CNICAS U D 13 1 BCT Angel Prieto

CÓNICAS U. D. 13 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 1

ELIPSE U. D. 13. 5 * @ Angel Prieto Benito 1º BCT Apuntes 1º Bachillerato CT 2

LA ELIPSE • • LA ELIPSE • La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS es una constante. PF+PF’ = 2 a • Elementos • • • Semieje mayor: a Semieje menor: b Semidistancia focal: c Focos: F(0, c) , F(0, -c) Vértices: A(a, 0), A’(-a, 0), B(0, b), B’(0, -b) @ Angel Prieto Benito Y B P(x, y) 2 b A’ F’ F 2 c Apuntes 1º Bachillerato CT A X B’ 2 a 3

RELACIÓN FUNDAMENTAL • RELACIÓN FUNDAMENTAL • Por definición, la suma de distancias de cualquier punto a los focos F y F’ es 2 a. PF+PF’ = 2. a Tomamos el vértice superior B(0, b) y tenemos que se nos forma un triángulo rectángulo. A’ Por Pitágoras: • • • Y B(0, b) a a b F’ c 2 c A X B’ • Excentricidad • • Se define como la relación: e=c/a Como siempre c < a 0 < e < 1 en una elipse @ Angel Prieto Benito F Apuntes 1º Bachillerato CT 2 a 4

ECUACIÓN REDUCIDA • ECUACIÓN REDUCIDA • Se considera el origen de coordenadas O(0, 0) el b P(x, y) centro geométrico de la elipse. y Se aplica la definición, dándose cuenta de que cada distancia del punto P(x, y) a los focos es una hipotenusa de triángulos rectángulos: F PF+PF’ = 2. a x √((x+c)2+ y 2)) + √((c – x)2+ y 2))=2. a F’ √((x+c)2+ y 2)) = 2. a – √((c – x)2+ y 2)) B’ Elevando todo al cuadrado: x 2+ 2 xc+c 2 + y 2 = 4 a 2 + x 2– 2 xc+c 2 + y 2 – 4. a√(c 2 – 2 xc + x 2+ y 2) xc – a 2 = – a√(c 2 – 2 xc + x 2+ y 2) x 2 c 2 – 2 xca 2 + a 4 = a 2 c 2 – 2 xca 2 + x 2 a 2+ y 2 a 2 Como c 2 = a 2 – b 2 x 2 a 2 – x 2 b 2 + a 4 = a 4 – a 2 b 2 + x 2 a 2+ y 2 a 2 Quedando: x 2 b 2 + y 2 a 2 = a 2 b 2 • • • @ Angel Prieto Benito Y Apuntes 1º Bachillerato CT A X 5

Ejercicios • Hallar la ecuación de la elipse cuyos datos conocidos son: • • 1º. Vértices: A(5, 0), A’(-5, 0), B(0, 3) y B’(0, -3) El centro de la elipse es C((5+(-5))/2, (3+(-3))/2) , , C(0, 0) Eje mayor: 2. a = 10 , , a =5 , , Eje menor: 2 b = 6 , , b = 3 Ecuación: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 9 x 2 + 25 y 2 = 225 • • • 2º. Vértices: A(5, 0), A’(-5, 0), , Focos: F(3, 0) y F’(-3, 0) El centro de la elipse es C((5+(-5))/2, 0) , , C(0, 0) Semieje mayor: a = 5 , , Distancia focal: 2 c = 6 c =3 Semieje menor: b = √ (52 – 32 ) = 4 Ecuación: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 16 x 2 + 25 y 2 = 400 • • 3º. Centro: C(0, 0), , Focos: F(3, 0), F’(-3, 0) y P(4, 2’ 4) Ecuación: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 16. b 2 + 5’ 76. a 2 = a 2. b 2 Relación: a 2 = b 2 + c 2 a 2 = b 2 + 9 Resolviendo el sistema: b 2 = 16 , , b = 4 y a 2 = 25 , , a = 5 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 6

ECUACIÓN GENERAL • • • ECUACIÓN REDUCIDA Teníamos: x 2 b 2 + y 2 a 2 = a 2 b 2 Dividiendo todo entre a 2 b 2 Queda: x 2 y 2 --- + --- = 1 a 2 b 2 • • • ECUACIÓN GENERAL Lo normal es que el centro de la elipse no sea el origen de coordenadas: Resultando: (x – k)2 (y – h)2 ----- + ----- = 1 a 2 b 2 • • ECUACIÓN DESARROLLADA Operando en la ecuación general: x 2 b 2 + y 2 a 2 – 2 kb 2 x – 2 ha 2 y + (b 2 k 2 + a 2 h 2 – a 2 b 2) = 0 Que es la ecuación general desarrollada. @ Angel Prieto Benito Y P(x, y) F F’ Apuntes 1º Bachillerato CT X O 7

