Col legi BEAT RAMON LLULL Inca Departament de

Col. legi BEAT RAMON LLULL Inca Departament de Ciències MATEMÀTIQUES TRIGONOMETRIA avançada • Raons trigonomètriques de: – – la suma de dos angles la resta de dos angles l’angle doble en funció del meitat l’angle meitat en funció de l’angle doble

Col. legi BEAT RAMON LLULL Inca Departament de Ciències MATEMÀTIQUES B C β 1 A α O P Q

Col. legi BEAT RAMON LLULL Inca Departament de Ciències MATEMÀTIQUES Aclariments La circumferència té de radi 1. Volem cercar les funcions trigonomètriques de l’angle (α+β) Hem de trobar un triangle semblant al vermell

Col. legi BEAT RAMON LLULL Inca Departament de Ciències MATEMÀTIQUES B C β sin β 1 A s Co O β P Q α

Col. legi BEAT RAMON LLULL Inca Departament de Ciències MATEMÀTIQUES Què significa ésser semblants? Que tenen angles iguals! Per què els dos angles α són iguals? Perquè cada un d’ells està format per línies perpendiculars entre sí. OA amb BA i OQ amb CA

Col. legi BEAT RAMON LLULL Inca Departament de Ciències MATEMÀTIQUES PB és l’altura del triangle OPB, per tant: PB = OB. sin(α+β) = sin(α+β) PB és la suma de QA i AC QA és l’altura del triangle OQA, per tant: QA = OA. sin α = cos β. sin α AC es pot trobar amb la definició de cos α = AC/AB, per tant AC = AB. cos α = sen β. cos α

Col. legi BEAT RAMON LLULL Inca Per tant PB = QC = QA+AC PB = sen α. cos β+ +cos α. sen β Departament de Ciències MATEMÀTIQUES

Col. legi BEAT RAMON LLULL Inca Departament de Ciències MATEMÀTIQUES Si agafam l’expressió ja vista PB = sin(α+β) i la recent feta PB = sen α. cos β+ cos α. sen β i les igualam, obtenim sin(α+β) = sen α. cos β+ cos α. sen β

Col. legi BEAT RAMON LLULL Inca Departament de Ciències MATEMÀTIQUES Sabent que el cosinus d’un angle és igual al sinus d’un angle que val 90º més que l’altre, puc escriure: cos(α+β) = sen [90+(α+β)] i aplicant la fórmula que acabam d’obtenir en la diapositiva anterior, tenim: cos(α+β) = … = cos α. cosβ - sin α. sinβ Cal que ho calculeu vosaltres

Col. legi BEAT RAMON LLULL Inca Departament de Ciències MATEMÀTIQUES Per obtenir la tangent basta dividir el sinus pel cosinus. L’expressió resultant, que té dos sumands en el numerador i dos en el denominador, s’ha de dividir tota ella per cos α. cosβ i s’obté tag α + tag β _______ 1 - tag α. tag β

Col. legi BEAT RAMON LLULL Inca Departament de Ciències MATEMÀTIQUES Per fer les raons trigonomètriques de la diferència basta canviar l’angle “β” per l’angle “- β” i cavilar com són les raons trigonomètriques de dos angles que tenen el signe contrari. β -β

Col. legi BEAT RAMON LLULL Inca Departament de Ciències MATEMÀTIQUES Per obtenir les raons trigonomètriques de l’angle doble en funció de l’angle meitat, cal dir que α = β. A partir d’aquí s’agafen les fórmules ja obtingudes abans i s’obtenen el sin, el cos i la tag de l’angle “ 2α” en funció de “α”.

Col. legi BEAT RAMON LLULL Inca Departament de Ciències MATEMÀTIQUES Per obtenir les raons trigonomètriques de l’angle meitat en funció de l’angle doble, s’ha d’agafar la fórmula general de la trigonometria sin 2 α + cos 2 α = 1 i la del cos de l’angle doble recent obtinguda cos 2α = cos 2 α - sin 2 α i escriure-les ordenadement una davall l’altre per poder resoldre el sistema per reducció. Una vegada es sumen i obtenim el cos α i l’altre vegada es resten, i obtenim el sin α. Per obtenir la tag es divideixen les dues obtingudes