Cnicas Porque Cnicas Parbola Considere uma reta d

Cônicas

Porque Cônicas?

Parábola Considere uma reta d e um ponto f não pertencente a d n Parábola é o conjunto dos pontos cuja distância ao ponto f é igual a distância deste ponto à reta d n

Graficamente P F v A P’ d

n Seja P’ o pé da reta perpendicular a d que passa por P Assim P pertence à parábola se e somente se n d(F, P)=d(P, P’) -> |FP|=|P’P| n

Notações F-> foco n d-> reta diretriz n Eixo -> reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz n Vértice (v) -> Ponto de interseção entre a parábola e o eixo n A-> interseção do eixo com a diretriz n

Por definição de parábola, se P = v então n d(v, f)=d(v, a)=p/2, p-> parâmetro da parábola n

Encontrar a equação da parábola n Eixo da parábola = eixo y n V(0, 0) n |FP|=|PP’| n PP’ = (x-x, y+p/2)=(0, y+p/2) FP = (x-0, y-p/2) =(x, y-p/2) n

n |(x, y-p/2) |=|(0, y+p/2)| n X 2=2 py ou y = X 2/2 p

Estudo da Parábola Se 2 py=x 2 -> 2 py >=0 -> p e y tem sinais iguais n Caso 1: p>=0 -> y>=0 -> concavidade para cima n n Caso 2: p<=0 -> y<=0 -> concavidade para baixo

n Eixo da parábola = eixo x n V(0, 0) n |FP|=|P’P| P’P = (x+p/2, y-y)=(x+p/2, 0) FP = (x-p/2, y-0) =(x-p/2, y) y 2=2 px n n n

Estudo da Parábola Como y 2 >=0 então 2 px>=0. Logo p e x tem sinais iguais n Caso 1: p >= 0 -> x >= 0 -> concavidade para direita n n Caso 2: p <= 0 -> x <= 0 -> concavidade para esquerda

Exercício n Determinar a equação da parábola v(0, 0) e diretriz d: y=-2

Exercicio n Determinar a equação da parábola com foco F(2, 0), diretriz d: x+2=0

n Determinar a equação da parábola com foco F(0, -3), e v(0, 0)

n Determinar a equação da parábola com foco V(0, 0), simétrica em relação ao eixo dos y e passando pelo ponto P(2, -3)

Determinar Vértice, foco, equações da reta diretriz e eixo n X 2=-12 y n

Determinar Vértice, foco, equações da reta diretriz e eixo n y 2 -x=0 n

Vértices fora da origem V(a, b) n Eixo paralelo ao eixo y n (x-a)2=2 p(y-b) n Eixo paralelo ao eixo x n (y-b)2=2 p(x-a) n

Exercício n Determine a equação da parábola V(-2, 3), F(-2, 1)

n Determine a equação da parábola F(2, 3) e diretriz y=-1

n Determine a equação da parábola V(1, 3), eixo paralelo ao eixo x passando pelo ponto P(-1, -1)

Equação explícita da parábola A equação da parábola de vértice V(a, b) e eixo paralelo ao eixo y tem a forma (x -a)2=2 p(y-b) n x 2 -2 ax+a 2=2 py-2 pb n y=(x 2 -2 ax+a 2+2 pb)/2 p n Esta última é a forma explícita da parábola n

Exercício n Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola x 2+4 x+8 y+12

Exercício n Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola y 2+4 y+16 x-44

Exemplo n Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola y 2 -12 x-12=0

Exemplo n Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola 8 x=y 2 -6 y+10

Elipse Uma elipse de focos F e F’ é o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias a F e F’ é igual a uma constante que indica-se por 2 a n Portanto, P є Elipse se, e somente se, d(P, F)+d(P, F’)=2 a n

Equação Caso 1: F(-c, 0) e F’(c, 0), c>=0 n Olhando para o triângulo PFF’ vemos que o lado F’F mede 2 c e é menor que a soma dos outros dois lados, medindo 2 a n P a F a c c F’

Logo, c<a n Nota: quanto mais a se aproxima de c, mais achatada fica a elipse, logo a excentricidade (e) cresce n n e=c/a, 0<e<1

