Club dAstronomie Lyce Saint Exupry Lyon Tycho BRAH
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Tycho BRAHÉ (1546 - 1601) Johannes KEPLER (1571 - 1630) Tycho Brahé réalisa une série complète d’observations des trajectoires des planètes. Johannes Kepler, son assistant, analysa la montagne de données. Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
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Képler savait au bout de combien de temps la planète Mars se retrouvait au même point M de son orbite Période sidérale de Mars = 687 jours M Première visée de la Terre vers Mars La Terre est en T 1 la direction de Mars dans le ciel est repérée à partir de la Terre par rapport à la direction du point , origine des coordonnées célestes T 1 Où se trouve la Terre 687 jours plus tard ? en T 2 L’intersection des deux directions de visée permet de connaître la position du point M Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon T 2 Point
Képler utilisa cinq couples de mesures faites entre 1585 et 1595 jour julien date dans le calendrier julien 2300016. 500 2300037. 500 2300703. 500 2300724. 500 2300785. 500 2301472. 500 2302421. 500 2303108. 500 2303231. 500 2303918. 500 1585 Feb 17 1585 Mar 10 1587 Jan 5 1587 Jan 26 1587 Mar 28 1589 Feb 12 1591 Sep 19 1593 Aug 6 1593 Dec 7 1595 Oct 25 longitudes écliptiques géocentriques du Soleil 339° 23' 359° 41' 295° 21' 316° 06' 16° 50' 333° 42' 185° 47' 143° 26' 265° 53' 221° 42' de Mars 135° 12' 131° 48' 182° 08' 184° 42' 168° 12' 218° 48' 284° 18' 346° 56' 3° 04' 49° 42' Chaque couple correspondent à une même position de la planète sur son orbite Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
Positions de Mars correspondant aux différents couples de mesures M 1 M 2 +T 2 M 3 +T T+ 1 5 +T 3 +T +T 2 + T 3 1 M 5 C T 5+ T 4 + + S Point T 4 + M 4 Trajectoire de Mars Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
D’abord il était nécessaire de réexaminer avec précision le mouvement de la Terre. Kepler découvrit alors que la Terre, de même que les autres planètes, ne se déplaçait pas à vitesse uniforme Il pensa alors que le temps qu’il fallait à la Terre pour couvrir une petite fraction de l’orbite était proportionnelle à sa distance Il divisa l orbite de la Terre en 360 parties et se mit à calculer la distance au Soleil de chaque fraction d’arc C’était un premier pas en direction du calcul infinitésimal. Au cours de ce travail fastidieux, il lui vint à l’esprit que la somme de ces distances est contenue dans l’aire de l orbite Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
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Kepler venait de déterminer les variations de vitesse de la planète. mais non pas la forme de l’orbite Au bout de 6 ans de labeur il se rendit alors à l’évidence que l’orbite était une ellipse Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
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Mais une obsession poursuivait Képler depuis sa jeunesse Trouver une relation entre les périodes et les distances des planètes Si le Soleil avait le pouvoir de régir les mouvements des planètes, ce mouvement devait, d’une façon quelconque, dépendre de la distance du Soleil mais de quelle façon? Avec un peu d’intuition et de longs et patients efforts Kepler découvre la Troisième loi des mouvements des planètes Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
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3ème loi (1618 ) pour l'ensemble des planètes, le carré de la période orbitale T est proportionnel au cube du grand axe a. Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
Si l’on prend comme unité de mesure la distance de la Terre au Soleil, la distance de Satume au Soleil sera légèrement supérieure à 9 unités La période de révolution de la Terre est de un ans La période de révolution de Satume est de un peu plus de 28 ans Pour la Terre : a 3 / T 2 = 1 Pour Satume : a 3/T 2 = 729 / 784 1 Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
Hormis de satisfaire ses chimères Képler ne comprit pas la véritable importance de ses trois lois L’insuffisance des outils mathématiques à son époque ne permettait pas à Kepler de comprendre la signification de ses lois Pour cela, il faudra attendre Newton Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
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Galileo GALILEI (1564 – 1642) Loi sur la chute des corps Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
Galileo GALILEI (1564 – 1642) Discours sur les Sciences nouvelles et démonstrations rédigé par Galilée en 1636 et publié en 1638 à Leyde par les protestants Nous avons été conduit, comme par la main, à la découverte de la loi du mouvement naturellement accéléré par l’observation des autres œuvres de la nature, où elle n’emploie jamais que les moyens les plus simples et les plus faciles. Lorsque je vois qu’une pierre acquiert, dans sa chute, d’incessants accroissement de vitesse, pourquoi ne penserais-je pas que ces accroissements sont réglés de la façon la plus simple ? Or, si nous y regardons attentivement, nous ne trouverons aucun mode d’accroissement plus simple que celui qui se fait toujours de la même manière. Et on le comprendra facilement en observant la très grande affinité qui se trouve entre le temps et le mouvement : de même que le mouvement uniforme se conçoit et se définit par l’uniformité dans le temps et l’égalité dans les espaces, de même nous pouvons concevoir que les accroissements de vitesse se fassent d’une manière simple dans les parties égales des temps, en imaginant que, dans le mouvement uniformément accéléré, la vitesse reçoive les mêmes accroissements dans des temps égaux quelconques, de sorte que le mobile acquérant au bout de deux particules de temps, au bout de trois, etc. , des vitesses double, triple, etc. , de celle qu’il avait acquise à partir du repos dans la première : s’il prenait au bout de chacune de ces particules de temps, un mouvement uniforme dont la vitesse fut la vitesse alors acquise, il parcourrait dans ces divers mouvements des chemins simple, double et triple, etc. , dans un même temps. Nous dirons donc qu’un mouvement uniformément accéléré est celui dans lequel la vitesse s’augmente de quantités égales dans des temps égaux quelconques. Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
