Co to jest kombinatoryka Kombinatoryka to dzia matematyki

Co to jest kombinatoryka? Kombinatoryka to dział matematyki, który zajmuje się zliczaniem, na ile sposobów może zajść jakieś zjawisko. Powstała dzięki grom hazardowym a dopiero później rozwinęła się w gałąź nauki.

Przykład Ile jest możliwych wyników polegających na trzykrotnym rzucie monetą?

Przykład Na ile sposobów można dobrać czteroliterowe kody z liter A, B, C, D, tak aby litery się nie powtarzały? ABCD CDAB CABD ACDB BCDA ADBC ABDC BACD BCAD BADC CDBA CADB Ile jeszcze brakuje?

Reguła mnożenia i reguła dodawania 4 THE – 03. 11. 2015

Cele lekcji Nabycie umiejętności przez ucznia: Øzliczania obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, Østosowania reguły mnożenia i reguły dodawania

Kryteria sukcesu ØZnam zasadę reguły mnożenia i reguły dodawania; ØStosuje regułę mnożenia w sytuacjach typowych; ØZliczam ilość wyników sprzyjających zdarzeniu w prostych sytuacjach kombinatorycznych, bez użycia wzorów.

Problem pani Anny

6 sposobów. Pani Anna może się ubrać na ……

Problem pani Anny rozwiązany 3 kapelusze i 2 pary butów to 6 sposobów 3· 2=6

Reguła mnożenia Jeśli pewnego wyboru można dokonać etapami, podejmując wielokrotnie decyzje, co do wyboru poszczególnych elementów, przy czym pierwszą decyzję podejmujemy na n 1 sposobów, drugą na n 2 sposoby itd. a ostatnią decyzję podejmujemy nk sposobów, i jeśli te decyzję są podejmowane niezależnie, to całkowita liczba możliwych wyborów jest iloczynem liczb podejmowanych decyzji, tzn. wynosi n 1×n 2×. . . ×nk.

Problem pani Anny n 1 = 3 n 2 = 2 to n 1 *n 2 = ilość sposobów n=3· 2=6

Przykład Kasia zabrała na wycieczkę 2 pary butów, 5 spódnic i 7 bluzek. Na ile sposobów może się ubrać? n 1 = 2 n 2 = 5 n 3 = 7 2 * 5 * 7 = 70 sposobów

Reguła dodawania Jeżeli mamy wybrać pewien element z dwóch zbiorów A i B przy czym zbiór A ma m elementów a zbiór B ma n elementów i zbiory te nie mają wspólnych elementów to wyboru tego dokonać możemy na dokładnie m + n sposobów.

Przykład Wśród zapakowanych na wycieczkę ubrań Kasia ma 3 spódnice żółte i 2 czerwone oraz 4 bluzki żółte i 3 czerwone. Na ile sposobów może się ubrać, jeżeli chce, aby bluzka i spódnica były w tym samym kolorze? n 1 = 3 n 2 = 4 n = 3 * 4 = 12 m 1 = 2 m 2 = 3 m=2* 3 =6 12+6= 18 sposobów

Warto zapamiętać!!! Podstawowa zasada kombinatoryki: gdy podejmujemy kilka niezależnych decyzji częściowych, które dotyczą jednego całościowego wyboru, to liczby decyzji mnożymy: n=n 1 *n 2 *n 3 * …. *nk gdy dokonujemy wykluczających się wyborów, to liczby wyborów dodajemy: n+ m

Przykład Ile jest możliwych wyników polegających na trzykrotnym rzucie monetą? I rzut – 2 bo O lub R III rzut = 2 bo O lub R to 2*2 *2=8 wyników

Przykład Mając do dyspozycji: 2 pary butów, 5 par spodni i 7 bluzek na ile sposobów możemy się ubrać? Rozwiązanie. Ubierając się musimy podjąć 3 decyzje: I dotyczy butów - wybieramy je na n 1=2 sposoby, II dotyczy spodni - wybieramy je na n 2=5 sposobów, III dotyczy bluzki - wybieramy ją na n 3=7 sposobów. Jeśli nie dopasowujemy kolorów ubrań i decyzje podejmujemy niezależnie dla każdej części garderoby, to na podstawie reguły mnożenia możemy się ubrać na: 2*5*7 = 70 sposobów.

Przykład Restauracja ma do zaoferowania 5 rodzajów zup, 6 drugich dań, 4 desery i 10 napojów. Ile pełnych zestawów obiadowych (tzn. składających się z dwóch dań, deseru i napoju) można skomponować w tej stołówce? n = 5 * 6 * 4 * 10 = 1200 pełnych zestawów

Przykład Stołówka szkolna ma do zaoferowania 5 rodzajów zup, 6 drugich dań, 4 desery i 10 napojów. Ile trzydaniowych zestawów obiadowych (tzn. składających się z dwóch dań, deseru lub napoju) można skomponować w tej stołówce? n (bez napoju) = 5 * 6 * 4 = 120 m (bez deseru) = 5 * 6 * 10 = 300 Razem: n + m = 120 + 300 = 420 zestawów

Zadania Zadanie 1. Ze wsi A do wsi B prowadzi 5 ścieżek przez las. Na ile sposobów można odbyć spacer A−B−A tak, aby spacer ze wsi B do wsi A odbyć inną ścieżką niż ze wsi A do wsi B? 5 * 4 = 20 sposobów

Zadania Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od 5? Zbiór liczba < 5 0, 1, 2, 3, 4 Z reguły mnożenia : Moc zbioru |A|=20 4 5 4 * 5 = 20

Ćwiczenie 3 a str 11 Ile może być kodów mających na początku cztery litery, a następnie trzy cyfry ( litery i cyfry mogą się powtarzać), jeśli mogą w nich występować: jedynie litery: V, X, Y, Z oraz cyfry 1, 3, 5, 7, 9 L L c c Liter mamy 4 oraz cyfr mamy : 5 4* 4 *5*5* 5= =44 * 53 = 256 * 125 = 32000 c

Ćwiczenie 3 b str 11 Ile może istnieć kodów mających na początku cztery litery, a następnie trzy cyfry ( litery i cyfry mogą się powtarzać), jeśli mogą w nich występować: jedynie litery: A, B, C, D, E, F, G oraz cyfry: 1, 2, 3, 4, 5, 6 L L c c Liter mamy 7 oraz cyfr mamy : 6 7* 7 *6*6* 6= =74 * 63 = ? ? ? ? c

Zadanie Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste. Rozwiązanie: tu link

Zadanie domowe PODRĘCZNIK ZADANIE 3, 4, 5 STRONA 13