Elementos Focos: são os pontos F e F’ n Distância Focal = 2 c n Centro = ponto médio do segmento FF’ n Eixo Maior: segmento A 1 A 2 medindo 2 a n Eixo Menor é o segmento B 1 B 2 de comprimento 2 b onde b 2=a 2 -c 2 n

n De acordo com a definição, P(x, y) є elipse se, e somente se, |PF’|+|PF|=2 a

Equação n Desenvolvendo a equação anterior obtemse x 2/a 2+y 2/b 2=1 n Eixo maior sobre o eixo x focos sobre o eixo x

Equação n Caso 2: Focos F(0, c) e F’(0, -c) n Analogamente x 2/b 2+y 2/a 2=1

Equação n Caso 3: centro fora da origem C(x 0, y 0) Eixo maior//eixo x: (x-x 0)2/a 2 +(y-y 0)2/b 2=1 n Eixo maior//eixo y: (x-x 0)2/b 2 +(y-y 0)2/a 2=1 n

Exercício Determinar os vértices A 1 e A 2, focos e excentricidade n X 2/100+y 2/36=1 n x 2+25 y 2=25 n 4 x 2+25 y 2=1 n

Exercício Determinar a equação da elipse n Eixo maior mede 10, focos (4, 0) e (-4, 0) n

Exercício Determinar a equação da elipse n Centro C(0, 0) um foco F(3/4, 0) e um vértice A(1, 0) n

Exercício Determinar a equação da elipse n Centro C(0, 0), F(c, 0), F’(-c, 0), P(-2(5)1/2, 2) n

Exercício Determinar a equação da elipse n Centro C(0, 0), focos no eixo x, e=2/3 e P(2, -5/3) n

Exercício Determinar a equação da elipse n Centro C(2, 4), um foco F(5, 4) e=3/4 n

Exercício Determinar a equação da elipse n Centro C(-3, 0), um foco F(-1, 0), a elipse é tangente ao eixo y n

Exercício Determinar a equação da elipse n Centro C(-3, 4), semi-eixos de comprimento 4 e 3, eixo maior // ao eixo y n

Exercício Determinar a equação da elipse n Centro C(2, -1), tangente aos eixos coordenados e eixos de simetria (eixo maior e eixo menor) paralelos aos eixos coordenados n

Exercício Determinar centro, vértices A 1 e A 2 e excentricidade n 4 x 2+9 y 2 -8 x-36 y+4=0 n

Hipérbole Sejam dois pontos fixo F 1 e F 2 com d(F 1, F 2)=2 c n A hipérbole é o conjunto dos pontos P(x, y) do plano tais |d(F 1, P)-d(F 2, p)|=2ª n n Com 2ª<2 c

P F 1 F 2

Da equação anterior tem-se n d(F 1, P)-d(F 2, p)= ± 2 a n Quando P estiver no ramo da direita, d(F 1, P)>d(F 2, p) -> d(F 1, P)-d(F 2, p)= 2 a n Quando P estiver no ramo da esquerda, d(F 1, P)<d(F 2, p) -> d(F 1, P)-d(F 2, p)=-2 a n

Seja o segmento de reta F 1 F 2 e chame de A 1 e A 2 a interseção de F 1 F 2 com a hipérbole n Considere outra reta perpendicular a esta passando pelo ponto médio C de F 1 F 2 n

F 1 A 1 C A 2 F 2

n A hipérbole é simétrica em relação a: ¨ Segmento F 1 F 2 ¨ Eixo vertical ¨ Ponto C n Ainda pela simetria, d(A 1, F 1)=d(A 2, F 2)

n Qual é o valor de d(A 1, A 2)? Se P=A 2, da def de hipérbole |d(F 1, A 2)d(F 2, A 2)|=2 a n Como A 2 está no ramo direito, (F 1, A 2)d(F 2, A 2)=2 a n

n Pela figura vemos que d(F 1, A 2)=d(F 1, A 1)+d(A 1, A 2)

M N F 1 A 1 P r θ C A 2 F 2 Q s

n Pela figura vemos que d(F 1, A 2)=d(F 1, A 1)+d(A 1, A 2) Substituindo d(F 1, A 1)+d(A 1, A 2)- d(F 2, A 2)=2 a n Logo d(A 1, A 2) =2 a