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Pendant ce temps là En Europe, en Angleterre, en France Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
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Sir Christopher WREEN (1632 – 1723) Robert HOOKE (1635 - 1703) Edmond HALLEY (1656 – 1742) Tous les trois sont membres de la Royal Society de Londres crée en 1660 Christian HUYGENS (1629 - 1695) Membre de l’Académie royale des sciences de Paris, fondée en 1666 Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
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En 1673, Huygens publia son ouvrage De horologium oscillatorium premier grand traité de dynamique dans lequel il énonçait les lois du mouvement circulaire Quand un corps décrit un cercle de rayon r d’un mouvement circulaire uniforme avec une vitesse v Il possède une accélération centripète a de valeur et est soumis à une force centripète F de valeur m étant la masse du corps Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon v F r a P
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Lorsque la planète passe de la position P 1 à la position P 2 Sa vitesse représentée par un vecteur tangent à la trajectoire change de direction et subit une variation dv En comparant les deux triangles hachurés on peut écrire : Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon dv v 2 r P 2 v 1 P 1
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Pour faciliter une première explication des trajectoires des planètes, Hooke identifia leurs orbites à des cercles. Planète Il proposa l’analogie du mouvement d’une pierre attachée à une ficelle que l’on fait tourner avec le bras. F Soleil Les planètes n’ayant pas un mouvement rectiligne uniforme devaient être soumises à l’action d’une force F dirigée radicalement vers l’intérieur de l’orbite. Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
Hooke supposa qu’une planète de masse m, qui décrit un cercle de rayon r avec une vitesse v est soumise à une force gravitationnelle F F de valeur ð Le temps d’une révolution est : ð 3ème loi de Képler ð ð La force gravitationnelle agissant sur une planète est inversement proportionnelle au carré de sa distance au Soleil. Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
Le mouvement d’une planète autour du Soleil était donc expliqué par la force d’attraction qu’il exerce sur elle Mais pour quoi la forme de sa trajectoire est une ellipse ? Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
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De 1684 à 1687 Newton fit la synthèse de tous les résultats de ses prédécesseurs et démontra clairement l’universalité de la gravitation. dans son ouvrage qu’il publia en 1687 Philosophae naturalis principia mathématica. Newton décrit les lois générales du mouvement : Le Principe de l’inertie Tout corps maintient son état de repos, ou de mouvement uniforme rectiligne, à moins que des forces agissant sur lui ne le forcent à modifier cet état. Le Principe fondamental de la dynamique L’accélération d’un corps est proportionnelle à la force agissant sur lui et elle est dans la direction dans laquelle la force agit. = m. Le Principe de l’action de de la réaction À chaque action s’oppose toujours un réaction égale ; les actions mutuelles de deux corps l’un sur l’autre sont toujours égales et opposées Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
En juin 1682, Newton découvre la gravitation universelle Chaque corps dans l’univers attire tout autre corps avec une force F qui est proportionnelle au produit de leur masse m 1 et m 2 et inversement proportionnelle au carré de la distance d entre leurs centres G est une constante appelée : constante de gravitation Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
La valeur de constante gravitationnelle G ne fut établie qu’au 18ème siècle, par Cavendish G = 6, 672 10 -11 m 3. kg-1. s-2 Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
La relation fondamentale de la dynamique permet de démontrer la Première loi de Képler Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
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Un corps de masse m , animé d’une vitesse à un instant t, est soumis à une force La force provoque une modification de la vitesse du corps et de sa quantité de mouvement m v Si un corps P est animé d’un mouvement de rotation autour d’un point O, on appelle P σ = m. v. ¬ moment cinétique σ du corps P le moment de sa quantité de mouvement O Si M est le moment de la force qui s’exerce sur le corps P Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
