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#Codavinci#todosjuntos#estudiaencasa#aprueba Buenos días para todas y todos mis estudiantes de 4° medio A y B Para trabajar necesitas tener a mano tu cuaderno, lápiz, calculadora científica. Se solicita a todos los estudiantes que tengan su cámara encendida. Gracias. 30 de junio, 02 de julio de 2020 Prof. : Elizabeth Ceballos V
Unidad 2: Funciones 2. 1. Conceptos de Relación y Función Una Relación en matemática es una correspondencia que se establece entre los elementos de dos conjuntos, es decir, correspondencia es equivalente a Relación. Ejemplos: • En una tienda cada artículo está relacionado con su precio, o sea a cada artículo le corresponde un precio. • En la guía telefónica, cada cliente está relacionado con un número, o sea, a cada nombre de la guía le corresponde un número.
Si A y B son dos conjuntos no vacíos, cualquier subconjunto no vacío R de Ax. B={(a, b)/ a ϵ A, b ϵ B} se llama una relación (R) entre los conjuntos A y B. Los elementos del conjunto A , conjunto de partida, se conocen como preimagen y los elementos del conjunto B , conjunto de llegada, se conocen como imagen. El conjunto de los elementos de A que tienen imagen en B reciben el nombre de dominio de R, Dom(R). Mientras que el conjunto de los elementos de B que son imagen de algún elemento de A reciben el nombre de Codominio Codom(R).
A Las relaciones y a las funciones se les puede asociar dos representaciones: el diagrama sagital y el plano cartesiano. Diagrama sagital Plano cartesiano
Para que una relación sea una función, debe cumplir las siguientes condiciones: 1) Cada elemento del conjunto A debe estar relacionado con un elemento del conjunto B. 2) Un elemento de A no puede relacionarse con dos o más elementos diferentes de B.
Ejemplos: Es función No es función Es función No es función
Al conjunto de todas las imágenes de una función se le llama recorrido (o rango) y se abrevia Rec(f). El recorrido es un subconjunto del codominio, donde puede suceder que el recorrido sea más pequeño que el codominio o coincida con el codominio.
Una primera idea de función es la de una fórmula que relaciona algebraicamente varias magnitudes. Por ejemplo, en el siguiente diagrama sagital, de que manera podemos relacionar las imágenes con sus pre imágenes. X Y f(-3)=9 f(0)=0 f(7)=49 f(1)=2 f(2)=4 f(3)=6 Dom(f)={-3, 0, 9} Codom(f)={9, 0 , 49} Rec(f)=Codom(f) Dom(f)={1, 2, 3} Codom(f)={2, 4, 6, 8, 10} Rec(f)={2, 4, 6} Rec(f)‡Codom(f)
La representación gráfica mediante diagramas cartesianos permite la visualización de las funciones. De este modo, el concepto de función se generaliza a cualquier relación numérica que responda a una gráfica sobre unos ejes coordenados. f(-3)=1 f(-2, 5)=-1, 5 f(0)=0 f(2)=3
Las funciones permiten modelar situaciones o problemas cotidianos en diversos ámbitos tales como: económicos, psicológicos, científicos, etc. Al estudiar las funciones se pueden clasificar por ciertas características comunes, ya sea en su representación algebraica o en su gráfica. se pueden agrupar como familias de funciones: Función lineal: Función cuadrática: Función raíz cuadrada: Función exponencial: Función logarítmica: Función potencia: Función trigonométrica: Función racional o de proporcionalidad inversa: Función valor absoluto: Función por tramos: Función parte entera: En algunos textos se habla de funciones algebraicas y funciones trascendentes para su clasificación.
De acuerdo a sus características podemos distinguir las funciones en función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. 2. 2 Función Inyectiva: Una función f: A B es inyectiva si para todo par de elementos distintos del dominio, sus imágenes son distintas. Es decir, ningún elemento del conjunto B es imagen de dos elementos distintos del conjunto A, o en forma equivalente: Ejemplos: f(1)=1 f(2)=2 f(3)=5 f(4)=3 f(a)=1 f(b)=3 f(c)= 3 f(d)=4 f(e)=5 f(b)=f(c) pero b‡c => f no es inyectiva
Ejemplo 1: /+1 /: 6 Una manera para determinar si una función es inyectiva es trazar rectas horizontales en el gráfico de la función. Si las rectas interceptan a la función en sólo un punto, la función es inyectiva. Es función inyectiva No es función inyectiva
Ejemplo 2: g(1)=1 g(-1)=1 => 1 ‡ -1 y=1 Ejemplo 3: -1 1 / *3 /
2. 3 Función Sobreyectiva: Una función f: C D es sobreyectiva (o epiyectiva) si y solo si todo elemento del conjunto D es imagen de algún elemento del conjunto C, es decir: Ejemplos:
Ejemplo 2: Esta función si es sobreyectiva. Ejemplo 3: Esta función no es sobreyectiva pues
2. 4 Función Biyectiva: Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Es decir, para cualquier elemento y del codominio existe un único elemento x del dominio tal que y es la imagen de x por f. Ejemplos: i) f es inyectiva ii) Rec(f)=Codom(f) f es sobreyectiva Entonces f es biyectiva i) f no es inyectiva ii) Rec(f)=Codom(f) f es sobreyectiva Entonces f no es biyectiva i) f es inyectiva ii) Rec(f)‡Codom(f) f no es sobreyectiva Entonces f no es biyectiva
Ejemplos de funciones algebraicas
Ejercicios: Determinar si es f biyectiva. Explica por qué. 1) 3) 2) No es función biyectiva Es función biyectiva 4) 6) 5) Es función biyectiva No es función biyectiva
Nos vemos la próxima clase
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