Elementos da hipérbole n n n Focos F 1 e F 2 Distância Focal: d(F 1, F 2)=2 c Centro Ponto médio de F 1 F 2 Vértices: A 1, A 2 Eixo Real: segmento A 1 A 2 e |A 1 A 2|=2ª Eixo imaginário: Segmento B 1 B 2 onde de comprimento 2 b onde b vem da relação C 2=a 2+b 2

n MNPQ é um retângulo inserido no círculo de raio c n r e s são assíntotas da hipérbole n r passa pelo ponto C e tem inclinação b/a

n s passa por ponto C e tem inclinação –b/a n theta abertura da hipérbole n e=c/a excentricidade da hipérbole ¨ Note que e está relacionado com a abertura theta da hipérbole

n n Na figura anterior fixando c e aumentando a vemos que a abertura da hipérbole diminui Menor a abertura menor a excentricidade e>1 Maior a abertura maior a excetrencidade Quando a=b, dizemos que a hipérbole é equilátera

Equação Caso 1: Eixo real sobre o eixo x e C(0, 0) n Obs: determinaremos a equação do ramo direito: F 1(-c, 0), F 2(c, 0) e P(x, y) n d(F 1, P)-d(F 2, P)=2 a n d(F 1, P) =2 a+d(F 2, P) n |F 1 P| =2 a+|F 2 P| n

((x+c)2+y 2)1/2=2 a+((x-c)2+y 2)1/2 n x 2+2 xc+c 2+y 2=4 a 2 -4 a((x-c)2+y 2)1/2+x 22 xc+c 2+y 2 n 4 xc- 4 a 2 = -4 a((x-c)2+y 2)1/2 n xc- a 2 = -a((x-c)2+y 2)1/2 n x 2 c 2 -2 xca 2+a 4=a 2 x 2 -2 xca 2+a 2 c 2+a 2 y 2 n

x 2 c 2 -a 2 x 2 -a 2 y 2=a 2 c 2 -a 4 n x 2(c 2 -a 2)-a 2 y 2=a 2(c 2 -a 2) n x 2 b 2 -a 2 y 2=a 2 b 2 n n x 2/a 2 -y 2/b 2=1 n Centro C(0, 0) eixo real sobre o eixo x

Observações Se P(x, y) estivesse no ramo esquerdo, então Q(-x, y) estaria no ramo direito de modo que ainda valeria a igualdade anterior n Quando o eixo real estiver sobre o eixo y a equação será: y 2/a 2 -x 2/b 2=1 n

Analogamente Quando C(x 0, y 0) e o eixo real // eixo x n (x-x 0)2/a 2 -(y-y 0)2/b 2=1 n Quando C(x 0, y 0) e eixo real // eixo y n (y-y 0)2/a 2 -(x-x 0)2/b 2=1 n

Equação das assíntotas y-y 0 = m(x-x 0) m é a inclinação n r: m=b/a; s: m=-b/a n

Exemplo n Determinar vértices, focos, excentricidade e esboçar o gráfico: x 2 -y 2=1

Exemplo n Determinar vértices, focos, excentricidade e esboçar o gráfico: -4 x 2+y 2=1

Exemplo n Determinar vértices, focos, excentricidade e esboçar o gráfico: -4 x 2+2 y 2=1

Exemplo n Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições: ¨ Focos F(± 5, 0), Vértices (± 3, 0) ¨ Eixo real = eixo x, centro C(0, 0)

Exemplo n Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições: ¨ a=4, Vértices (± 4, 0) ¨ Passa por P(8, 2), centro C(0, 0)

Exemplo n Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições: ¨ b=8, e=5/3 ¨ Eixo real =eixo y, centro C(0, 0)

Exemplo n Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições: ¨ Assintotas y=± 2 x, Vértices (± 3, 0)

Exemplo n Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições: ¨ Um foco em (7, -2), Vértices (5, -2) e 3, -2

Exemplo n Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições: ¨C (5, 1), um foco F(9, 1) eixo imaginário méde 4(2)1/2

Exemplo n Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições: ¨C (2, -3), eixo real // eixo y passando por (3, -1) e (-1, 0) (conferir a solução)