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Conservation du moment cinétique et loi des aires Lorsqu’un corps P est soumis à l’action gravitationnelle d’un corps céleste, la force d’attraction est toujours dirigée vers un même point C, le centre du corps céleste. Son moment par rapport au point C est donc constamment nul : σ = constante σ = m. v. = constante ð v. = constante Si P et P' sont deux positions du corps à deux instants voisins t et t + dt P P' = v. dt C Puisque v. = constante ¬ L’aire du triangle PCP' P L’aire balayée par le rayon vecteur d’une planète est proportionnelle au temps. C’est la « loi des aires » découverte par Képler Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
L’utilisation du Calcul infinitésimal et de la Relation fondamentale de la dynamique permet d’établir l’équation d’un corps soumis à une force de gravitation Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
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Le rayon vecteur r = C P d’un corps P de masse m soumis à l’attraction du corps céleste C de masse M varie constamment au cours du temps mais son énergie totale reste constante. P (m) r (M) C Énergie cinétique Ec + Énergie potentielle Ep = Énergie totale E constante En coordonnées polaires, l’Énergie cinétique du corps a pour expression : Son Énergie potentielle par rapport au corps C vaut : Énergie mécanique totale du corps P Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon x
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P (m) En coordonnées polaires, l’équation de la trajectoire du corps P est de la forme r = f( ) r (M) C x L’aire balayée par le rayon vecteur r P' P r La loi des aires ð ð et Énergie mécanique totale du corps P ð Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon ¬ C
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et Si on pose : L’équation s’écrit : En dérivant par rapport à , cette expression où E est une constante, on obtient : et après simplification : soit Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
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L’équation admet comme solution : où K, A et 0 sont des constantes déterminées par les conditions initiales du mouvement : position initiale du corps, module et direction de la vitesse à l’origine du temps Cette relation r = f( ) représente l’équation de la trajectoire du corps P Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
Forme de la trajectoire d’une planète Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
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Équation générale d’une conique en coordonnées polaires P + p p est le paramètre et e l’excentricité de la conique r + F Si e = 0 la conique est un cercle Si e < 1 la conique est une ellipse Si e = 1 la conique est une parabole Si e. O 1 la conique est une hyperbole Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon 0 al c o f e axe oniqu a c l e d axe polaire origine
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Équation de la trajectoire du corps P Équation générale d’une conique Si on prend : et l’équation de la trajectoire s’écrit : soit Lorsqu’un corps est soumis à l’attraction newtonienne d’un autre corps sa trajectoire est une conique Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
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Cas d’une trajectoire elliptique de demi-grand axe a et d’excentricité e c = e a Dans le triangle P F F p 2 = r 2 – 4 c 2 P et + F r + p = 2 a p 2 = (4 a 2 – 4 a p + p 2 ) – 4 c 2 p = a - L’équation r O + c p = a ( 1 – e 2 ) devient Périhélie pour cos( - 0) = 1 Aphélie pour cos( - 0) = - 1 Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon p c + a F
Les trois lois de Kepler sur le mouvement des planète Sont enfin expliquées et confirmées Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
Johannes KEPLER (1571 - 1630) Détermination de l’orbite de Mars Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
Après avoir observé les oscillations du lustre de Benvenuto Cellini à la cathédrale de Pise puis réalisé l’expérience de la chute d’objets depuis le sommet de la tour penchée Galilée conclut que tous les corps tombent avec la même vitesse, indépendamment de leurs poids Mais comment évaluer cette vitesse avec exactitude pour établir la loi du mouvement ? Galilée eu une idée géniale, très simple faire tomber obliquement l’objet sur un plan incliné La chute était alors ralentie, donc plus aisément observable L’expérience fut réalisée en 1602 Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
Expérience réalisée en 1602 Des billes de laiton glissent dans des rainures inclinées longues de quatorze mètres et les durées de chute sont mesurées avec une horloge à eau. Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
Par l’expérience, Galilée étabit que La vitesse des billes est d’autant plus grande que leur chute dure plus longtemps. La vitesse s’augmente de quantités égales dans des temps égaux quelconques. Le mouvement de chute des corps est uniformément accéléré La longueur de la chute d’un corps dépend, non pas de sa durée, mais du carré de cette durée : au bout d’un temps double, le corps parcourt un espace quadruple. Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
Galilée mis en pleine lumière le Principe de l’inertie entrevu par Képler Un corps qui n’est soumis à aucune force est animé d’un mouvement rectiligne et uniforme Il définit la notion d’accélération et énonça la loi de composition des vitesses Mais une question restait : pourquoi les planètes se déplacent-elles sur des courbes et non en ligne droite ? Club d'Astronomie - Lycée Saint Exupéry - Lyon
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