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#Codavinci#todosjuntos#estudiaencasa#aprueba Buenos días para todas y todos mis estudiantes de 4° medio A y B Para trabajar necesitas tener a mano tu cuaderno, lápiz, calculadora científica. Se solicita a todos los estudiantes que tengan su cámara encendida. Gracias. 9 de junio de 2020 Prof. : Elizabeth Ceballos V

Permutaciones y Combinaciones: Una permutación corresponde a cada una de las posibles ordenaciones de una lista de n elementos de un conjunto. El número total de ordenaciones diferentes de n elementos está dado por:

Ejemplo 1: 5 estudiantes están compitiendo en los 100 m planos. ¿De cuántas formas diferentes pueden quedar ubicados en la llegada? 1° 2° 3° 4° 5 4 3 2 ¿Importa el orden? si 5° 1 Utiliza todos los elementos si Es una permutación Pueden ordenarse de 120 formas diferentes

Ejemplo 2: ¿Cuántos números de 4 cifras podemos escribir con los dígitos 6, 7, 8, y 9, sin que ninguno se repita? Importa el orden Si Usa todos los elementos Si Es una Permutación Algunos números que se pueden formar: 6789 8796 7689 7968 n=4 Se pueden formar 24 números diferentes

Ejemplo 3: ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas? Si importa el orden Si utiliza todos los elementos n=8 Resp. : Se pueden sentar de 40. 320 formas diferentes las 8 personas

Permutaciones con repetición. La fórmula para calcular el número de permutaciones u ordenamientos es la siguiente: Donde n=a+b+c Hay 3 condiciones en la permutación con repetición: Si importa el orden Si hay elementos repetidos Si participan todos los elementos en los ordenamientos.

Ejemplo 1: ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra BANANA? Algunas palabras como ejemplo: ANANAB BANAANAB Si importa el orden Si hay elementos desconocidos Si se utilizan todos los elementos Es permutación con repetición. n=6 la letra A se repite 3 veces. La letra N se repite 2 veces Resp. : En total se pueden formar 60 palabras diferentes con las letras de la palabra BANANA

Ejemplo 2: En una urna hay 5 bolas del mismo tamaño y peso, de las cuales, 3 son rojas y 2 son azules. ¿De cuántas maneras se pueden extraer una a una las bolas de la urna? . Algunas formas de extraer las bolas: RRARA ARRAR RARAR Si importa el orden Si hay elementos desconocidos Si se utilizan todos los elementos n=5 Hay 3 bolas Rojas. Hay 2 bolas Azules. Es permutación con repetición. Hay 10 formas diferentes de sacar las bolas de la urna.

Ejercicios: 1) ¡cuantas palabras diferentes se pueden formar con todas letras de la palabra CARRETA, sin importar que las palabras tengan o no sentido? (Resp: puede formar 1260 palabras diferentes) 2) Federico tiene 7 banderas del mismo tamaño y modelo, 2 blancas, 2 rojas y 3 azules. ¿Cuántas señales diferentes podrá hacer si las iza todas a la vez en un mismo mástil? (Resp: puede formar 210 señales diferentes con las banderas) 3) ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra ACCACCIA? (Resp: 280 palabras) 4) ¿Cuántos ordenamientos diferentes se pueden hacer con las letras de la palabra PARALELEPIPEDO, tengan o no sentido?

Otros ejemplos de permutación. 1) Con las letras de la palabra libro. ¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal? Solución: La palabra libro tiene 5 letras, 2 vocales y 3 consonantes Sí importa el orden Sí entran todos los elementos No se repiten los elementos (son diferentes) Si la palabra empieza por vocal, debe empezar con i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4. Resp. : se pueden hacer 48 ordenaciones que empiecen por vocal

2) ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería? Solución: El equipo de fútbol tiene 11 jugadores pero el portero siempre ocupa el mismo lugar. Por tanto disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas Sí importa el orden Sí entran todos los elementos No se repiten los elementos Resp. : se pueden ordenar de 3. 628. 800 maneras diferentes los jugadores del equipo de fútbol.

3) Una mesa presidencial está formada por ocho personas. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos? Solución: Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7 personas, en los dos se cumple que: Sí importa el orden Sí se usan todos los elementos No se repiten los elementos Resp. : se pueden sentar de 10. 080 formas distintas las 8 personas

4) Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si: 1 2 a) Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos. Si importa el orden Si están todos los elementos Resp. : Los libros se pueden ordenar de 207. 360 formas distintas. b) Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos. Si importa el orden Si están todos los elementos Resp. : se pueden ordenar de 8. 709. 120 formas distintas.

Permutación Circular. Una Permutación circular es cuando nos piden ordenar un grupo de elementos alrededor de un objeto. En estas ordenaciones no hay primer ni último elemento, para calcular el número de permutaciones circulares, basta fijar la posición de uno de ellos y así los (n-1) restantes se podrán ordenar de (n-1) maneras. Ejemplo: ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa? Si se tiene que sentar a 5 personas alrededor de una mesa circular, se fija a una de ellas, entonces son 4 personas las que tienes que ordenar. Resp. : se puede ordenar a 5 personas alrededor de una mesa de 24 formas diferentes.

Ejercicios: 1) ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden hacer con las letras de la palabra ELEMENTO? (R: 6. 720) 2) ¿De cuántas maneras se pueden ordenar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares? (R: 2. 880) 3) a) ¿De cuántas formas se pueden sentar siete personas en torno a una mesa redonda? (R: 720) b) Si dos personas no pueden sentarse juntas. (R: 480)

4) ¿De cuántas maneras pueden posar tres hombres y dos mujeres en línea para una fotografía de grupo si una mujer debe estar en cada extremo? (R: 24) 5) ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra REMEMBER? (R: 1. 680) 6) En un grupo de 6 amigos, hay una pareja de novios. ¿De cuántas maneras pueden sentarse alrededor de una fogata, si los novios deben sentarse siempre juntos? (R: 48)

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