CLASSE QUARTA GRAFICO DI UNA FUNZIONE DEFINIZIONE DI

CLASSE QUARTA GRAFICO DI UNA FUNZIONE • • • DEFINIZIONE DI GRAFICO SIMMETRIE GRAFICI DI FUNZIONI ELEMENTARI Prerequisiti : - piano cartesiano - potenze - logaritmi

DEFINIZIONE DI GRAFICO Data la funzione y = x 2 - x definita in R a valori in R, calcolando le immagini di alcuni elementi del dominio otteniamo la tabella: ESEMPIO INTRODUTTIVO: x y 1 2 3 0 -1 -2 -3 0 2 6 12 . ? Consideriamo le coppie x , y come punti e rappresentiamoli su un piano cartesiano . . . Considerando tutti gli elementi del domino e le loro immagini si ha un insieme infinito di punti che costituiranno il GRAFICO della funzione GRAFICO DI UNA FUNZIONE 1/ 8

Definizione 1 ( grafico di una funzione) Data una funzione definita nell’insieme A a valori in B , si dice grafico della funzione l’insieme dei punti del piano cartesiano del tipo ( x , f(x) ) ottenuti per tutti gli elementi x appartenenti al dominio A. Osservazione 1 Nel grafico di una funzione non può mai accadere che due punti abbiano la stessa ascissa poiché per definizione di funzione (vedi def. 1 lezione funzioni) l’immagine di ogni elemento x del dominio deve essere unica. y 2 . . y 1 . y 3 y . x Può essere il grafico di una funzione x NON può essere il grafico di una funzione . . . x NON può essere il grafico di una funzione Graficamente quindi ogni retta parellela all’asse y può incontrare il grafico di una funzione al massimo in un punto GRAFICO DI UNA FUNZIONE 2/ 8

SIMMETRIE NEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE ESEMPI y y y Questi grafici di funzione sono simmetrici rispetto all’asse y x y y x x Questi grafici di funzione sono simmetrici rispetto all’origine degli assi GRAFICO DI UNA FUNZIONE 3/ 8

Definizione 2 ( funzione pari, funzione dispari ) Data una funzione f definita in un insieme A simmetrico rispetto allo 0 (cioè tale che se x A allora anche -x A per ogni x di A) se risulta : f(-x) = f(x) , x A allora la funzione si dirà PARI (ed il suo grafico risulterà simmetrico rispetto all’asse y) f(-x) = -f(x) , x A allora la funzione si dirà DISPARI (ed il suo grafico risulterà simmetrico rispetto all’origine degli assi) esempi Osservazione 2 Se una funzione è pari o dispari e conosciamo il suo andamento per x [0 , + [ allora possiamo dedurre il suo andamento per x ]- , 0[ Infatti, quando f è pari, se il punto P( x 0, y 0) appartiene al grafico allora vi appartiene anche il punto P’(-x 0, y 0) . P’ -x 0 y 0 . P x 0 Quando f è dispari, se il punto P( x 0, y 0) -x 0 appartiene al grafico allora vi appartiene anche il punto P’(-x 0, - y 0) P’ . . P y 0 x 0 -y 0 GRAFICO DI UNA FUNZIONE 4/ 8

GRAFICI DI FUNZIONI ELEMENTARI y FUNZIONE COSTANTE y=k k Dominio: R Codominio: { k } O Grafico: retta parallela all’asse x di equazione y = k FUNZIONE LINEARE (RETTA) x y=ax+b Dominio: R Codominio: R y y a>0 a<0 Grafico: retta di coefficiente angolare a , inclinata verso l’alto se a > 0, verso il basso se a < 0 O x GRAFICO DI UNA FUNZIONE 5/ 8

FUNZIONE QUADRATICA (PARABOLA) y = a x 2 + b x + c y Dominio: R Grafico: parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y , concavità verso l’alto se a > 0, verso il basso se a < 0 a>0 a<0 O FUNZIONE DI PROPORZIONALITA’ INVERSA Dominio: R– { 0 } x y= (ovvero x 0) Codominio: R – { 0 } Simmetrie: funzione dispari Grafico: se k > 0 il grafico è nel primo e nel terzo quadrante, mentre se k < 0 il grafico si trova nel secondo e nel quarto quadrante (in entrambi i casi il grafico è una iperbole equilatera riferita agli asintoti) y y k>0 O k<0 x O GRAFICO DI UNA FUNZIONE 6/ 8 x

FUNZIONE ESPONENZIALE y=ax Dominio: R Codominio: con a > 0 , a 1 y ] 0, + [ Grafico: si trova sempre al di sopra dell’asse x ed interseca l’asse y nel punto (0, 1). Se a > 1 quando x tende a + anche y tende a + ; quando x tende a - y tende a 0 y=ax (a > 1) 1 . O x y y=ax Se 0 < a < 1 quando x tende a + y tende a 0 ; quando x tende a - y tende a + (0 < a < 1) . 1 O x GRAFICO DI UNA FUNZIONE 7/ 8

FUNZIONE LOGARITMICA Dominio: ] 0, + [ con a > 0 , a 1 y = loga x y Codominio: R Grafico: si trova sempre a destra dell’asse y ed interseca l’asse x nel punto (1, 0). Se a > 1 quando x tende a + anche y tende a + ; quando x tende a 0 y tende a - Se 0 < a < 1 quando x tende a + y tende a - ; quando x tende a 0 y tende a + y = loga x O . 1 (a > 1) x y y = loga x O . 1 (0 < a < 1) x GRAFICO DI UNA FUNZIONE 8 /8