P: Q Q 1 secante f(x+ x) - f(x) f(x+ x) f(x) P Q 2 x x x+ x x PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada A tangente mtang é definida por secante Q f(x+ x) f(x) tangente em P P x x+ x PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada “PROBLEMA DOS FÍSICOS”: Como calcular a velocidade instantânea? Seja x(t) a posição de uma partícula em função do tempo t. x(t) t PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada x(t) Q x(t 0+ t) x x(t 0) P t t 0+ t t x(t 0) = posição da partícula no instante t 0 x(t 0+ t) = posição da partícula no instante t 0 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada Qual a velocidade (instantânea) v(t) no instante t? Paradoxo do Zenão de Eléia x(t) Q x(t 0+ t) x x(t 0) P t t 0+ t t PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada DEFINIÇÃO DE DERIVADA A derivada de uma função f é a função f´ tal que o seu valor em qualquer número x do domínio de f seja dado por se este limite existir Uma função derivável em um ponto pode ser não-derivável em outro!!!! PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada Duas Interpretações: 1 - A derivada f´ de uma função é uma função cujo valor em x é a inclinação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) em x. 2 – A derivada f´ é uma função cujo valor em x é a taxa instantânea da variação de y com relação a x no ponto x. Exemplos: PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada x(t) v(t 1)= 0 v(t 1) v(t 0) 0 v(t 0) v(t 2) 0 t 1 t 2 t PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada Exemplo usando a definição: calcule a derivada da função f(x) = 3+x 2 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO Regra da Constante: para qualquer constante c y=c Inclinação = 0 x Regra da Potência: para qualquer número real n PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada Regra da Multiplicação por uma Constante: se c é uma constante e f(x) é uma função derivável no ponto x, cf(x) também é uma função derivável e Exemplo: seja PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada Regra da Soma: se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis no ponto x, a soma s(x) = f(x) + g(x) também é derivável. Exemplo: seja a função f(x) = 10 g(x) = 4 t h(x) = -5 t 2 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada Regra da Produto: se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis no ponto x, o produto P(x) = f(x). g(x) também é derivável. Exemplo: seja a função f(x) = x 2 g(x) =3 x+1 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada Regra da Quociente: se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis no ponto x, o quociente P(x) = f(x) / g(x) também é derivável. Exemplo: seja a função PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada Regra da Cadeia: se g(x) for derivável em x e a função f for derivável em g(x), então a função composta f o g será derivável em x, e Exemplos: a) Seja a função PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com

Noções de Função e Derivada b) Seja a função geral do tipo PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: www. fisicaparapoucos. wordpress. com