Ejercicios • Hallar la ecuación de la elipse cuyos datos conocidos son: • 4º. - • • • El centro de la elipse es C((8+(-8))/2, (7+(-1))/2) , , C(0, 3) Eje mayor: 2. a = 16 , , a =8 , , Eje menor: 2 b = 8 , , b = 4 Ecuación: b 2 x 2 + a 2 (y – 3)2 = a 2 b 2 16 x 2 + 64 y 2 – 384 y + 576 – 1024 = 0 Simplificando entre 16 queda: x 2 + 4 y 2 – 14 y – 28 = 0 • 5º. - • • • El centro de la elipse es C((17+(-9))/2, 2) , , C(13, 2) Semieje mayor: a = (17 – (– 9))/2 = 26/2 = 13 Semieje menor: b = √ (a 2 – c 2 ) = √ (132 – 52 ) = 12 Ecuación: b 2 (x – k)2 + a 2 (y – h)2 = a 2 b 2 144 (x – 13)2 + 169 (y – 2)2 = 144. 169 144 x 2 + 169 y 2 – 3744 x – 676 y + 676 = 0 @ Angel Prieto Benito Vértices: A(8, 3), A’(-8, 3), B(0, 7) y B’(0, -1) Vértices: A(17, 2), A’(-9, 2), , Distancia focal: 2 c=10 Apuntes 1º Bachillerato CT 8

Ejercicios • • Hallar el centro, focos y semiejes de las elipses siguientes: Ecuación general: b 2 x 2 + a 2 y 2– 2 b 2 kx – 2 a 2 hy + b 2 k 2 + a 2 h 2 – a 2 b 2 = 0 • • • 6º. - P: x 2 + 9 y 2 – 8 x – 36 y + 28 = 0 Identificando términos, tenemos: b 2 = 1 b=1 , , a 2 = 9 a= 3 2 b 2 k = 8 8 k = 8 k = 1 , , 2 a 2 h = 36 18 h = 36 h = 2 C(1, 2) , , c =√(a 2 – b 2) = √ 8 = 2√ 2 , , F(1+ 2√ 2 , 2) y F’(1 - 2√ 2, 2) Comprobando: b 2 k 2 + a 2 h 2 – a 2 b 2 = 28 1. 1 + 9. 4 – 9. 1 = 28 • • • 7º. - P: 3 x 2 + 5 y 2 – y – 14’ 95 = 0 Identificando términos, tenemos: b 2 = 3 b= √ 3 , , a 2 = 5 a= √ 5 2 b 2 k = 0 6 k = 0 , , 2 a 2 h = 1 10 h = 1 h = 0, 1 C(0 , 0’ 1) , , c =√(a 2 – b 2) = √ 2 , , F(√ 2 , 0’ 1) y F’(- √ 2 , 0’ 1) Comprobando: b 2 k 2 + a 2 h 2 – a 2 b 2 = m 3. 0 + 5. 0’ 01 – 5. 3 = – 14’ 95 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 9

Ejercicios • • Hallar el centro, focos y semiejes de las elipses siguientes: Ecuación general: b 2 x 2 + a 2 y 2– 2 b 2 kx – 2 a 2 hy + b 2 k 2 + a 2 h 2 – a 2 b 2 = 0 • • • 8º. - P: 4 x 2 + 9 y 2 – 8 x + 36 y + m = 0 Identificando términos, tenemos: b 2 = 4 b=2 , , a 2 = 9 a= 3 2 b 2 k = 8 8 k = 8 k = 1 , , 2 a 2 h = - 36 18 h = - 36 h = – 2 C(1, - 2) , , c =√(a 2 – b 2) = √ 5 , , F(1+ √ 5 , -2) y F’(1 - √ 5, - 2) b 2 k 2 + a 2 h 2 – a 2 b 2 = m 4. 1 + 9. 4 – 9. 4 = 4 • • • 9º. - P: 16 x 2 + 9 y 2 – 8 x + m = 0 b > a Girada 90º Identificando términos, tenemos: b 2 = 16 b=4 , , a 2 = 9 a= 3 2 b 2 k = 8 32 k = 8 k = 0, 25 , , 2 a 2 h = 0 18 h = 0 C(0, 25, 0) , , c =√(b 2 – a 2) = √ 7 , , F(0, 25, √ 7) y F’(0, 25, - √ 5) b 2 k 2 + a 2 h 2 – a 2 b 2 = m 16. 0, 0625 + 9. 0 – 9. 16 = – 143 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 10